福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201 平行四边形的判定》预习学案无答案 华东师大版.docx

福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201 平行四边形的判定》预习学案无答案 华东师大版.docx

《福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201 平行四边形的判定》预习学案无答案 华东师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201 平行四边形的判定》预习学案无答案 华东师大版.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《201平行四边形的判定》预习学案无答案华东师大版

福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《20.1平行四边形的判定》预习学案华东师大版

激活思维

1．小明想从一个平行四边形的纸片上剪三个三角形．要求：

其中两个三角形的面积相等，第三个三角形面积是这两个三角形面积的2倍．他能实现愿望吗?

（如图20一1—1）若能，请至少画出三种；若不能，给出合理的解释．

你认为还有其他分法吗?

自己试试．

2．两组对边分别________的四边形是平行四边形．

3．平行四边形的两组对边分别___________；平行四边形的一条

对角线分平行四边形为______的两个三角形．两条对角线___________；

平行四边形的每一组对角_____________

4．现有长短不一的两根木条，如何摆放移动，使木条的四个端点所在的位置构成一个平行四边形?

小明想了想动手摆放，移动操作拼成

了如图20一l一2所示的三幅图形，并给出了部分说明．

把两根术条把两根小条一个端点把两根木条钉成

的中点固定固定成—定角度，再．∠ABC，然后移

移动，使木条片AB动使点A落在原

与原来位置上BA重来点C处，点C

合落在原点A处

你认为小明的做法正确吗?

