MATLAB程序设计 BS公式与二叉树模型期权定价与分析.docx

1、MATLAB程序设计 BS公式与二叉树模型期权定价与分析 BS公式与二叉树模型期权定价与分析 什么是期权？期权就是当什么时候或条件下，你有什么权力。教课书上的期权似乎离我们比较遥远，或仅限于金融市场。但如果仔细想想，车险或疾病保险似乎也是一种期权，期权本质是一种选择权。例如，商业医疗保险，客户每年缴纳一定的保费，获得在生病时获取一定补偿的权利。公司期权，若工作业绩达到某个标准（付出），得到公司多少多上的期权。就如面临选择，需要权衡一样；各种期权也需要衡量（定价）。1 Black-Scholes期权定价公式 1973年，芝加哥大学教授Black和MIT 教授Scholes在美国“政治经济学报”（

2、Journal of Political Economy）上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”（The pricing of Options and Corporate Liabilities）的论文；同年，哈佛大学教授Merton在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”（Theory of rational option pricing），奠定了期权定价的理论性基础，B-S期权定价公式诞生了。1.1布朗运动 从概率论的角度讲，标的资产价格的变化是一个随机过程。因此，了解和掌握这个随机过程的基本特征，是期权定价理论首先要回答的基本问题。例如，股票价格变动服从几何布朗

3、运动或对数正态分布，是Black和Scholes在推导B-S期权定价模型时用到的最基本的假设。一般维纳过程：设为布朗运动，则称 为一般化的维纳过程（布朗运动）。称为瞬时期望漂移率，为瞬时标准差，它们都是给定的参数，是连续的维纳过程。生成布朗运动的随机序列，作者编写了函数BrownM可以生成一维或者二维的随机序列，具体使用方法为：function data=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt)输入参数：Npoints：生成序列的节点数Mean：正态分布均值Std： 正态分布标准差Opt： 选择项Opt=1生成一维随机数，Opt=2生成二维随机数输出参数：Data：服从布朗运动

4、一维或者二维的随机序列BrownM源码：function data=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt)%code by ariszheng%2009-6-13dt=1;%dt时间变化%选择项Opt=1生成一维随机数，Opt=2生成二维随机数if Opt=1% standard Brownian motion data=0 cumsum(dt0.5.*random(Normal,Mean,Std,1,Npoints); %random(Normal,Mean,Std,1,Npoints) %生成服从正态分布的随机数，Mean均值，Std方差，1,Npoints 一行Npoi

5、nts个 %cumsum为累加函数 %画图 figure plot(0:Npoints,data);elseif Opt=2 data=cumsum(zeros(1,3);dt0.5*random( Normal ,Mean , Std ,Npoints-1,3 ); %画图 figure plot3(data(:, 1), data(:, 2), data(:, 3), k); %根据数值设定画图点的颜色 pcol = (data-repmat(min(data), Npoints, 1)./ . repmat(max(data)-min(data), Npoints, 1); %叠加画图

6、hold on; scatter3(data(:, 1), data(:, 2),data(:, 3), . 10, pcol, filled); %显示网格 grid on; hold off;else error(Opt=1 or Opt=2)end注视：累加运算Cumsum 例如A=1，2，3，4 ;Cumsum（A）=1，3，6，10BrownM使用实例：M文件BrownMtest.M%test BrownM%生成1000个数据Npoints=1000;%均值为0Mean=0;%方差为1Std=1;%生成一维随机数Opt=1;dataA=BrownM(Npoints,Mean,Std,

7、Opt);% Opt=2;% dataB=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt);结果图：布朗运动一维随机序列与布朗运动二维随机序列图1布朗运动一维随机序列图图2布朗运动二维随机序列图1.2 B-S定价模型即著名的Black-Scholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式：其中，Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：标的资产市场价格：执行价格：无风险利率：标的资产价格波动率：距离到期时间。Matlab提供了Black-Scholes期权定价模型函数函数名称函数功能blsdeltaBlack-Scholes sensitivity to

8、underlying price changeDelta计算blsgammaBlack-Scholes sensitivity to underlying delta changeGamma值计算blslambdaBlack-Scholes elasticityblspriceBlack-Scholes put and call option pricingBS公式期权价值计算blsrhoBlack-Scholes sensitivity to interest rate change利率变化 rho计算blsthetaBlack-Scholes sensitivity to time-unt

9、il-maturity change剩余期限theta值计算blsvegaBlack-Scholes sensitivity to underlying price volatility标的资产的波动率 Vage值计算blkimpvImplied volatility for futures options from Blacks model Black模型隐含波动率计算表1 Black-Scholes期权定价模型函数1期权价格函数blspriceCall, Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield)输入参数：Pri

10、ce：标的资产市场价格Strike：执行价格Rate：无风险利率Time：距离到期时间Volatility：标的资产价格波动率Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0输出参数：Call: Call option价格Put：Put option价格 假设欧式股票期权，三个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，则期权价格为：%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95; %无风险收益率（年化）10%Rate=0.1 %剩余时间Time=3/12=0.25;%年化波动率Volatility=0.5Call, Put

11、= blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) Call=13.70 %买入期权 Put=6.35 %卖出期权若要分析期权价格与波动率关系，我们可以根据一系列波动率计算，一系列看涨期权与看跌期权的价格，可以编写blsprice_Vol.m程序%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95; %无风险收益率（年化）Rate=0.1;%10%剩余时间Time=3/12;%=0.25;%年化波动率从0.1到0.5间隔0.01共41个数据点Volatility=0.1:0.01:0.5;% 数组Volatility的元素个数N=length(Volatility

12、)Call=zeros(1,N);Put=zeros(1,N);for i=1:N Call(i), Put(i) = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility(i); End%看涨期权为虚线plot(Call,b-);hold on%看跌期权为实现，b表示蓝色plot(Put,b);%横坐标xlabel(Volatility)%纵坐标ylabel(price)%线标legend(Call,Put)结果如图图3 期权价格与波动率关系2Greeks计算 期权的Greeks为期权价格对市场变量的敏感程度即定价公式的导数（1）delta为期权价格对

13、标的物市场价格的敏感度（S的一阶导数），计算函数为blsdelta（2）gamma为期权Delta对标的物市场价格的敏感度（S的二阶导数），计算函数为 blsgamma（3） lambda为期权杠杆水平的一个比率,显示标的资产的价格每变动一个百分点,可导致期权价格变动的百分比.，计算公式为blslambda（3）rho为期权对市场利率的敏感度（r的一阶导数），计算函数为blsrho（4）theta为期权对剩余期限的敏感程度（T-t的一阶导数），计算函数为blstheta（5）vega为期权对标底物价格波动率的敏感度（的一阶导数），计算函数为blsvga以blsdelta函数语法为例，其他Gre

14、eks的语法与blsdelta基本相同CallDelta, PutDelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格Strike：执行价格Rate：无风险利率Time：距离到期时间Volatility：标的资产价格波动率Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0输出参数： CallDelta：看涨期权的Delta PutDelta：看跌期权的Delta 假设欧式股票期权，三个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，则期权Delta为：%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95; %无风险收益率（年化）Rate=0.1;%10%剩余时间Time=3/12;%=0.25;%年化波动率Volatility=0.5;CallDelta, PutDelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility)计算结果：CallDelta = 0.6665PutDelta = -0.3335若要分析期权Detla与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time 计