第一章 习题课 电场能的性质.docx

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第一章习题课电场能的性质

习题课　电场能的性质

[学习目标]　1.理解电势能、电势差、电势、等势面的概念.2.能求解电场力做的功和电场中的电势.3.掌握匀强电场中电势差与电场强度的关系．

一、电场线、等势面和运动轨迹的综合

例1

　如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知（　　）

图1

A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小

B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大

C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大

D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小

答案　A

解析　根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．

1．速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧．

2．电势能大小的判断方法

（1）电场力做功：

电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加．

（2）利用公式法：

由Ep＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大．

针对训练1　如图2所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在电场力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处．由此可知（　　）

图2

A．O为负电荷

B．在整个过程中q的电势能先变小后变大

C．在整个过程中q的速度先变大后变小

D．在整个过程中，电场力做功为零

答案　D

解析　由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正电荷，A错；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B、C错；由于a、c两点在同一等势面上，整个过程中，电场力不做功，D对．

二、电势、电势能、电场力做功的综合分析

例2

　如图3所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为

.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差．

图3

答案　

mgh　－

解析　因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解．

因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：

静电力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：

W＋mgh＝

mv

代入已知条件vB＝

得静电力做功

W＝

m·3gh－mgh＝

mgh

由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝

mgh.

因为U＝

＝

由于φA＜φC，所以UAC＝－

.

计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：

1利用电场力做功与电势能的关系求解：

WAB＝EpA－EpB.

2利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场.

3利用公式WAB＝qUAB求解.

4利用动能定理求解.

例3

　为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图4所示．若AB＝0.4m，α＝37°，q＝－3×10－7C，F＝1.5×10－4N，A点电势φA＝100V．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.（不计重力）

图4

（1）在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势值；

（2）q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？

答案　

（1）见解析　

（2）电势能增加4.8×10－5J

解析　

（1）由平衡条件可知静电力方向与F方向相反、大小相等，又知电荷带负电，故电场强度方向与静电力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示．

E＝

＝

N/C＝5×102N/C，

UBA＝φB－φA＝－E

cosα，

φB＝φA－E

cosα＝－60V.

（2）负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为

ΔEp＝qEd＝|qUBA|＝3×10－7×160J＝4.8×10－5J.

静电场中常用的五种功能关系

类型

表达式

电场力做的功等于电势能的减少量

W电＝－ΔEp

重力做的功等于重力势能的减少量

WG＝－ΔEp

弹簧做的功等于弹性势能的减少量

W弹＝－ΔEp

合外力做的功等于物体动能的变化量

W合＝ΔEk

（动能定理）

除重力和系统内弹力之外的其他力做的总功等于物体机械能的变化量

W其他＝ΔE

（功能原理）

三、E－x、φ－x图象的分析

例4

　（多选）某静电场沿x方向的电势分布如图5所示，则（　　）

图5

A．在O～x1之间不存在沿x方向的电场

B．在O～x1之间存在着沿x方向的匀强电场

C．在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场

D．在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场

答案　AC

解析　由电场的性质可知：

E＝

＝

，所以在φ－x图象中，斜率k表示在x方向上的场强Ex.所以O～x1沿x方向场强为0，A对，B错；x1～x2之间电势均匀减小，斜率不变，即Ex不变，x1～x2之间存在沿x方向的匀强电场，C对，D错．

针对训练2　（多选）静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图6所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷（　　）

图6

A．x2和x4处电势能相等

B．由x1运动到x3的过程中电势能增大

C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小

D．由x1运动至x4的过程中电场力先减小后增大

答案　BC

解析　由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误．由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确．

1．φ－x图象反映电势φ随x的变化规律，其斜率大小表示场强大小，场强方向由电势变化情况确定：

沿电场方向电势降低．

2．E－x图象反映场强E随x的变化规律，其正负表示场强的方向．

四、用等分法确定等势线和电场线

1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场线方向的距离．由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：

结论1：

匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝

，如图7甲所示．

甲　　　　　　乙

图7

结论2：

匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图乙所示．

2．确定电场方向的方法

先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．

例5

　如图8所示，A、B、C表示匀强电场中的三点，它们的电势分别为φA＝－5V，φB＝

9V，φC＝2V．试在图中画出过A、B、C点的三条等势线，并画出一条过C点的电场线．

图8

答案　见解析

解析　由题中给定三点的电势可知：

UBA＝14V，UBC＝7V．由于是匀强电场，故AB连线的中点D与C点是等势点，而匀强电场中等势面为一平面，故DC连线为等势线，再过A、B点分别作平行于CD的直线即为所求的过A、B、C点的三条等势线，如图所示，过C作垂直于CD的直线即为过C点的电场线，且电场方向水平向左.

