第2讲 平行线的性质与判定提高班.docx

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第2讲平行线的性质与判定提高班

第2讲平行线的性质与判定

知识点1平行公理及推论

1.在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：

相交和平行.

直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.

2.平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

【典例】

1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？

2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？

【方法总结】

结论：

已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则O，A，B三点共线.

常用方法：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.

【随堂练习】

1．（2017秋•盐山县期末）下列说法正确的是（　　）

A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行

B．两个相等的角是对顶角

C．互补的两个角一定是邻补角

D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

2．（2018春•金牛区校级期中）下列说法中不正确的有（　　）

①两条不相交的直线叫做平行线；

②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；

③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

知识点2平行线的判定

1.平行线的判定方法：

判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：

同位角相等，两直线平行.

如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.

判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：

内错角相等，两直线平行.

如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.

判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：

同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.

2.重要结论：

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

注意：

条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.

【典例】

1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？

为什么？

解：

BE∥DF．

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=____°，

即∠3+∠4=____°．

又∵∠1+∠2=90°，

且∠2=∠3，

∴____=____．

理由是：

_________．

∴BE∥DF．

理由是：

_____________．

【方法总结】

思路回顾：

由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF．

此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．

【随堂练习】

1．（2018春•建安区期末）如图，条件_____（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．

①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；

2．（2018春•岳阳期末）如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：

①∠1=∠2；②∠3=∠4：

③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有_____．（填写所有满足条件的序号）

3．（2018春•拱墅区期末）如图，有下列条件：

①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．

知识点3平行线的性质

平行线的性质：

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：

两直线平行，同位角相等.

如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：

两直线平行，内错角相等.

如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：

同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.

【典例】

1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．

【方法总结】

思路回顾：

根据BD平分∠ABE，∠1=20°，可得∠ABC的度数.根据CD∥AB，可得∠DCE=∠ABC，进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°，得出∠2=90°﹣∠DCE，从而求得∠2的度数.

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：

两直线平行，同位角相等．

【随堂练习】

1.（2018春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　）

A．∠A=∠C+∠E+∠FB．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°

C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90°D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°

2．（2018秋•綦江区校级月考）如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（　　）

A．20°B．50°C．40°D．30°

3．（2018春•渝中区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（　　）

A．70°B．82°C．92°D．102°

知识点4平行线的判定与性质的综合运用

两直线平行

同位角相等.

两直线平行

内错角相等.

两直线平行

同旁内角互补.

“

”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.

【典例】

1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．

如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：

∠EGF+∠AEG=180°．

理由：

∵DE∥AB（已知），

∴∠A=∠CED（___________________________），

又∵∠BFD=∠CED（已知），

∴∠A=∠BFD（___________________），

∴DF∥AE（___________________________）

∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.

2.已知：

如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：

∠A=∠F．

【方法总结】

平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：

已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.

【随堂练习】

1．（2018春•蜀山区期末）已知：

如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

2．（2018春•全椒县期末）如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：

①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（　　）

A．①②B．③④C．①②③D．①③④

3．（2018•高邮市一模）如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=___°．

4．（2018春•曲阜市期中）填写理由：

如图所示

∵DF∥AC（已知），

∴∠D+∠DBC=180°．（______________）

∵∠C=∠D（已知），

∴∠C+______=180°．（______）

∴DB∥EC（______________）

∴∠D=∠CEF．（_____________）

知识点5命题、定理、证明

1.命题：

判断一件事情的语句叫做命题.

数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

2.真命题：

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：

题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.

3.定理：

经过推理证实的真命题叫做定理.

判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.

4.判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.

【典例】

1.如图，已知：

点A、B、C在一条直线上．

（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：

条件：

__________________________．

结论：

___________________________．

（2）证明你所构建的是真命题．

【方法总结】

此类题属于开放性题目，只要找出的条件和结论能组成真命题即可，答案不唯一.证明时推理要严谨，每一步都要有理论依据.

拓展：

证明文字叙述题的规范证明步骤：

①写出已知，求证，画出图形；②证明.

【随堂练习】

1．（2018秋•宜宾县期中）下列命题中，为真命题的是（　　）

A．同位角相等B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b

C．若a2=b2，则a=bD．对顶角相等

2．（2017秋•安丘市期末）命题：

①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．（2018春•开福区校级月考）下列命题中，正确的是（　　）

A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若

，则x＞﹣2

C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若3x＞﹣6，则x＜﹣2

综合运用

1．（2018春•杭州期中）下列说法：

①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是______．

2．（2018春•定陶区期中）下列结论正确的是（　　）

A．同位角相等

B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

3．（2018春•建安区期末）已知：

如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：

ED∥FB．

4．（2018•广元）如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为_____．

5．（2018春•桥西区校级期中）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：

∠1=∠2．

6．（2018春•防城港期中）如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．