人教版初中《第17章几何不等式与极值问题》竞赛专题复习含答案.docx
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人教版初中《第17章几何不等式与极值问题》竞赛专题复习含答案
第17章几何不等式与极值问题
17.1.1*—个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n的最大值.
解析考虑这个凸行边形的n个外角，有n_4个角＞90，故有n_490:
：
:
360（严格
小于是由于4个钝角的外角和大于0。
），因此nc8,n的最大值是7•易构造这样的例子。
如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k3.
17.1.2*在厶ABC中，ABAC,P为BC边的高AD上的一点，求证：
AB-AC：
：
：
PB-PC.
解析易知ABAC■PBPC,
又AB2—AC2=BD2—CD2
22
=PB-PC,
故有AB-AC:
PB—PC.
评注读者不妨考虑AD是角平分线与中线的情况.
17.1.3已知四边形ABCD,AC、BD交于0,△ADO和厶BCO的面积分别为3、12,求四边形ABCD面积的最小值.
积达到最小值27.
17.1.4^已知：
直角三角形ABC中，斜边BC上的高h=6.
（1）求证：
BChABAC;
（2）求（BC+h2-（AB+AC2.
解析（BC+h$-（AB+AC$
2222
=BCh2BCh—AB—AC-2ABAC,
QQQ
由条件，知2BCh=4S^abc=2ABAC，且ABAC=BC,于是BCh2_ABAC2=h2=36.
注意：
这同时解决了
（1）和
（2）.
17.1.5*设矩形ABCD,BC=10,CD=7，动点F、E分别在BC、CD上，且BF・ED=4,求厶AFE面积的最小值.
解析
如图，连结AP，设.MAP二:
-,NAP=1:
，由
S\amp'Saanp-Saman，得
AM
APsink-ANAPsin--AMANsin^。
左式>2AP,AMAN》sin：
sin「,
17.1.7^正三角形ABC的边长为1,M、N、P分别在BC、CA、AB上，BMCNAP=1,
求△MNP的最大面积。
解析如图，设BM=x,CN=y,AP=z，则gx,y,z<1,xy。
于是问题变为求x1「z［亠y1「x［亠z1-y的
d1、d2，求d1d2的最大值.
解析如图，若I穿过BC,则由“直角边小于斜边”知d1-d2I_BC.
若I不经过BC，取BC中点P，作PQ」，Q在I上，则d1d2=2PQW2A^3，取到等号仅当I//BC.
综上所述，d1d2的最大值为。
17.1.9在数1、丄、1、丄、1、丄、1、1、丄、丄中，若任找三个数能组成三角形
2345678910
的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？
解析此题可分类讨论。
显然1不可能为边.
次大边为1时，最小边.1_1—，可取1与-共有8组.
5
35
15
67
14
次大边为_、
11
.次大边
当最大边为-时，
—、—
4
5
67
1
为-时，最小边
111
51
可取一〜
-；次
5
4520
6
10
大边为1时，最小边丄―1二丄，可取丄〜丄;
64612710
次大边为1时，最小边1-1-，可取-
747288
和1。
共有11组。
9
综上所述，总共有41组.
17.1.10★设.XOY=60,A、B是OX上的两个定点，P是0Y上的一个动点，问当P
在什么位置时，PA2PB2最小？
解析如图，设OA二a,OB二b,OP=x，不妨设a：
：
：
b。
则
222
PAax「ax,
22|2
PBbx「bx,
故PA2PB2=2x2-abxa2b2
显然当x=~一-时，PA2PB2最小。
4
评注容易验证，此时P为AB的中点在OY上的射影。
17.1.11*设直角△ABC中，.C=90，求证：
SSaABC
4
连结A'B、A'C，则
解析如图，作A关于BC的对称点A,
11
BCA:
:
:
90，故CMPQ，于是结论成立。
22
三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、疋一个常见的结论.
评注
直角或钝角，这旦
17.1.13★★已知凸六边形ABCDEF中，AF//CD,AB//ED,BC//EF,求证：
Saace'Sabdf》Sabcdef•
解析如图，作口ABCD、□QCDE、口EFAR，于是出现三组全等三角形。
这样便有
即卩SaACES六边形ABCDEF+Sapqr
2
>1S
o六边形ABCDEF■
2
同理有Sabdf》并边形ABCDEF.
评注不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）
用这种方法还能证明Saacebdf.
17.1.14★★已知矩形ABCD，AB=3，BC=5，P是AD上一点，CP、BA延长后交于M，直线CQ垂直于BP，交BM于Q，若Q为MB中点，求AP•又条件同上，若BC的长度不固定，求BC的最小值.
