数学的基本思想.docx

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数学的基本思想

数学的基本思想

史宁中

1.什么是数学思想和数学文化

高等学校数学教学指导委员会主任李大潜院士让我谈数学教学，今年11月在福州召开的一个会议上，我就“谈谈数学的基本思想”为题做了一个报告。

作为一个数学工作者，特别是作为一个数学教育工作者，了解数学思想是很重要。

我今天讲的基础就是这个报告。

先谈谈数学思想与数学文化的关系。

这些年数学文化很热。

什么是文化，什么是数学文化？

很难说清楚。

梁漱溟在他的《中西文化的比较》中谈到，

文化是那个时代人活的样子。

文明是那个时代人们创造出来的东西。

我觉得他说的有道理。

规范地说，文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。

数学文化是数学的形态表现，它涉及到数学内容，但本质上不是数学的内容。

它更多关心的是数学的表现形式、数学的历史发展、数学的思想。

核心是思想，没有思想就没有文化。

中国的基础教育，特别是数学的基础教育有个显著的特色，叫做双基。

指的是基础知识和基本技能。

但是光有基础知识和基本技能很难培养创新型人才。

在负责义务教育课程标准的修改的过程中，我们修改组认为光有双基还不够，得加进新的东西，就加了数学的基本思想和基本活动经验。

基本活动经验，所有的数学家都赞成，因为数学的结果是看出来的，不是证出来的。

看就是判断，判断需要经验的积累。

我有一个学生，统计研究的特别好，数学基础也很好。

但是有个毛病：

面对一个数学结果，我要说对，她就能证出来；我要犹豫不决，她就证不出来。

当然，经过反复训练，她已经积累了判断的经验，现在已经很好了。

这个判断，直觉、直观太难。

直观不是“教”出来的，而是自己“悟”出来的，这就需要积累经验。

我们曾经就这两个新的说法征求姜伯驹先生的意见。

姜先生说，基本活动经验很好，数学思想是什么呀？

下面我就来展开说说数学的基本思想。

2.数学的基本思想

很多老师讲课的时候，内容讲的很清楚，但是不讲思想。

结果是学生往往抓不住问题的本质，这对培养创造性思维非常不利。

前一段时间大学校长在一起讨论创新人才的培养，我提出，创新型人才很大程度上是在基础教育阶段培养的，因为创新更多的需要创新的意识，需要创新的思维。

有了知识，没有思维能力和思维方法是不能创新的。

因此我特别提倡大学数学教学要讲数学思想，特别是从事数学教育工作的，必须讲。

今年，我给东北师大高年级的免费师范生开了数学思想的课。

我告诉学生，一方面听我讲的内容；另一方面，你们要体会我是怎样教书的。

把数学内容很好的呈现给听者，让他们理解很重要。

通常所说的数学思想主要是指：

等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式等等。

在高等数学里面，加强不等式用的非常多。

但是数学思想的本质不是这些。

那么数学思想的本质是什么呢？

数学有一点与人文科学是一样的，那就是在规矩下说话，所以必须学会先制定标准。

一件事要判断好还是不好，要有一个好坏的标准。

最重要的工作不是判断一件事情好还是不好，而是制定标准。

在现代社会，大老板不是创造产品的人，而是创造质量标准的人。

我们需要给出什么是数学思想的标准。

我想，这个标准就是：

数学的产生和发展所依赖的思想，这是第一个标准；第二，我认为数学思想就是，学过数学的人和没有学过数学的人在思维上的根本差异。

这两个标准供你们参考。

在这个意义下，我认为数学思想本质上有三个：

第一个是抽象。

学过数学的人抽象能力很强。

数学中的抽象指的是把人们的日常生活和生产实践中那些和数学有关的东西析取出来，作为数学研究的对象。

第二个是推理。

数学自身的发展依靠的是推理。

在一些假设下，按照一定的逻辑规律进行推理，得到命题和定理。

相比没学过数学的人，学过数学的人推理能力强。

第三个是模型。

模型是沟通数学与外部世界的桥梁。

模型是在讲故事，是用数学语言表达的现实生活中的故事。

下面具体谈一下这三个思想。

2.1抽象

数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西，得到数学研究的对象，比如数，点，直线等等。

