MATLAB程序设计 BS公式与二叉树模型期权定价与分析.docx
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MATLAB程序设计BS公式与二叉树模型期权定价与分析
BS公式与二叉树模型—期权定价与分析
什么是期权？
期权就是当什么时候或条件下，你有什么权力。
教课书上的期权似乎离我们比较遥远，或仅限于金融市场。
但如果仔细想想，车险或疾病保险似乎也是一种期权，期权本质是一种选择权。
例如，商业医疗保险，客户每年缴纳一定的保费，获得在生病时获取一定补偿的权利。
公司期权，若工作业绩达到某个标准（付出），得到公司多少多上的期权。
就如面临选择，需要权衡一样；各种期权也需要衡量（定价）。
1Black-Scholes期权定价公式
1973年，芝加哥大学教授Black和MIT教授Scholes在美国“政治经济学报”（JournalofPoliticalEconomy）上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”（ThepricingofOptionsandCorporateLiabilities）的论文；同年，哈佛大学教授Merton在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”（Theoryofrationaloptionpricing），奠定了期权定价的理论性基础，B-S期权定价公式诞生了。
1.1布朗运动
从概率论的角度讲，标的资产价格的变化是一个随机过程。
因此，了解和掌握这个随机过程的基本特征，是期权定价理论首先要回答的基本问题。
例如，股票价格变动服从几何布朗运动或对数正态分布，是Black和Scholes在推导B-S期权定价模型时用到的最基本的假设。
一般维纳过程：
设
为布朗运动，则称
为一般化的维纳过程（布朗运动）。
称
为瞬时期望漂移率，
为瞬时标准差，它们都是给定的参数，
是连续的维纳过程。
生成布朗运动的随机序列，作者编写了函数BrownM可以生成一维或者二维的随机序列，具体使用方法为：
functiondata=BrownM（Npoints,Mean,Std,Opt）
输入参数：
Npoints：
生成序列的节点数
Mean：
正态分布均值
Std：
正态分布标准差
Opt：
选择项Opt=1生成一维随机数，Opt=2生成二维随机数
输出参数：
Data：
服从布朗运动一维或者二维的随机序列
BrownM源码：
functiondata=BrownM（Npoints,Mean,Std,Opt）
%codebyariszheng@
%2009-6-13
dt=1;
%dt时间变化
%选择项Opt=1生成一维随机数，Opt=2生成二维随机数
ifOpt==1
%%
%standardBrownianmotion
data=[0cumsum（dt^0.5.*random（'Normal',Mean,Std,1,Npoints））];
%random（'Normal',Mean,Std,1,Npoints）
%生成服从正态分布的随机数，Mean均值，Std方差，1,Npoints一行Npoints个
%cumsum为累加函数
%画图
figure
plot（0:
Npoints,data）;
elseifOpt==2
data=cumsum（[zeros（1,3）;dt^0.5*random（'Normal',Mean,Std,Npoints-1,3）]）;
%画图
figure
plot3（data（:
1）,data（:
2）,data（:
3）,'k'）;
%根据数值设定画图点的颜色
pcol=（data-repmat（min（data）,Npoints,1））./...
repmat（max（data）-min（data）,Npoints,1）;
%叠加画图
holdon;
scatter3（data（:
1）,data（:
2）,data（:
3）,...