解得x-。
2
2
2x「2yx9=0，
A/PCAZPBC
AP>AI，并说明等号成立的充分必要条件是
解析
易知
1
PBCPCBBC=IBCICB,
因此.BPC=/BIC.
故B、C、I、P四点共圆，即点P在ABCI的外接圆上。
记厶ABC的外接圆为门，则••的中心M为门的BC的中点，即为.A的平分线AI与门的交点。
在厶APM中，有
APPM>AM=AIIM二AlPM,故AP>AI.
等号成立的充分必要条件是点P位于线段AI上，即P=1•
17.1.16★★延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于90的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值.
解析如图，标好各角，则ACB•.ABC=180,
故总有一角<30，当△ABC为正三角形，DB_AB、DC_AC时最小角达到最大值30
17.1.17★★凸四边形ABCD中，点M、P分别是BC、CD的中点，若AM，AP=a，求证：
12
S四边形ABCDV—a
2
解析
如图，连结AC、MP，易知
S\AMP
11
+—SaBDC=S四边形AMCP=—S四边形ABCD-
42
又
SABDC：
：
'S四边形ABCD，
S^AMP
1
AMAPsinMAP
2
1
2
（AM+AP）12
<-AMAP2
88
因此
—S四边形ABCD*—S四边形ABCD_a，
248
解析因为
U=3PA2PBPC
=2（PAPB）（PAPC）
>2ABAC=2AB4.下面来求AB.
连结CD，则
延长BA至D，使得DA二AC,
1
.D=.DCABAC=.ABC,
2
所以△DCAs△DBC，故DC二DA，所以DC二DADB，即36M（4AB，故AB=5.BDDC
所以，所求的最小值为14.
17.1.19★★在锐角三角形ABC中，求证：
AcosB亠cosC<2sin-.
2
A
COSBCOSC=2sin.下面不妨设ABAC.
2
17.1.21★★设a、b、c为三角形三边长，则对任意实数x、y、z，有
222
a（x-y）（x-z）b（y-z）（y-x）c（z_x）（z_y）>0.
解析设x_y=p,y_z=q，贝Ux_z=p・q,
原式二a2p（pq）「b2qpc2（pq）q
二a2p2（a2-b2c2）pqc2q2二f（p）.
它的判别式厶=（a2—b2•c2）2q2—4a2c2q2
22222
=[（ac）-b][（a—c）-b]q
<0.
于是f（p）>0.
6个矩形全等）
17.1.22★已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？
（图中
解析设AB=x,AC=y,则总材料为I=10x9y-nc（l为常数），面积为S=6xy^x2.于
2
这个二次函数在x2—时取到极大值，此时x、y均有实际意义•取得窗的最大面积为
40十n
2l2
1203n
17.1.23★★ABCD和EFGH都是边长为1的正方形，且ABIIEF.两个正方形重叠部分的面积为—，求两个正方形中心距离的最小值.
16
解析如图，设ABCD的中心为I,EFGH的中心为J，过I、J分别作IKIIAB,JKIIBC,
E
A
N
BJ
H■-
I
1
M!
■（K
C
所以j2=（i一x）2（1-y）2
22
二xy-2（xy）2=（xy）2—2（xy）2一2丄
16
277
=（xy-1）>
88
所以，IJ》土•
4
当x=23,y=-3时等号成立•故所求的最小值为土•
444
17.1.24★★在锐角△ABC的边BC、CA、AB上各有一动点D、E、F，求证：
△DEF的
周长达到最小当且仅当AD、BE、CFABC的三条高.
解析如图，设D关于AB、AC的对称点分别为G、H,GD与AB交于M,DH与AC
交于N,贝卩厶D的周长
=GF->F2E2EM2ADH.BA®=智ABCHnM
BC
sin•BAC=竺吕•
R
CF也分别必须垂直于AC、AB时方能达到.
17.1.25★★直角三角形内切圆半径为1，求其面积的最小值.
解析设该直角三角形直角边长为a、b，则易知其内切圆半径为丄（a•b_・a—b2）=1,
2
整理，得（ab_2）2=a2b2，或ab=2a2b-2>4.ab-2，此即（.ab_2）2>2.
由于每条直角边均大于内切圆直径2,故冏.2，于是ab>22，直角三角形最小面
积为3・2.,2，此时该三角形为等腰直角三角形.
17.1.26★★梯形ABCD高为d，上底AD二a，对角线交于
又ED垂直平分PF，故EF二PE，易见EP：
：
：
BEBP，所以EF:
:
:
BECF.
