人教版初中《第17章几何不等式与极值问题》竞赛专题复习含答案.docx

1、人教版初中第17章几何不等式与极值问题竞赛专题复习含答案第17章几何不等式与极值问题17.1.1* 个凸行边形的内角中，恰好有 4个钝角，求n的最大值.解析 考虑这个凸行边形的n个外角，有n_4个角90，故有n_4 90 :：: 360 （严格小于是由于4个钝角的外角和大于 0。），因此nc8 , n的最大值是7易构造这样的例子。如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k 3.17.1.2* 在厶 ABC 中，AB AC , P 为 BC 边的高 AD 上的一点，求证：AB - AC ： PB - PC .解析 易知AB AC PB PC ,又 AB2 AC2 =BD2 CD22 2=PB -PC

2、,故有 AB -AC : PB PC .评注 读者不妨考虑AD是角平分线与中线的情况.17.1.3 已知四边形 ABCD , AC、BD交于0 , ADO和厶BCO的面积分别为 3、12 , 求四边形ABCD面积的最小值.积达到最小值27.17.1.4 已知：直角三角形 ABC中，斜边BC上的高h=6.（1）求证：BC h AB AC ;(2)求(BC +h 2 - (AB +AC 2 .解析 (BC+h $ -(AB+AC $2 2 2 2=BC h 2BC hAB AC -2AB AC,Q Q Q由条件，知 2BC h =4Sabc =2AB AC，且 AB AC= BC , 于是 BC

3、h 2 _ AB AC 2 =h2 =36 .注意：这同时解决了（ 1）和（2）.17.1.5* 设矩形 ABCD , BC=10 , CD =7，动点 F、E分别在 BC、CD上，且 BF ED=4 , 求厶AFE面积的最小值.解析如图，连结 AP，设.MAP 二:-,NAP = 1 :，由S amp Sa anp - Sa man，得AMAP sin k -AN AP sin - - AM AN sin。左式 2AP , AM ANsin ： sin,17.1.7 正三角形 ABC的边长为1, M、N、P分别在BC、CA、AB上，BM CN AP =1 ,求 MNP的最大面积。解析 如图，

4、设 BM =x , CN =y , AP =z，则 gx , y , z1 , x y 。于是问题变为求 x 1z 亠y 1x 亠z 1 -y的d1、d2，求d1 d2的最大值.解析 如图，若I穿过BC ,则由“直角边小于斜边”知 d1 - d2 BC =1，取到等号时仅当I_BC.若I不经过BC，取BC中点P，作PQ，Q在I上，则d1 d2 =2PQW2A 3，取到等 号仅当I/BC.综上所述，d1 d2的最大值为。17.1.9 在数1、丄、1、丄、1、丄、1、1、丄、丄中，若任找三个数能组成三角形23456789 10的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？解析 此题可

5、分类讨论。显然1不可能为边.次大边为1时，最小边.1 _1 ，可取1与-共有8组.53 5156 71 4次大边为_、1 1.次大边当最大边为-时， 、 456 71为-时，最小边1 1 15 1可取一-；次54 5 20610大边为1时，最小边 丄1二丄，可取丄丄;64 6 12 7 10次大边为1时，最小边 1 -1 -，可取-74 7 28 8和1。共有11组。9综上所述，总共有 41组.17.1.10 设.XOY=60 , A、B是OX上的两个定点，P是0Y上的一个动点，问当P在什么位置时，PA2 PB2最小？解析 如图，设OA二a , OB二b , OP=x，不妨设a ： b。则2

6、2 2PA a xax,2 2 | 2PB b xbx,故 PA2 PB2 =2x2 - a b x a2 b2显然当x =一-时，PA2 PB2最小。4评注 容易验证，此时P为AB的中点在OY上的射影。17.1.11* 设直角 ABC 中，.C=90，求证：S 1So六边形ABCDEF 2同理有Sabdf并边形ABCDEF .评注 不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）用这种方法还能证明 Sa ace bdf.17.1.14 已知矩形 ABCD，AB=3，BC =5，P是AD上一点，CP、BA延长后交于 M ， 直线CQ垂直于BP，交BM于Q，若Q为MB中点，求AP

