一元高次方程求根公式.docx
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一元高次方程求根公式
一元高次方程求根公式
A、一元二次方程求解
1.ax2+bx+c=0,a≠0,⇒x=−b±
b2−4ac
2a
B、一元三次方程求解
2.x3+ax2+bx+c=0
a
其中a,b,c是任意复数③
若令x=y−，则三次方程简化为
3
y3+py+q=0④
a3ab
2a3
其中p=b−，q=c−+，
3327
设y1,y2,y3表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得y1+y2+y3=0。
⎧u=−4p3−27q2
⎪⎧=+2+
⎨
若令⎪11
，⎨z1
y1vy2
vy3。
⎪v=−−−3
⎪z=y+vy
+v2y
⎩22
⎩2123
对于适当确定的立方根，卡当公式是z1=3−
273
q+−3u，z2=3−
22
273
q−−3u，
22
⎧y=1（z+z）
⎪112
⎧y1+y2+y3=0⎪3
求解线性方程组⎪y+v2y
+vy
=z，得到⎪y
1−2−1
=（vz+vz），
⎨1231
⎨212
⎪y+vy
+v2y=z⎪3
⎩1232
⎪
⎪y3
⎩
=1（v−1z+v−2z）
12
3
qq
于是，原三次方程的三个根为y1=3−+∆+3−−∆，
22
y=ω3−q+∆+ω23−q−∆，y
=ω23−q+∆+ω3−q−∆。
222
322
q2p313
其中∆=+，ω=−+
i（i=−1是虚数单位）。
42722
C、一元四次方程求解
3.x4＋bx3+cx2+dx+e＝0．
设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0．（4）移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，
右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入（5），由于两边都是x的
完全平方形式，取平方根，即得
解这两个关于x的二次方程，便可得到（4）的四个根．显然，若把（6）的其他根代入（5），会得出不同的方程，但结果是一样的．
附：
一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的解法
先把方程ax3+bx2+cx+d=0化为x3+px+q=0的形式：
令x=y−b，则原式变成
3a
a（y−b）3+b（y−b）2+c（y−b）+d=0
3a3a3a
2
3
2
a（y3−by
b2y
+−
b）+b（y2−2by+
b）+c（y−b）+d=0
a3a2
27a3
3a9a23a
2
3
2
3
ay3−by2+by−b
+by2−2b
y+b
+cy−bc+d=0
3a27a2
3a9a23a
2
ay3+（c−b
）y+（d+
2b3
−bc）=0
3a27a23a
2
y3+（c−b
）y+（d+
2b3
−bc）=0
a3a2
a27a3
3a2
如此一来二次项就不見了，化成y3+py+q=0，其中p=
cb2
−，
a3a2
q=d+
a
2b3
27a3
−bc。
3a2
对方程y3+py+q=0直接利用卡尔丹诺公式：
y1=3
−q+
2
（q）2
2
+（p）3
3
+3−q−
2
（q）2
2
+（p）3
3
y2=ω⋅3
−q+
2
（q）2
2
+（p）3
3
+ω2⋅3
−q−
2
（q）2
2
+（p）3
3
2
y3=ω⋅3
−q+
2
（q）2
2
+（p）3
3
+ω⋅3
−q−
2
（q）2
2
+（p）3
3
其中ω=−1+
3i。
∆=（q）2+（p）3是根的判别式：
Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有
23
三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。
附：
方程y3+py+q=0
（2）求根公式的推导过程：
不妨设p、q均不为零，令y=u+v
（3）
代入
（2）得，u3+v3+（u+v）（3uv+p）+q=0
（4）
选择u、v，使得3uv+p=0，即uv=−p
3
（5）
代入（4）得，u3+v3=−q
（6）
3
将（5）式两边立方得，u3v3=−p
（7）
27
联立（6）、（7）两式，得关于u3、v3的方程组：
⎧u3+v3=−q
⎪
⎨33
p3，且uv=−p
3
⎪⎩uv=−27
3
于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程t2+qt−p
=0的
27
两根u3、v3。
2
3∆⎛q⎞
⎛p⎞q
设∆=q2+4p
，D=
=⎜⎟+⎜
⎟，T=−，
3
274
⎝2⎠
⎝3⎠2
又记u3的一个立方根为u，则另两个立方根为u
=ωu，u
=ωu，其中ω、ω
1
为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
21132112
1）若∆>0，即D>0，则u3、v3均为实数，可求得u3=T+
D，u3=T−D。
1
取u=3T+
D，v1=T−D，
3
在y=u
+v，（i,j=1,2,3）组成的九个数中，有且只有下面三组满足uv=−p，
ij3
32p
即u1、v1；u2、v3；u3、v2，也就是满足u1v1=u2v3=u3v2=
T−D=−，
3
于是方程
（2）的根为，，，
这时方程
（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即D＝0时，可求得。
取，
同理，可求得
2
3
方程
（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3
⎛p⎞
⎛q⎞
⎛p⎞
•3）若∆<0，即D＜0时，因为⎜
⎟=−⎜
⎟<0，∴p＜0，⎜
⎟>0，
⎝3⎠
⎝2⎠
⎝3⎠
则u3、v3均为虚数，求出u3、v3，并用三角式表示，就有，
，
其中T，都是实数，
∵
∴
同理，
其中，且
取，，
则
显然，当且仅当取，；，；，
这三组时才满足，
于是方程
（2）得三个实根为，，，
具体表示出来就为：
其中
∴当时，方程
（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：
令，，，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
，，
3）当时，方程有三个实根，
，
结论：
一元二次方程求解
1.ax2+bx+c=0,a≠0,⇒x=−b±
b2−4ac
2a
一元三次方程求解
a3
ab2a3
2.x3+ax2+bx+c=0⇔y3+py+q=0
（p=b−，q=c−+，）
3
一元三次方程y3+py+q=0在复数集中的根x1,x2,x3为：
327
其中ω
=（−1+
3）/2;ω
=（−1−
3）/2。
12
一元四次方程求解
3.x4＋bx3+cx2+dx+e＝0
第一步：
按“一元三次方程求解方法”求出以下方程关于y的解，记为y0：
①
第二步：
将求得的y0代入下式
②解这两个关于x的二次方程，便可得到x4＋bx3+cx2+dx+e＝0的四个根．
说明：
公式②右边根号内是关于x的完全平方式。
五，n次方程的一般表达式是：
axn+axn−1+⋅⋅⋅+ax+a
=0,a
≠0,
01n−1n0
而f（x）=a0x
n+axn−1
+⋅⋅⋅+an−1x+an称为n次多项式，其中a0≠0。
当系数a0,a1,
1
⋅⋅⋅,an−1,an都是实数时，称f（x）是n次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，
称f（x）为n次复系数多项式。
如果存在复数α，使得f（α）=0，就称α是n次方程f（x）=0的一个根，或称为n次多项式f（x）的一个根。
高斯首先证明了“代数基本定理”：
复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
据此推出：
复数域上n次多项式恰有n个复数根，其中k重根以k个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：
“复数域上任何n次多项式都可以分解成n个一次式的乘积。
”
在一般情况下，求出精确根是很困难的，只能求得高次方程的根的近似值。
设x*是f（x）的一个精确根，即f（x*）=0，假设问题所要求的精确度为ε，也
就是满足x−x*<ε的x，或满足求近似根的几个常用方法：
方法一：
牛顿切线法
x−x*
x*
<ε的x，
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