17.1.28★★一凸六边形ABCDEF每条边长均为1，求证：
AD、BE、CF中至少有一个<2.解析如图，由于.A「B「C「D「E「F=720，不妨设•AF<240,作菱形
ABGF，则.GFE<60,FG二FE=1，则GE是△FGE最小边，GE<1，又BG=1,故BE17.1.29★★在正△ABC内，P是一动点，求以P在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值.
解析如图，△ABC内一点P在BC、CA、AB的射影分别为D、E、F，贝U
S\DEFEPFFPD'S^DPE
1
（PDPEPEPFPFPD）sin1202
=-^（PDPEPEPFPFPD）.
1
由熟知的不等式ab+bc+caw-（a+b+c）2，及PD+PE+PF为常数（△ABC的高h），得3
等式成立，仅当PD=PE=PF，此时PABC的中心.
17.1.30★★证明：
四边形四边的平方和不小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时.
解析如图，设BD中点为E，由中线长公式知
222
2BCCDBD
4
又由基本不等式，有
2222
2（AECE）>（AECE）>AC,
故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式.
等号成立时A、E、C共线，且E为AC中点，即AC、BD互相平分，于是四边形ABCD为一平行四边形.
评注又由托勒密不等式ADBCABCD>ACBD,知有
（ADBC）2（ABCD）2>（ACBD）2，等号成立仅当四边形ABCD为矩形.
17.1.31★★设面积为1的锐角△ABC三条边分别是a、b、c，动点P在AC上，P在BC上的射影是Q，求△BPQ面积的最大值（用a、b、c表示）.
解析如图，作AR_BC于R•因为BQ-PQcotC^BC（常数），于是4BQPQcotC
BC2-（BQ-CQ）2.
当BRWRC,即AB大值为
1
12
a2sinC
BQPQ
BCtanC=
2
8
8cosC
aSABC
2a
4bcosC
2.22、
2（ab-c）
当BRRC，即卩cb时，BQCQ.当Q落在R上，BQ-CQ达到最小，BQPQ达到最
2222
大•此时bpq的最大值为abrinBcosB=*cosB=空c2b.
2a2a
17.1.32★★设D为定线段AB上一定点，P为动点，PD的长度固定，求PAPB之最大值.解析由斯图沃特定理PA2BD-PB2・AD=ADBDABPD2AB，注意等式右端为定值.
又由柯西不等式（或展开后移项配方）有
丄丄（
BDAD
故
PA2BDPB2AD）>（PAPB）2,
2
（PAPB）
/AB2
W（ADBDABPDAB）
BDAD
22
PDAB
二AB
BDAD
11
S四边形ABFD=S四边形AECD'S四边形EBFCW一ACD^_EFBC=150•一2
上，满足要求•所以S四边形abfd的最大值为150.
S四边形ABCD-SAABPBCPSACDPDAP
C共线，B、P、D共线，AC_BD，此时，AC=BD=：
5,S四边形abcd取最大值兰-
—2
17.1.35★★面积为1的三角形ABC中，三条边长a、b、c满足a解析如图，过C作直线IIIAB，又作BE_I于E，延长一倍至D，连结CD•则
ab=ACCD>AD=•c2（2h）2•这里h=BE•
显然有c2亠4h2>2.c24h2=4ch=8，于
仅当A、C、D共线，即a=b=：
还，且c=2h=2时取等号，此时△ABC为等腰直角三角形.
17.1.36★★三角形两边长分别等于10和15,证明：
这两个边的夹角的角平分线小于12.
解析如图，不妨设AB=15,AC=10,AD为角平分线.今在AB上取一点E，使E）/C则易知史BDAB艺,
ACBCAB+AC255
由PN又作.BAC的平分线AST,PT、NS分另U与AST垂直于T、S,由于.PAS=/NAS=：
30,
1
1=APAN=2PT2SN<2PN，故PN》丄，取等号时PN_AS，且P、N是AB、AC
2—
13
的中点，同理有PM,MN>丄，故△MNP的周长》-，取等号仅当M、N、P为各边之
22
中点时.
17.1.38★★已知面积为T的梯形ABCD满足ABIICD,E为边AB上一点，且满足
ECIIAD,直线AC、BD、DE交出的三角形面积为t.当丄最大时，求些.
TCD
解析如图，设DE与AC交于M,BD与AC交于N，则S^MND=t.
设CD=x,
AB
x）,
SADCE
S梯形ABCD
2x
即
SADCE-
2xT
Sadmc
xT
，又设
x亠y
xy
一2（xy）
AM=
CM=
=P
MN=q
则
ya
B
A
N
P
解q出
卫
y-x
即
xC
D
C
N
p
q
P
y亠x
t3DM"=冗.于是要汗达到最大，即•斥达最大，其中
-
-
218
S
k=y>1.令丄二s<-，则上!