如正确，请给出依据，如不正确，说明理由．

5．平行四边形的判别条件：

（1）两组对边分别_________；

（2）两组对角分别__________；

（3）一组对边____________；

（4）两条对角线____________

6．已知四边形ABCD，下列条件：

（1）AB∥CD；

（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．

任选其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）

A．4种B．9种C．13种D．15种

提示：

在所有的组合中，逐一排查看哪一组符合平行四边形的判定条件，注意不要漏掉正确的条件．但所选条件一定要符合平行四边形的判定条件，也不能多选不符的．

信息鼠标

1．如图20一1—3所示．

2．平行

3．平行且相等

面积相等（或全等）互相平分相等

4．三者都正确．

图

（1）的依据是对角线互相平分；

图

（2）的依据是一组对边平行且相等：

（∠CBA=∠BAC'，所以BC∥AC'，而AC=AC'）．

图（3）的依据是两组对边分别相等．（变换后有AB=CB'，BC=AB'）

5．

（1）平行（或相等）

（2）相等

（3）平行且相等

（4）互相平分

6．B六个条件，两两组合有15种．成立的情形有：

a．

（1）与

（2）一两组对边分别平行；

b．（3）与（4）一两组对边分别相等；

c．（5）与（6）一两组对角分别相等；

d．

（1）与（3），

（2）与（4）一一组对边平行且相等；

e．

（1）与（5），

（1）与（6），

（2）与（5

），

（2）与（6）一一组对边平行，一组对角相等．

互动研学教练

教材研学

一、平行四边形的有关概念（如图20－1－4）

1．平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

四边形ABCD是平行四边

形

2．对角线：

平行四边形不相邻的两个顶点

连成的线段叫它的对角线．AC为对角线．

3．平行四边形的表示法：

四边形ABCD是

平行四边形，记作“ABCD'’，读作“平行四边

形ABCD”．

注意：

（1）表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写，不能颠倒位置；

（2）运用定

义和性质为证明线段或角相等提供了方便；（3）常见的辅助线是连接平行四边形的对角线，把未知问题化为三角形问题．

二、平行四边形的性质（如图20－1－5）

1．从边上看：

平行四边形两组对边分别平行；平行四边形两组对边分别相等．

在平行四边形．ABCD中：

AD∥BC．AB∥CD．

AD=BC．AB=CD．

2．从角上看：

平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补．

在平行四边形4BCD中：

∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠BCD，

∠ABC+∠BAD=180°．

∠CDA+∠BCD=180°．

3．从对角线上看：

平行四边形的两条对角线互相平分．

在平行四边形ABCD中：

OA=OC，OB=OD．

三、平行四边形的判定方法：

1．按边：

（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．。

如图20—1—6，AD∥BC，AD=BC

四边形ABCD是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

如图20—l一6，AD=BC，AB=CD

四边形ABCD是平行四边形．

（3）两组对边分别平行的四边形是平行四四边形

如图20一l一6，AD∥BC，AB∥CD

四边形

ABCD是平行四边形．

2．按角：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

如图20—1—6，∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠BCD

四边形ABCD是平行四边形．

按对角线：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

如图20—1—6，OA=OC，OB=0D

四边形ABCD是平行四边形．

注意：

学习时要注意弄清什么时候用性质，什么时候用判定．用哪一个判定条件，要根据具体问题，结合给出的条件，进行全面综合分析，灵活的运用．

老师：

同学们，关于平行四边形的判定，除了我们学习过的以上方法外，还有什么其他方法吗?

小弘：

一组对边平行另一组对边相等的四边形也是平行四边形．

小哲：

一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形．

老师：

对于他们两人的说法，同学们有什么不同见解?

小文：

小弘说

得不对，小哲说的对．理由是：

如图20—1—7

（1），虽然AB∥CD，AD=BC，但是四边形ABCD显然不是平行四边形；

小哲的理由是：

在四边形ABCD中，

若AB∥CD，∠ABC=∠CDA成立，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°．

∵∠ABC=∠CDA．

∴∠CDA+∠BCD=180°．

∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形

老师：

这又是一种新的判别四边形ABCD是平行四边形方法．请同学们记住。

四、平行四边形知识的应用：

1．运用平行四边形的性质求角的度数，线段的长度，证明线段相等或倍分．

如图20—1—8，小华要测量学校圆形花坛的直径AB的长，他制订了以下方

案，在AB外选一点C，连接AC、BC，再找到AC和BC的

中点，量出两中点的距离DE，就可以求出AB的长．

小华的方案具有可行性，其

依据是三角形的中位线线平行于底边，

且等于底边的一半．这一依据正是平行四边形知识的应用．

2．先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的

性质解决某些问题．右栏例4就是这一问题的体现．

本节的易错点是在判定的过程中，使用条件上的错误．

五、探究活动

我们学习了多种平行四边形的判定方法，方法越多，证题的思路越广．

问题：

在四边形中，如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形吗?

分析：

要说明四边形ABCD是平行四边形，就要看两条对角线是否互相平分；若不是平行四边形就可以举出反例．

探究：

如图20一l一9，在四边形ABCD中，AB∥CD，

AC、BD交于点O，且OB=OD．在△OAB和△OCD中，

由AB∥CD，得∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，OB=OD，

则△OAB≌△OCD，从而OA=OC，所以四边形ABCD是平

行四边形．

结论：

在四边形中，如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．

点石成金

例1．已知，如图20—1－10，四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C=80°，平行四边形ABCD的周长为46cm，且AB一BC=3cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．

分析：

由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；

由平行四边形的对边相等，得AB+BC=23cm，解方程组即可求出各

边的长。

解：

由平行四边形的对角相等，∠A+∠C=80°，得

∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D与∠A为同旁内角互补，

∴∠D=180°一∠A＝180°一40°＝140°．

∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD=BC．因周长为46am，因此AB十BC＝23cm，而AB一BC=3cm，得AB=13cm，BC=10cm，

∴CD=13am．AD=10cm．

名师点金：

注意充分利用性质解题．

例2．如图20—1—11，在平行四边形ABCD中，E、F

是直线BD上的两点，且DE=BF，你认为AE=CF吗?