7、 又条件同上，若 BC的长度不固 定，求BC的最小值.解得x -。222x2yx 9 = 0，A / P C A Z P BCAP AI，并说明等号成立的充分必要条件是解析易知1PBC PCB B C = IBC ICB ,因此 .BPC=/BIC.故B、C、I、P四点共圆，即点 P在ABCI的外接圆上。记厶ABC的外接圆为 门，则的中心M为门的BC的中点，即为.A的平分线AI与门的 交点。在厶APM中，有AP PM AM =AI IM 二 Al PM , 故 AP AI .等号成立的充分必要条件是点 P位于线段AI上，即P =1 17.1.16 延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任

8、两条直线有一个不大于 90的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值.解析 如图，标好各角，则ACB . ABC =180 ,故总有一角 30，当 ABC为正三角形， DB_AB、DC _ AC时最小角达到最大值 3017.1.17 凸四边形 ABCD中，点M、P分别是BC、CD的中点，若 AM，AP=a，求 证：1 2S四边形ABCD V a2解析如图，连结AC、MP，易知S AMP1 1+ SaBDC =S四边形AMCP =S四边形ABCD -4 2又SA BDC ： S四边形 ABCD，S AMP1AM APsi n MAP212(AM +AP) 1 2 -AM AP 2

9、AB AC =2AB 4 . 下面来求AB .连结CD，则延长BA至D，使得DA二AC ,1.D =. DCA BAC = . ABC ,2所以 DCAs DBC，故 DC 二DA，所以 DC 二 DA DB，即 36 M(4 AB，故 AB = 5 . BD DC所以，所求的最小值为14.17.1.19 在锐角三角形 ABC中，求证：A cos B 亠cosC 0 .解析 设 x_y = p , y_z=q，贝U x_z = pq ,原式 二a2 p( p q)b2qp c2( p q)q二 a2 p2 (a2 - b2 c2)pq c2q2 二 f ( p).它的判别式 厶=(a2 b2

10、c2)2q24a2c2q22 2 2 2 2=(a c) -b (a c) -b q 0 .6个矩形全等)17.1.22 已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？(图中解析 设AB = x , AC = y ,则总材料为I = 10x 9y - nc( l为常数)，面积为S = 6xy x2 .于2这个二次函数在x 2时取到极大值，此时 x、y均有实际意义取得窗的最大面积为40十n2l2120 3 n17.1.23 ABCD和EFGH都是边长为1的正方形，且AB II EF .两个正方形重叠部分的 面积为，求两个正方形中心距离的最小值.16解析 如图，设ABCD的中心为I , EFGH的中

11、心为J，过I、J分别作IK II AB , JK II BC ,EANB JH -I1M ! ( KC所以 j2 =(i 一x)2 (1 -y)22 2二x y -2(x y) 2 =(x y)2 2(x y) 2一2 丄162 7 7=(x y -1) 8 8所以， IJ土 4当x =2 3 , y =- 3时等号成立故所求的最小值为 土 4 4 417.1.24 在锐角 ABC的边BC、CA、AB上各有一动点 D、E、F，求证： DEF的周长达到最小当且仅当 AD、BE、CF ABC的三条高.解析 如图，设D关于AB、AC的对称点分别为 G、H , GD与AB交于M , DH与AC交 于

12、N , 贝卩厶D 的 周 长=G F - F2 E 2 EM 2AD H . BA =智ABC H n MBCsin BAC =竺吕RCF也分别必须垂直于 AC、AB时方能达到.17.1.25 直角三角形内切圆半径为 1，求其面积的最小值.解析 设该直角三角形直角边长为 a、b，则易知其内切圆半径为 丄(a b_ab2) =1 ,2整理，得(a b _2)2 =a2 b2，或 ab =2a 2b -2 4 . ab -2，此即(.ab _2)2 2 .由于每条直角边均大于内切圆直径 2,故 冏.2，于是ab 2 2，直角三角形最小面积为32.,2，此时该三角形为等腰直角三角形.17.1.26