这些抽象的东西是否存在？

怎么存在呢？

这些问题最早是谁提出来的呢？

是柏拉图。

柏拉图说，经验是不可靠的。

在希腊看到的三角形内角和是180°，在埃及看到的三角形内角和还是180°吗？

经验因人而异，柏拉图认为经验不可靠。

他认为可靠的是不变的东西。

他称这些不变的东西为理念。

他说，只有理念才是真实的存在。

因此数学的那些结果，那些定理在现实中是存在的，人们只是发现了它们而已。

现在的很多数学家也是这么认为的。

亚里士多德有句名言：

吾爱吾师，吾更爱真理。

柏拉图是他的老师，亚里士多德不同意柏拉图的思想。

他认为：

数学研究的那些东西是抽象的结果，抽象的东西是不存在的，存在的都是具体的东西。

数学的那些结果都是人们发明出来的，不是发现。

争论不休，一直到现在。

为了更好地研究数学思想，我最近用了两年多时间研究哲学。

数学的基本思想大多数是来自欧洲人的，有一天，我在研究数学证明的道理时，突然产生一个疑问：

中国人是怎么想问题的，中国人论证问题的道理是什么呢？

所以我用了一年多时间，研究《老子》，《论语》，《周易》。

后来我写了一篇很长的文章，叫《中国古代的命题、定义和推理》，分上下两期发表在去年的《哲学研究》上。

我高兴的是，这篇文章发表之后，德国的斯普林格出版社对此感兴趣，把这篇文章翻译成英文了。

其实他们也想了解中国人是怎么想问题的。

“形而上者谓之道，形而下者谓之器。

”这句话两三千年了，一直有学者在研究它，为此我也写了文章。

我发现中国有一个非常好的哲学思想，跟西方不一样。

西方的哲学思想非常极端。

排中律就是非常极端的。

中国的思想从古就有“中”的思想。

“形”是什么？

形是抽象的存在。

看到足球，看到乒乓球，我们感受到圆。

但是离开了足球，离开了乒乓球，脑子里还有圆在，为什么呢？

因为我们能在纸上画出来，纸上画出来的圆不是足球和乒乓球的模仿，依据的是脑子里面的圆。

脑子里面存在的圆，我认为是抽象的存在。

数学的思维依赖的不是具体的存在，而是抽象的存在。

关于这句话，谁说的最漂亮？

郑板桥。

郑板桥说：

我胸中之竹不是我眼见之竹。

这不就是抽象的存在么？

胸中是抽象存在的竹子，所以郑板桥画出来的竹子比现实中的竹子还有风骨。

因此“形而上者谓之道，形而下者谓之器”所表达的意思是，道太遥远不可及，器太具体不可信，因此构建了“中”，这就是中国人的思想。

中国人在谈论一件事情的时候，往往希望用例子说话，那个例子不是具体的存在，而是抽象的。

比如雷锋，我们说到他已经不是指雷锋本人，而是指具有这种思想和理念的那一类人的抽象，是一种抽象的存在。

后来有人用这种思想研究西方宗教，提出一个疑问：

为什么犹太教推行不了？

基督教来源于犹太教，而基督教能够推行呢？

犹太教太遥远，不可及，基督教有一个抽象了的神存在，看得见摸得着，这就好信了。

因此基督教可以盛行。

我们通过抽象得到什么？

得到数学的研究对象。

光有对象不够，更重要的是对象之间的关系。

亚里士多德是一位千古智者，他的思想非常深刻，人们往往几千年不理解，到后来才明白。

比如这句话：

数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。

对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。

这句话的意思是：

数学中定义的那些东西本身并不重要，重要的是这些东西之间的关系。

一直到上个世纪，伟大的数学家希尔伯特才明白这句话的意思。

我想，抽象大概要分两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达。

直观描述的毛病是必然引起悖论，因为凡是具体的东西，都能举出反例。

为了避免这些，就必须进一步抽象，抽象到举不出反例来，这只有通过符号表达。

但是符号表达也有问题，就是缺少物理背景，缺少直观。

对于数学，抽象的内容在本质上只有两种：

一个是数量与数量关系的抽象；一个是图形与图形关系的抽象。

所以数学在本质上研究这两种关系。

2.1.1数量与数量关系的抽象

抽象的第一个层次：

直观描述。

抽象的第一步是从数量中抽象出数。