厂S-2S2丄2S12-S2旦殳
xk12（k1222
仅当2S=1-2S时达到最大，此时k=3.
17.1.39★★已知△ABC的边AB、AC上分别有点D、E,F在DE上，求证:
△ElABC,
并求等号成立的条件.
解析如图，连结CD、AF•设如=匕,圧=k2,D1=k3，贝V
DBCEEF
于是
=1-2x2.
S—2
BFBF
2=圧次（1-2x2）=-2x
C3BFBF.4
即4CF=：
BF时，C1C2有最大值9.
C38
17.1.41★★BE、CF是厶ABC的中线，且BE_CF，设AC=b,AB=c（cb）.
（1）求BC之长（用b、c表示）;
（2）若△ABC存在，求b的范围.
c
解析
（1）设BE交CF于G，则GABC的重心，故2GF=GC,2GE=BG，设GEx
GF二y，因AFGB、△EGC、△GBC为直角三角形，于是有：
A
4y2Jb2,①
4
y24x2
=lc2,②
4
4x24y2=BC2•③
由①+②得
由③得
2212
5（xy）（bc）,
4
1
BC（bc）,
5
122
BC5（bc）.
△ABC存在，则
（2）如果
ABACBCAB-AC,于是有：
[1
cb、.5（b2c2）,
<5；
c—bc-J5（b2+c2）.（cAb>0）
5
（cb）2-（b2c2）,④
!
5
（c-b）2：
：
l（b2C2）⑤
L5
不等式④恒成立；由不等式⑤得：
从而
4—2
■0,
解之得：
1b门
.
2c
由于cb・0,结合不等式⑤的解，得:
1b彳1.
c
所以，当1
2
17.1.42★★
：
：
：
—：
：
：
1时，△ABC存在.c
△ABC中，点D、E、
F分别在BC、CA、AB上，求证:
1
min（S\afe,bfd,S^ced）wabc，
4
并求等号成立的条件.
解
Saa
Sa
析
SZF
AF
aee
BFBD
CDCEB
如
图
CEEA
AFBF
BDCD
Saa
Sa
Szb
AB
ACc
ABBC
BC
CAa
AB2
BBC
.2
ACc
所以Sw-saabc，取等号时仅当D、E、F为各边中点.
4
17.1.43★★★已知：
锐角△ABC中，角平分线AD、中线BM、高CH交于一点P，证明：
ZBAC45.
解析如图，若乙BACw45，则由于NACB：
：
：
90，得乙ABC45，故ACC,AHBH.
作边AB上的中线CN，交BM于Q，易知N在AH内，于是如=-HP:
:
:
也二丄，故在直
ACCPQC2
角三角形AHC中，乙BAC60，矛盾，于是ZBAC45.
17.1.44★★★证明托勒密定理和托勒密不等式：
对于凸四边形ABCD,
ABCDADBC>ACBD，等号成立仅当A、B、C、D共圆.
解析如图，今在AB或延长线上取一点M,在AD或延长线上取一点N,使
ABAM二AC二ADAN!
结MC、NC、MN.
ACAC
易知△ABCs△ACM，故MC=BCAC，同理，NC=CDAC，又△ABDs△ANM,ABAD
故
由于MN.ABC.ADCACM.ACN=180，即A、B、C、D共圆.
17.1.45★★★
边长为1的正方形内部或边界上有n个点，则必有两点距离
W.6—."2n二3,）1（n=4）.
解析如图（a），先说明一个结果：
△ABC中AD为角平分线，AA是AD的反向延长，则
由.AAB二.AAC90，得ABAB,ACAC.
先考虑n=3的情形，假定P、Q、R三点在正方形ABCD（边长1）内或边上•若P在内，则可用.QPR角平分线反向延长，交到正方形某边或顶点为P,这样△PQR的每边都不小于厶PQR的相应边.于是P、Q、R三点最终都被“调”到正方形ABCD的边或顶点上.再通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调，最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点.
不妨设P落在A的位置，若Q在AD或AB上，则PQw1：
：
：
•6-2,于是由对称性，可设Q
在CD上，而R在BC上.如图（b）.若AQ•「6-•2，则
DQ=•AQ2_AD2.（.6-2）2一仁2_.3,
CQ.；：
J3-1,
同理CR：
：
..3_1,RQ=、、；CQ2—CR2：
：
.6—.2.
综上所述结论成
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