13、梯形ABCD高为d，上底 AD二a，对角线交于又 ED垂直平分 PF，故 EF 二 PE，易见 EP ： BE BP，所以 EF : BE CF .17.1.28 一凸六边形 ABCDEF每条边长均为1，求证：AD、BE、CF中至少有一个 2 . 解析 如图，由于.ABCDEF =720，不妨设 A F 240 ,作菱形ABGF，则.GFE 60 , FG 二 FE =1，则 GE 是 FGE 最小边，GE 1，又 BG =1,故 BE BG GE (AE CE) AC ,故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式.等号成立时A、E、C共线，且E为AC中点，即AC、BD互相平分，于是四边

14、形 ABCD 为一平行四边形.评注 又由托勒密不等式 AD BC AB CD AC BD , 知有(AD BC)2 (AB CD)2 (AC BD)2，等号成立仅当四边形 ABCD为矩形.17.1.31 设面积为1的锐角 ABC三条边分别是a、b、c，动点P在AC上，P在BC 上的射影是Q，求 BPQ面积的最大值(用 a、b、c表示).解析 如图，作 AR_BC于R 因为BQ - PQcotCBC (常数)，于是4BQ PQ cotCBC2 -(BQ -CQ)2.当BRW RC,即AB AC或c (PA PB)2 ,2(PA PB)/ AB 2W (AD BD AB PD AB)BD AD2

15、2PD AB二 ABBD AD1 1S四边形 ABFD = S四边形 AECD S四边形 EBFC W 一 AC D _ EF BC =150 一 2上，满足要求所以 S四边形abfd的最大值为150 .S四边形 ABCD - SA ABP BCP SA CDP DAPC共线，B、P、D共线，AC_BD，此时，AC=BD=：5, S四边形abcd取最大值 兰- 217.1.35 面积为1的三角形 ABC中，三条边长a、b、c满足a b AD = c2 (2h)2 这里 h =BE 显然有 c2 亠4h2 2 . c2 4h2 =4ch =8，于仅当A、C、D共线，即a=b=：还，且c=2h=2

16、时取等号，此时 ABC为等腰直角三角 形.17.1.36 三角形两边长分别等于 10和15,证明：这两个边的夹角的角平分线小于 12.解析 如图，不妨设AB =15 , AC =10 , AD为角平分线.今在AB上取一点E，使E） /C 则易知史BD AB 艺 ,AC BC AB +AC 25 5由PN AP AN等知 MNP的周长 AB BC CA=3，达到最大值时 M、N、P分别 落在 ABC的三个顶点上.又作.BAC的平分线AST , PT、NS分另U与AST垂直于T、S ,由于.PAS=/NAS=：30 ,11 =AP AN =2PT 2SN 丄，故 MNP的周长-，取等号仅当 M、N

17、、P为各边之22中点时.17.1.38 已知面积为 T的梯形 ABCD满足 AB II CD , E为边 AB上一点，且满足EC II AD,直线AC、BD、DE交出的三角形面积为 t.当丄最大时，求 些.T CD解析 如图，设 DE与AC交于M , BD与AC交于N，则SMND =t.设 CD =x ,ABx),S ADCES梯形ABCD2x即S ADCE -2xT,Sa dmcxT，又设x亠yx y一 2(x y)AM =CM =P, MN = q,则y aBANP解q出卫y -x,即x CDCNpqPy亠xt 3DM=冗.于是要汗达到最大，即斥达最大，其中-21 8Sk=y 1.令丄二s