数在现实生活中是不存在的，现实生活中存在的只有数量，2匹马、2头牛，没有2，2是抽象出来的数。

数量关系的本质是什么呢？

是多和少。

用什么来判断一件事情的本质呢，就是看动物是否明白。

动物都明白的事情就是本质。

动物知道多和少：

来一只狼，一只狗还敢对付，要是来一群狼，这只狗肯定掉头就跑。

在《数：

科学的语言》这本书中有这么一个故事：

欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦。

主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功。

他一走进这个望楼，乌鸦就飞走，他一离开，乌鸦又飞出来。

后来他想了一个聪明的办法：

两个人一起走进望楼，出来一个人，乌鸦不上当；这个人不死心，三个人走进望楼，出来两个，乌鸦还是不上当；直到五个人走进去，出来四个人，乌鸦分辨不清了，就飞了回来。

后来，我就让我们学校心理系的老师到幼儿园里去求证，发现孩子在不数数的情况下，能辨别到多少呢，也就是4或者5，比乌鸦强不了多少。

这个关系抽象到数学内部就是大和小，因此数的大和小是关系的本质，就是序的关系。

后来，数学家把序关系非常一般化，数学家康托为了证明有理数与自然数一样多，曾经给有理数排了一个序，那个序已经没有大小关系了。

大小关系的基础是大一个，这就产生了加法。

因此，所有与数有关的数学的基础是自然数和加法，其他的东西都是派生出来的。

有了自然数和加法，就有了有理数。

在教学中，特别是在中学教学中，老师往往把有理数混同于实数，就是把1/4等同于0.25。

事实上不是这样，分数形式的有理数，特别是真分数形式的有理数2000多年前就有，小数形式的有理数的表达至今不过300多年的历史。

分数形式是有理数的本质。

分数到底是什么呢？

分数没有量纲，把月饼分成几块，和把其他的东西分成几块，然后取相同的份数，没有区别。

比例没有量纲，可以得到事物可比性。

照理说，中国的经济和美国的经济是不可比的，但是变成百分比，算经济增长率的时候，就是可比的。

分数还有一个重要的意义，是线段之间的比。

部分与整体、线段之间比，这两个是分数的本质。

从加法过渡到四则运算，为了保证运算的结果还在这个集合里，数域就得到扩张，就从自然数，到了整数，到了有理数，到了实数。

我现在问你们一个问题，4÷1/3等于多少？

等于4×3=12。

那我再问你们，为什么4÷1/3=4×3呢？

也就是说除以一个分数等于乘一个分数的倒数呢？

这个挺难。

清华原来数学科学学院的院长文志英教授在博士生面试时就出过这道题，听说没一个学生答对。

我们都知道除法是乘法的逆运算，这是什么意思？

？

=4÷1/3

逆运算就是什么数乘以1/3等于4

？

×1/3=4，

等式两边同时乘以3，就成了

？

=4×3=12

因此4÷1/3=4×3。

对一个概念或者命题是否理解，就是举例。

能举出适当的例子就是理解，否则就是没有理解。

抽象的第二个层次：

符号表达。

数的抽象必须过渡到第二步抽象。

怎么提出来的呢？

是因为牛顿。

牛顿发明了导数，导数就涉及到极限的概念。

牛顿是用无穷小来解释的，很难自圆其说。

特别是什么样的函数可导，说起来就更复杂。

于是，人们重新定义函数。

函数的定义是牛顿以后才开始清晰定义的。

函数最初的定义是莱布尼兹给的，function是莱布尼兹发明的。

莱布尼兹大家都知道，他和牛顿是同时代的人，莱布尼兹是数学家，但更重要的是哲学家。

后来欧拉给出了现在初中教学中使用的函数的“变量说”，意思说，如果一个量跟着一些量变化，我们就把前者称为后者的函数。

“变量说”非常好，又具体，又有物理背景。

但是凡是具体的，都能找到毛病，比如

f1（x）=shi2x+cos2x和f2（x）=1

表达是一个函数，还是两个函数？

用“变量说”来看，我们不知道。

后来黎曼给出了现在高中数学中的“对应说”，有两个数集，对于一个集合中的每一个元素，都有另一个集合中的唯一元素与之对应，则称这种对应是函数。

这个定义有个好处，有定义域和值域。

如果定义域相同，对应的结果又相同，那么这两个函数等价。

因此这两个函数等价。

但是黎曼的定义太抽象了，没有物理背景。

如果没有莱布尼兹和欧拉的定义，你几乎理解不了黎曼在说什么。

而且麻烦的是