初二数学四边形知识点总结教案.docx

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初二数学四边形知识点总结教案

知识点总结：

1．四边形的内角和与外角和定理：

（1）四边形的内角和等于360°；

（2）四边形的外角和等于360°.

2．多边形的内角和与外角和定理：

（1）n边形的内角和等于（n-2）180°；

（2）任意多边形的外角和等于360°.

3．平行四边形的性质：

因为ABCD是平行四边形⇒

4.平行四边形的判定：

.

5.矩形的性质：

因为ABCD是矩形⇒

6.矩形的判定：

⇒四边形ABCD是矩形.

7．菱形的性质：

因为ABCD是菱形

⇒

8．菱形的判定：

⇒四边形四边形ABCD是菱形.

9．正方形的性质：

因为ABCD是正方形

⇒

（1）

（2）（3）

10．正方形的判定：

⇒四边形ABCD是正方形.

（3）∵ABCD是矩形

又∵AD=AB

∴四边形ABCD是正方形

例题

例1：

如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：

∠BAE=∠DCF.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF.

∴∠BAE=∠DCF.

例2：

如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.

求证：

BE=CF.

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OC.

又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.

∵∠BOE=∠COF.

∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.

评注：

本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.

例3如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C.

∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.

（2）解析：

四边形MFNE是平行四边形.

∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.

又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.

∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形.

评注：

本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.

例4如图4，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.

求证：

四边形AFCE是菱形.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.

∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.

∴四边形AFCE是平行四边形.

又∵EA=EC，

∴四边形AFCE是菱形.

例5如图5，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.

（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

解析：

本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.

（1）①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.

（2）①证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.

∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.

∴△DEC≌△BFA.

例6如图6，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.

（1）求证：

四边形EFOG的周长等于2OB；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

解析：

（1）证明：

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.

又∵BC=CB，AB=DC，

∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.

又∵EG∥AC，∠ACB=∠GEB.

∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.

∵EG∥OC，EF∥OG，

∴四边形EGOF是平行四边形.

∴OE=OF，EF=OG.

∴四边形EGOF的周长=2（OG＋GE）=2（OG＋GB）=2OB.

（2）如图7，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.

求证：

四边形EFOG的周长等于2OB

注意：

若将矩形改为正方形，原结论成立吗？

课堂练习：

（一）精心选一选

1.下列命题正确的是（）

一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

对角线相等的四边形一定是矩形

两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为（）

A.6

3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（　　）

　（A）1　　　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　　（D）4

4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（）

（A）1　　　　　　（B）1.2　　　　　（C）

　　　　　　（D）1.5

5．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）

（A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm

6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线（　　　）

（A）互相垂直　　（B）相等　（C）互相平分　（D）互相垂直且相等

7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5

那么四边形AFDE的周长是（）

（A）5（B）10（C）15（D）20

8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．

（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm

9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是（）．

（A）9cm（B）12cm（c）

cm（D）18cm

10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）

（A）4cm（B）6cm（C）8cm（D）10cm

二．细心填一填

1.如果四边形四个内角之比1：

2：

3：

4，则这四边形为＿＿＿＿形。

2.若正方形的对角线长为2

cm，则正方形的面积为＿＿＿。

3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是＿＿＿

4.已知：

平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长5cm，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。

5.已知：

平行四边形ABCD中，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝

AB，∠EAF＝2∠C，则BE长为＿＿＿，则∠C＿＿＿.

6.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（－2，5），B（－3，－1），C（1，－1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．

7.已知：

如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为。

8．如图10

（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10

（2）所示的一个菱形．对于图10

（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：

．

（三）认真答一答

1.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。

3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：

△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论

A

B

C

D

E

F

D′

4．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，

∠ADB=60°，BD=10，BE∶ED=4∶1，求梯形ABCD的腰长.

5.如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，

∠BAE＝18°求∠CEF的度数。