试

说明理由．

分析：

本题主要考查平行四边形的性质．要证明AE=CF，可

以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．

解：

AE=CF．

理由：

在平行四边形ABCD中，

∵AB=CD且AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．

∵DE=BF，∴DE+BD=BF+BD，即BE=DF：

∴△ABE≌△CDF∴AE=CF

名师点金：

利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．

例3．如图20—l—12所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB。

HG∥AD。

EF与GH

相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）

A．7个B．8个C．9个D．11个

解析：

本题主要考查平行四边形的定义．两条平行线

把平行四边形ABCD分成8个（不合原来）四边形，看这些

四边形是否都符合平行四边形的定义，∵EF∥AB，HG∥

AD，它们的各边都平行．即有ABCD，DEOH，HOFC，

AGOE，GOFB，AGHD，GBCH，ABFE，EFCD．

答案C

名师点金：

先分清图中共有哪些四边形，然后表两定义去判断．

例4．如图20一1一13，△ABC中，AB=6，AC=4．AD

是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________

分析：

本题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系．要确定

AD的取值范围，联想用三角形三边关系，但又不能把AD和AB与

AC放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是

中线，可联想倍长中线，得到平行四边形，将已知条件．AC和AB实行

转化，与未知量AD集中到三角形中来求解．延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE，∵BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形．∴CE=AB=6．在△ACE中，6—4＜AE＜6+4，即2

答案1

名师点金：

当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握．

例5．现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？

分析：

可从平行四边形的判定方法来考虑．

（1）可量两组对边长，若分别相等，则这个木框是平行四边形，否则不是；

（2）把木框的对角线连接起来．看对角线是否平分，若互相平分，则为平行四边形．

名师点金：

注意可操作性．

例6．如图20—1一14，已知六边形ABCDEF的每一

个内角都是120°且AB=l，DE=2，BC+CD=8，求这个六

边形的周长．

分析：

要求其周长，只要求出AF与EF的和即可

如何求?

考虑到特殊角，结合三角形知识，可将六边形

化归为平行四边形来解．

解：

如图20一1—14，延长FA、CB相交于点G，延长

CD、FE相交于点B，由已知，△ABG和△DEH都是等边三

角形．所以∠G=∠B=60°．因为∠C=∠F=120°，则四边

形CGFH为平行四边形，

GF+FH=CH+CG=CD+DH+CB+BG=CD+BC+DE+AB=8+1+2=11．

所以AF+FE=11—1—2=8．

则该六边形的周长为：

8+8+1+2=19．

名师点金：

解题关键是作辅助线，将不规则的六边形变成平行四边形．

例7．如图20—1—15，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A．AE＝CFB．DE=BF

C．∠ADE=∠CBFD．∠AED=∠CFB

解析：

由AE=CF，OA=OC，得OE=OF．∵OD=OB，∴四边形

DEBF是平行四边形；由∠ADE=

∠CBF，或∠AED=∠CFB，都能

推出△ADE≌△CBF，∴AE=CF．

∴四边形DEBF是

平行四边形．

答案B

名师点金：

本题所用方法叫“排除法”．在做选择题时经常用到，要注意总结．

例8．如图20—1—16，AB∥CD，AC、BD交于点O，且

OB=OD．已知S△OBC=1，求四边形ABCD的面积．

要求四边形ABCD的面积，就要找到其与AOBC的关系，考虑四边形ABCD是否为特殊四边形，即平行四边形，而从题中条件，利用左栏探究结果，问题得解．

解：

因为AB∥CD，且OB=OD，据左栏探究结论可得：

四边形ABCD为平行四边形．利用平行四边形的性质，可

得四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝4．

名师点金：

左栏的探究结论，我们也可以作为平行四边形的

一个判定，可直接应用，

同步升级演练

基础巩固题

1．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角相等B．对边平行且相等C．对角线相等D．对角线互相平分

2．如图20—l_17，在平行四边形一4BCD中，AC、BD相

交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，

若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长

为（）

A．6B．12c．18D．不确定

3．下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的

是（）

A．一组对边相等B．一组对边平行

C．两条对角线相等D．两组

对角分别相等

4．已知四边形ABCD，以下四个条件：

（1）∠A=∠B，∠C=∠D；

（2）AB=CD，AD=BC；（3）AB=CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）

A．1个B

．2个c．3个D．4个’

