苏教版初二数学下册平行四边形.doc

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溧阳易加益教育培训内部资料

平行四边形、菱形、矩形、正方形、中位线

课程说明:

本课程既是对前面所学的全等三角形知识的综合与延伸，也是学习特殊平行四边形的基础，了解并掌握平行四边形判别方法的探索过程，从边、角、对角线来研究平行四边形，使学生逐步掌握几何推理的过程与研究方法；并能对平行四边形的性质与判定进行初步应用。

（一）平行四边形

一、概念定义

平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

二、平行四边的性质

1、平行四边形对边平行且相等；

2、平行四边形对角相等；

3、平行四边形对角线互相平分；

4、平行四边形邻角互补；

5、平行四边形的对边相等，对角相等。

三、平行四边形的判定方法

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

6.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。

（二）菱形

一、定义：

在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。

二、主要特点

1、对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。

2、四条边都相等。

3、对角相等，邻角互补。

4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形，中心对称点是它的对角线交点。

5、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍。

6、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。

三、判定定理

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、四边相等的四边形是菱形。

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

菱形的中点四边形是矩形。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

面积公式

（1）S=底×高（即菱形的面积等于底乘以高）；

（2）S=1/2（对角线×对角线）（即菱形的面积也等于对角线乘积的一半）　；

（三）矩形

一、主要特点

①两条对角线相等；②两条对角线互相平分；③两组对边分别平行且相等；④四个角都是直角；⑤有2条对称轴（正方形有4条）。

⑥既是中心对称图形，也是轴对称图形。

⑦将矩形面积平均分成两部分的直线必经过中心对称点。

⑧长方形属于平行四边形

二、判定定理

①有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（定义）

②对角线相等的平行四边形是矩形。

③有三个角是直角的四边形是矩形。

（四）正方形

一、主要特点

1、边：

两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

2、内角：

四个角都是直角；

3、对角线：

对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；对角线相等；

4、对称性：

既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

6、特殊性质：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。

8、正方形是特殊的长方形。

9、正方形的中点四边形是正方形，面积之比是1:

2。

二、判定定理

1：

对角线相等的菱形是正方形。

2：

有一个角为直角的菱形是正方形。

3：

对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：

一组邻边相等的矩形是正方形。

5：

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：

对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8：

一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：

既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

10对角线垂直且相等且每条对角线平分一组对角的平行四边形是正方形

（五）中位线

一、概念

（1）三角形中位线的定义:

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）梯形中位线定义:

连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

二、定理概述

1、三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。

2、梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

3、三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。

【例题精做】

例1.若平行四边形的一边长为12，设对角线长为x、y，则x、y的值可能是（）

A．8和4B.10和14C.18和20D.10和34

（点拨：

对角线互相平分；三角形边长原则）

例2.已知平行四边形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOD的周长比△DOC的周长长4cm，求AB、BC的长。

例3.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A.1：

2:

3:

4B.2：

3：

2：

3C.2：

2：

3：

3D.1：

2：

2：

3

例4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P，Q分别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

自测：

等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,AD=10cm,BC=30cm,动点P从点A开始沿AD边向D以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

设运动时间为t秒。

（1）t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？

（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？

如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由。