1．（多选）某同学在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹（如图9中实线所示），图中未标明方向的一组虚线可能是电场线，也可能是等势面，则下列说法正确的是（　　）

图9

A．如果图中虚线是电场线，电子由a点运动到b点，动能减小，电势能增大

B．如果图中虚线是等势面，电子由a点运动到b点，动能增大，电势能减小

C．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电场强度都大于b点的电场强度

D．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电势都高于b点的电势

答案　ABC

解析　电子做曲线运动，它受到的静电力方向指向轨迹的凹侧．如果虚线是电场线，电子受到静电力的方向沿电场线向左，由a点运动到b点，静电力做负功，动能减小，电势能增大，A正确；若虚线是等势面，电场线与等势面垂直，即电子受到的静电力方向也与等势面垂直，方向指向斜下方，电子由a点运动到b点，静电力做正功，动能增大，电势能减小，电势升高，B正确，D错误；因为等势面密集处电场线也密集，题图中虚线无论是电场线还是等势面，a处都较密集，所以a点的电场强度大于b点的电场强度，C正确．

2．（多选）空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图10所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（　　）

图10

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x轴正方向

C．电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大

D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功

答案　AD

解析　在B点和C点附近分别取很小的一段距离d，由题图可知，B点段对应的电势差大于C点段对应的电势差，若将这两段的电场看做匀强电场，则有E＝

，可见EBx＞ECx，选项A正确；同理可知O点场强在x轴方向

上的分量最小，电荷在该点受到的电场力在x轴方向上的分量最小，选项C错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧，Ex的方向沿x轴负方向，在O点右侧，Ex的方向沿x轴正方向，所以选项B错误，D正确．

3．如图11所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5V、φB＝－5V、φC＝15V，由此可以判断（　　）

图11

A．场强的方向由C指向B

B．场强的方向垂直AD连线斜向上

C．场强的大小为10V/m

D．场强的大小为

V/m

答案　D

解析　由于φB＝-5V,φC＝15V,则BC中点D的电势为φD＝5V,即A点和D点电势相等，则电场方向垂直AD连线斜向下，A、B选项均不正确；场强大小为E＝

＝

V/m＝

V/m，故D选项正确．

4.如图12所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为

g，求：

图12

（1）此电荷在B点处的加速度；

（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）．

答案　

（1）3g，方向竖直向上　

（2）－

解析　

（1）由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：

mg－k

＝m·

g.在B点时：

k

－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．

（2）从A到B的过程，由动能定理得mg（h－0.25h）＋qUAB＝0，解得UAB＝－

.

一、选择题（1～6题为单选题，7～10题为多选题）

1.如图1所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，a、b电势分别为φa＝5V、φb＝3V．下列说法正确的是（　　）

图1

A．该电场在c点处的电势一定为4V

B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb

C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少

D．一正电荷运动到c点时受到的电场力方向由c指向a

答案　C

解析　由于无法确定该电场是否为匀强电场所以无法确定a、b、c处场强的大小关系及c点处的电势，所以A、B错；正电荷运动到c点受力方向为由c指向b，故D错．

2.如图2所示，虚线是等势面，相邻的两等势面的电势差都相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a点的动能为20eV，运动到b点的动能为2eV.若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能为－6eV时，它的动能为（不计重力和空气阻力）（　　）

图2

A．16eVB．14eV

C．6eVD．4eV

答案　B

解析　设相邻两等势面间的电势差为U，小球的电荷量为q，小球从a到b和从b到c分别根据动能定理得：

－q·3U＝Ekb－Eka，qU＝Ekc－Ekb，解得：

Ekc＝

（Eka＋2Ekb）＝

（20＋2×2）eV＝8eV.因为c点电势为0，所以小球在c点时的电势能为0，小球在电场中运动只有电场力做功，所以小球的动能和电势能的总和保持不变，恒为8eV，所以当小球的电势能为－6eV时，它的动能为14eV.

3.如图3，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则（　　）

图3

A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQ

B．直线c位于某一等势面内，φM＞φN

C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功

D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功

答案　B

解析　电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有WMN＝WMP＜0，而WMN＝qUMN，WMP＝qUMP，q＜0，所以有UMN＝UMP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，WMQ＝q（φM－φQ）＝0，电子由P点到Q点过程中，WPQ＝q（φP－φQ）＞0，故C、D错误．

4.如图4所示，虚线为某点电荷电场的等势面，现有两个重力可忽略不计的带电粒子，其比荷相同，二者以相同的速率从同一等势面的a点进入电场后沿不同的轨迹1和2运动，图中a、b、c、d、e是粒子轨迹与各等势面的交点，则可以判断（　　）

图4

A．两个粒子的电性相同

B．经过b、d两点时，两粒子的速率相等

C．经过b、d两点时，两粒子的加速度大小相等

D．经过c、e两点时，两粒子的电势能相等

答案　C

解析　由图可知电荷1受到中心电荷的斥力，而电荷2受到中心电荷的引力，故两粒子的电性一定不同，故A错误．电荷1受到中心电荷的斥力，a到b的过程电场力做负功；而电荷2受到中心电荷的引力，a到d的过程电场力做正功，所以两粒子在b、d两点的速率不相同，故B错误．两粒子经过b、d两点时，受到库仑力作用，由牛顿第二定律可知，两粒子的加速度大小相同，故C正确．两个粒子的初速度仅仅是方向不同，但速率相等，而粒子1从a到c、粒子2从a到e电场力做功均为零，则经过c、e两点两粒子的速率相等．但电量大小不一定相等，故两粒子的电势能无法判断，故D错误．