5．已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A．OA=OC．OB=OD

B．∠ABD=∠BDC．∠CBD=∠ADB

C．AB=CD，OB=OD，∠ABD=∠BDC

D．OA=OB．OC=OD

6．如图20—1一18，在△ABC中，∠B=90°，D、

E分别是

AB、AC的中点，DE=2，AC=5，则AB的长为（）

A．2B．3C．4D．5

7．在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD是平行四边形．

8．如图20—1—19，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对。

9．如图20—1－20，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD

相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB的周长为15，则CD＝______。

10．如图20—1－20，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，

过点O的任一直线交AB

于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，

需满足条件：

_________________（填出一个你认为正确的一个条件

即可）。

11．用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两

邻边之比为3：

2，这个平行四边形最长边为___________。

12．已知四个角都是

直角的四边形叫做矩形。

如图20—1—21

是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE

剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此

时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD

是_________形．判定的依据是_____________．

13．在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形

ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，

∠C_____________。

14．如图20—1—22是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB=AC，他把∠B沿EM折叠使点

B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在

点D上，则小明就说四边形AEDF是平行四边形，请你帮他说明理由；

小明又量出AB=9cm，则四边形AEDF的周长是多少?

15．如图20—1—23，把两把相同的角尺（两边互枉垂

直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看木

板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是

否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是

否平行，你能说出其中的道理吗?

探究提高题

16．过平行四边形ABCD的钝角顶点A，作AE⊥BC于E，

AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长

为40，则其面积为（）

A．48B．40C．35D．30

17．如图20－1－24，平行四边形ABCD中，A的平分线AE

交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长为（）

A．1B．1.5C．2D．3

18．平行四边形ABCD中，若其中三边长分别为（x－2）cm，（x＋1）cm，6cm，则该平行四边形的周长为____________。

19．在一个平行四边形中，若其一边长为a，两条对角线的长分别为3和9，则a的取值范围为____________。

20．一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则该四边形一定是____________（形状）。

21．如图20—1—25，在四边形ABCD中，∠A=130°，∠B

=50°，∠D=50°，AB=9cm，BC=6cm，则四边形

ABCD的周长为___________。

22．如图20—1—26，平行四边形ABCD中，AC是对角

线，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，连接BF、DE，你

认为四边形BEDF是平行四边形吗?

给出合理的解释．

23．．如图20—1—27，P为等边三角形ABC内一点，PD∥AB。

PE∥BC．PF∥AC．求证：

PD+PE+PF为定值．

2

4．如果把平行四边形ABCD纸片沿EF折起，如图20一1—28①，当折痕EF满足什么条件时，折起后由A，B，C，D四点组成的四边形（如图②）仍是平行四边形?

试述理由．

25．如图20—1—29，在平行四边形ABCD中，Pl，P2，P3，P4，P5是

对角线BD上的六等分点，你能否可以从这五个分点中选出两点，使得以这两点及点A、点C为顶点的四边形是平行四边形?

如果可以，请写出一个这样的平行四边形，并加以证明；如果不可以，请说明理由．

拓展延伸题

26．有一块形状为平行四边形的铁皮，如图20一l－30，用AB、CD

表示其较长边，AD、BC表示其较短边．如果CD=2AD，现在想用这块

铁皮截一个直角三角形，要求以AB为斜边，直角顶点M在CD边上．

你认为能截出符合要求的直角三角形吗?

如果能，请说明怎样截，并加

以说明；不能，说明理由．

27．如图20—1—31，将形状为等腰直角三角形的铁片，

改制成有一个内角为45°的平行四边形，怎样做才

能使材料的利用率最高?

（接缝的损失不计）

28．有一块如图20—1—32所示的四边形木板，它的一

个角DEF已损坏，现在只知道AB=60cm。

BC=

80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根

据这些计算出AD的长及四边形ABCD的面积吗?

（精确到0.1）

中考模拟题

29．（2006·江苏南京）已知：

如图20—1—33，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）

A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）

30．（2006·湖南长沙）如图20一l一34，四边形ABCD中，

AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形．则应添加的条件是

___________（添加一个条件即可）

31．（2006·广东）如图20—1—35，在ABCD中．

∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上

且AE＝AD．CF=CB．

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）若去掉已知条件的“DAB=60”’，上述的结论还成立吗?

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．