10,pcol,'filled'）;
%显示网格
gridon;
holdoff;
else
error（'Opt=1orOpt=2'）
end
注视：
累加运算Cumsum例如A=[1，2，3，4];Cumsum（A）=[1，3，6，10]
BrownM使用实例：
M文件BrownMtest.M
%testBrownM
%生成1000个数据
Npoints=1000;
%均值为0
Mean=0;
%方差为1
Std=1;
%生成一维随机数
Opt=1;
dataA=BrownM（Npoints,Mean,Std,Opt）;
%Opt=2;
%dataB=BrownM（Npoints,Mean,Std,Opt）;
结果图：
布朗运动一维随机序列与布朗运动二维随机序列
图1布朗运动一维随机序列图
图2布朗运动二维随机序列图
1.2B-S定价模型
即著名的Black-Scholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式：
其中，
Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：
：
标的资产市场价格
：
执行价格
：
无风险利率
：
标的资产价格波动率
：
距离到期时间。
Matlab提供了Black-Scholes期权定价模型函数
函数名称
函数功能
blsdelta
Black-Scholessensitivitytounderlyingpricechange
Delta计算
blsgamma
Black-Scholessensitivitytounderlyingdeltachange
Gamma值计算
blslambda
Black-Scholeselasticity
blsprice
Black-Scholesputandcalloptionpricing
BS公式期权价值计算
blsrho
Black-Scholessensitivitytointerestratechange
利率变化rho计算
blstheta
Black-Scholessensitivitytotime-until-maturitychange
剩余期限theta值计算
blsvega
Black-Scholessensitivitytounderlyingpricevolatility
标的资产的波动率Vage值计算
blkimpv
ImpliedvolatilityforfuturesoptionsfromBlack'smodel
Black模型隐含波动率计算
表1Black-Scholes期权定价模型函数
1．期权价格函数blsprice
[Call,Put]=blsprice（Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield）
输入参数：
Price：
标的资产市场价格
Strike：
执行价格
Rate：
无风险利率
Time：
距离到期时间
Volatility：
标的资产价格波动率
Yield：
（可选）资产连续贴现利率，默认为0
输出参数：
Call:
Calloption价格
Put：
Putoption价格
假设欧式股票期权，三个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，则期权价格为：
%标底资产价格
Price=100;
%执行价格
Strike=95;
%无风险收益率（年化）10%
Rate=0.1
%剩余时间
Time=3/12=0.25;
%年化波动率
Volatility=0.5
[Call,Put]=blsprice（100,95,0.1,0.25,0.5）
>>Call=13.70%买入期权
>>Put=6.35%卖出期权
若要分析期权价格与波动率关系，我们可以根据一系列波动率计算，一系列看涨期权与看跌期权的价格，可以编写blsprice_Vol.m程序
%标底资产价格
Price=100;
%执行价格
Strike=95;
%无风险收益率（年化）
Rate=0.1;%10%
%剩余时间
Time=3/12;%=0.25;
%年化波动率从0.1到0.5间隔0.01共41个数据点
Volatility=0.1:
0.01:
0.5;
%数组Volatility的元素个数
N=length（Volatility）
Call=zeros（1,N）;
Put=zeros（1,N）;
fori=1:
N
[Call（i）,Put（i）]=blsprice（Price,Strike,Rate,Time,Volatility（i））;
End
%看涨期权为虚线
plot（Call,'b--'）;
holdon
%看跌期权为实现，‘b’表示蓝色
plot（Put,'b'）;
%横坐标
xlabel（'Volatility'）
%纵坐标
ylabel（'price'）
%线标
legend（'Call','Put'）
结果如图
图3期权价格与波动率关系
2．Greeks计算
期权的Greeks为期权价格对市场变量的敏感程度即定价公式的导数
（1）delta为期权价格对标的物市场价格的敏感度（S的一阶导数），计算函数为blsdelta
（2）gamma为期权Delta对标的物市场价格的敏感度（S的二阶导数），计算函数为blsgamma
（3）lambda为期权杠杆水平的一个比率,显示标的资产的价格每变动一个百分点,可导致期权价格变动的百分比.，计算公式为blslambda
（3）rho为期权对市场利率的敏感度（r的一阶导数），计算函数为blsrho
（4）theta为期权对剩余期限的敏感程度（T-t的一阶导数），计算函数为blstheta
（5）vega为期权对标底物价格波动率的敏感度（σ的一阶导数），计算函数为blsvga
以blsdelta函数语法为例，其他Greeks的语法与blsdelta基本相同
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta（Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield）
输入参数：
Price：
标的资产市场价格
Strike：
执行价格
Rate：
无风险利率
Time：
距离到期时间
Volatility：
标的资产价格波动率
Yield：
（可选）资产连续贴现利率，默认为0
输出参数：
CallDelta：
看涨期权的Delta
PutDelta：
看跌期权的Delta
假设欧式股票期权，三个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，则期权Delta为：
%标底资产价格
Price=100;
%执行价格
Strike=95;
%无风险收益率（年化）
Rate=0.1;%10%
%剩余时间
Time=3/12;%=0.25;
%年化波动率
Volatility=0.5;
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta（Price,Strike,Rate,Time,Volatility）
计算结果：
CallDelta=
0.6665
PutDelta=
-0.3335
若要分析期权Detla与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计
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