5.一带电粒子沿图5中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则（　　）

图5

A．粒子一定带正电

B．粒子的运动是匀变速运动

C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大

D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大

答案　B

解析　由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．

6．如图6所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为（　　）

图6

A．200V/mB．200

V/m

C．100V/mD．100

V/m

答案　A

解析　在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3V（如图所示），因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝

sinα，而sinα＝

＝

，所以d＝

＝1.5×10－2m．根据E＝

得，匀强电场的电场强度E＝

＝

V/m＝200V/m，故选项A正确．

7.如图7所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q为这条轨迹上先后经过的两个点，由此可知（　　）

图7

A．三个等势面中，a电势最高B．质点在Q点时，加速度较大

C．带电质点通过P点时动能较大D．质点通过Q时电势能较小

答案　BC

解析　根据等势线与电场线的关系，可知电场线必处处与等势线垂直；由带正电质点的轨迹的弯曲方向，可知电场线方向如图所示．由图可知，电场强度EQ＞EP，电势φc＞φb＞φa，EpQ＞EpP.因此A、D错误，B正确．由能量守恒可知，当质点通过P点时，动能较大，所以C正确．

8.在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图8所示．若将一个带负电的粒子置于b点，自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中（　　）

图8

A．先做匀加速运动，后做匀减速运动

B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势

C．电势能与机械能之和保持不变

D．电势能先减小，后增大

答案　CD

解析　a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量同种点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量同种正点电荷连线中垂线上的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带电粒子从b到d运动过程中所受电场力先由b指向d，后由d指向b，所以电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确．故选C、D.

9.两个不规则的带电导体间的电场线分布如图9所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则（　　）

图9

A．场强大小关系有Eb＞Ec

B．电势大小关系有φb＞φd

C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值

D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做正功

答案　BD

解析　由电场线的疏密表征电场强度的大小可知，Eb＜Ec，故A项错误；沿着电场线方向电势降低，达到静电平衡状态的导体是等势体，可知φb＞φd，故B正确；由于a点电势高于d点电势，将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做功W＝q（φa－φd）＞0，为正功，故D正确；由于无穷远处为零电势点，故d点电势为负，负电荷放在d点时其电势能Epd＝（－q）×φd＞0，为正值，故C错误．

10.如图10所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是（　　）

图10

A．O点电场强度为零

B．D点电场强度为零

C．若将点电荷＋q从O移向C，电势能增大

D．若将点电荷－q从O移向C，电势能增大

答案　BD

解析　题中A、B两个＋Q在O点的场强矢量和为0，所以O点的场强等于C点在O点产生的场强（不为零），A选项错误；题中A、B、C三点电荷在D点产生的场强如图所示，大小相等，设EA＝EB＝EC＝E，EA、EB的矢量和沿x轴正方向，大小也等于E，EC方向沿x轴负方向，故三个场强的矢量和为0，B选项正确；x轴上x＜0的区间，合场强方向沿x轴负方向，所以将正电荷从O移向C，电场力做正功，电势能减小，将负电荷从O移向C，电场力做负功，电势能增大，C选项错误，D选项正确．

二、非选择题

11．匀强电场的场强为40N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9kg、带电荷量为－2×10－9C的微粒从A点移到B点，电场力做了1.5×10－7J的正功．求：

（1）A、B两点间的电势差UAB；

（2）A、B两点间的距离；

（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10m/s，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度．

答案　

（1）－75V　

（2）1.875m　（3）5

m/s，方向与电场线同向

解析　

（1）WAB＝UAB·q

UAB＝

＝

V＝－75V.

（2）由题意知：

场强方向由B→A，故UBA＝E·d，d＝

＝

m＝1.875m.

（3）由动能定理有WAB＝

mv

－

mv

解得vB＝5

m/s，方向与电场线同向．

12.如图11所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6J，将另一电荷量为10－8C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6J．若AB边长为2

cm，则电场强度的大小为多大？

方向如何？

图11

答案　104V/m　为垂直B、C连线，由A指向BC

解析　正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得：

UAB＝

＝

V＝300V.

负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，同理可判断A点电势高于C点，可求得：

UAC＝

＝

V＝300V.

因此B、C两点电势相等，UBC＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：

E＝

＝

V/m＝104V/m.

13.如图12所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2

.求：

图12

（1）小球滑到C点时的速度大小；

（2）若以C点作为零电势点，试确定A点的电势．

答案　

（1）

（2）

解析　

（1）因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．

由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝

根据动能定理有mg·

＝

－

解得vC＝

.

（2）小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝

，又根据电场力做功与电势能的关系：

W电＝EpA－EpC＝－qφA－（－qφC）．

又因为φC＝0，

可得φA＝

.