18、 -，则上!厂S-2S2 丄 2S 1 2-S 2 旦殳x k 1 2 (k 1 2 2 2仅当2S =1 -2S时达到最大，此时 k = 3 .17.1.39 已知 ABC的边AB、AC上分别有点 D、E , F在DE上，求证: El ABC ,并求等号成立的条件.解析 如图，连结CD、AF 设如=匕,圧=k2, D1 =k3，贝VDB CE EF于是=1 -2x2 .S2BF BF2 =圧 次(1-2x2)=-2 xC3 BF BF . 4即4CF =：BF时，C1 C2有最大值9 .C3 817.1.41 BE、CF 是厶ABC 的中线，且 BE _ CF，设 AC =b , AB=c(

19、c b).(1 )求BC之长(用b、c表示);(2 )若 ABC存在，求b的范围.c解析 (1 )设BE交CF于G，则G ABC的重心，故2GF =GC ,2GE=BG，设GE xGF二y，因AFGB、 EGC、GBC为直角三角形，于是有：A4y2 Jb2,4y2 4x2= lc2,44x2 4y2 =BC2 由+得由得2 2 1 25(x y ) (b c ),41BC (b c ),51 2 2BC 5(b c ). ABC存在，则(2)如果AB AC BC AB-AC , 于是有： 1c b 、. 5(b2 c2),0)5(c b)2 -(b2 c2),! 5(c -b)2 ：l(b2

20、C2)L 5不等式恒成立；由不等式得：从而4 20 ,解之得：1b门.2c由于c b0,结合不等式的解，得:1 b彳 1 .c所以，当1217.1.42 ：1 时， ABC 存在. c ABC 中，点 D、E、F分别在BC、CA、AB上，求证:1min( S afe , bfd , Sced ) w abc，4并求等号成立的条件.解Sa aSa析SZFAFaeeBF BDCD CEB如图CE EAAF BFBD CDSa aSaSzbABACcAB BCBCCAaAB2BBC.2AC c所以S w -saabc，取等号时仅当 D、E、F为各边中点.417.1.43 已知：锐角 ABC中，角平分

21、线 AD、中线BM、高CH交于一点P，证明：ZBAC 45 .解析 如图，若乙BAC w 45，则由于NACB：90，得乙ABC 45，故AC C , AH BH .作边AB上的中线CN，交BM于Q，易知N在AH内，于是如=-HP :也二丄，故在直AC CP QC 2角三角形AHC中，乙BAC 60，矛盾，于是ZBAC 45 .17.1.44 证明托勒密定理和托勒密不等式：对于凸四边形ABCD ,AB CD AD BC AC BD，等号成立仅当 A、B、C、D共圆.解析 如图，今在AB或延长线上取一点M ,在AD或延长线上取一点N ,使AB AM 二 AC 二 AD AN!结 MC、NC、MN

22、 .AC AC易知 ABC s ACM，故 MC =BC AC，同理，NC =CD AC，又 ABD s ANM , AB AD故由于MN CM CN，上几式代入，得.ABC . ADC ACM . ACN =180， 即A、B、C、D共圆.17.1.45 边长为1的正方形内部或边界上有n个点，则必有两点距离W .6 .2 n 二 3,) 1(n =4).解析 如图（a），先说明一个结果： ABC中AD为角平分线，AA是AD的反向延长，则由.AAB 二.A AC 90，得 AB AB , AC AC .先考虑n =3的情形，假定P、Q、R三点在正方形 ABCD （边长1 ）内或边上若P在内，

23、则可用.QPR角平分线反向延长， 交到正方形某边或顶点为 P ,这样 PQR的每边都不小 于厶PQR的相应边.于是P、Q、R三点最终都被“调”到正方形ABCD的边或顶点上.再 通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调， 最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点.不妨设P落在A的位置，若Q在AD或AB上，则PQ w 1 ： 6 - 2 ,于是由对称性，可设Q在CD上，而 R在BC上.如图（b）.若AQ 6 - 2，则DQ = AQ2 _AD2 . ( .6 - 2)2 一仁 2_ .3 ,CQ .；： J3 -1,同理 CR ： . 3 _1, RQ =、；CQ2CR2 ： . 6 . 2 .综上所述结论成