徐汇新王牌 秋季同步提高补习班 初中数学赵ZJ老师正反比例函数初二.docx

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徐汇新王牌秋季同步提高补习班初中数学赵ZJ老师正反比例函数初二

正比例函数

一、引例

1、1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕欧套上标志环，大约128天后，人们在2.56万千米的澳大利亚发现了它。

（1）、这只小鸟平均每天飞行多少千米？

（2）、这只燕欧的行程y（单位：

千米）与飞行时间x（单位：

天）之间有什么关系？

（3）、这只燕欧飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少？

2、揭示课题：

“正比例函数”

（一）、正比例函数的定义

1、思考：

下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？

（1）、圆的周长L随半径r的大小变化而变化。

（2）、每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起总的厚度h（单位：

cm）随这些练习本的本数m的变化而变化。

（3）、冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体温度T（单位：

℃）随冷冻时间m（单位：

分）的变化而变化。

2、观察发现，得出正比例函数的定义。

一般地，形如y＝kx（K是常数、k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫做比例系数。

强调两点：

①、k≠0（即自变量系数不为0）

②、x的指数为1

3、判断下列函数是否为正比例函数，若是，说出比例系数。

⑴、y＝3x⑵、y＝

⑶、y＝

⑷、y＝x2+1⑸、y＝（a2+1）x－2

4、学生举例，正比例函数

5、例1⑴、若y＝5x3m－2是正比例函数，则m＝＿＿＿

⑵、若y＝（m－2）x㎡－3是关于x的正比例函数，则m＝＿＿

⑶、若函数y＝（2m+6）x2+（1-m）x是关于x的正比例函数，则m＝＿＿＿

（二）、正比例函数的图像

1、例2，画出正比例y＝2x的函数

2、学生画出y＝-2x的图像

3、找出y＝2x与y＝-2x图像的相同点，（都是过原点的一条直线）

4、画正比例函数图像的方法。

[两点法，（0，0）、（1，k）]

5、学生自己写一个正比例函数，用两点法画出其图像。

6、正比例函数的性质

K＞0,直线y＝kx过一、三象限，从左向右上升，随x的增大y也增大。

K＜0,直线y＝kx过二、四象限，从左向右下降，随x的增大y反而减小。

7、例：

正比例函数y＝kx的图像经过第二、四象限，则（）

A、y随x的增大而增大。

B、y随x的增大而减小

C、当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。

D、不论x如何变化，y不变。

8、巩固练习

定义：

形如y＝kx（K是常数、k≠0）的函数，

叫正比例函数

图像形状：

过原点的一条直

正比例函数

经过一、三象限

k＞0从左向右上升

随x的增大y也增大

性质

经过二、四象限

K＜0从左向右下降

随x的增大y反而减小

基础知识填空：

1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式

2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．

当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________；

当k<0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________．

3.正比例函数的图像是经过坐标点和定点____两点的一条。

根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．

4.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是

5.若正比例函数图像又y=（3k-6）x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），当x1y2,则k的取值范围是

6.点A（-5，y1）和点B（-6，y2）都在直线y=-9x的图像上则y1与y2的大小关系是？

7.已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系

8.正比例函数y=（3m-1）x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），且该图像经过第二、四象限.

（1）求m的取值范围

（2）当x1>x2时，比较y1与y2的大小,并说明理由.

9．下列关系中的两个量成正比例的是（）

A．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B．正方形的面积与边长

C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D．人的体重与身高

10．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

A．y=4x+1B．y=2x2C．y=-

xD．y=

11．下列说法中不成立的是（）

A．在y=3x-1中y+1与x成正比例；B．在y=-

中y与x成正比例

C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；D．在y=x+3中y与x成正比例

12、若函数

是y关于x的正比例函数，则m=。

13、若

是正比例函数，则m=。

14、已知函数

，当k为何值时，它表示正比例函数？

二求正比例函数的解析式

1.点A（2,4）在正比例函数图象上，则这个正比例函数的解析式？

2.正比例函数图象过（-2，3），则这个正比例函数的解析式？

3.已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x的值是多少？

4.已知y与x成正比例，且x=-3时y=-9，则y=-5时x的值是多少？

5.已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值．

6.根据下列条件求函数的解析式

①y与x2成正比例，且x=-2时y=12．

②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．

综合练习：

1．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-2，求△POA的面积（O为坐标原点）．

2.已知y+3和2x-1成正比例，且x=2时，y=1。

（1）写出y与x的函数解析式。

（2）当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是多少？

3、已知：

y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x=1时，y=6，当x=3时，y=8，求y关于x的解析式。

4、已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x=1时，y=0，当x=－3时，y=4，求x=3时，y的值。

3.已知正比例函数图象过点

，

①求这个函数的解析式，并在直角坐标平面内画出它的图像。

②过图像上一点

作

轴的垂线，垂足

的坐标为

，求点

的坐标和

的面积。

*③若点P也在图像上，过点P同样做x轴的垂线，垂足为Q，且

的面积为2，求出符合这样条件的点P的坐标。

4.周长为16厘米的等腰三角形中，底边长为

厘米，腰长为

厘米，写出

关于

的函数解析式及函数的定义域。

5.已知某机器制作2个零件需要消耗10吨原材料，设机器制作的零件个数为x个，所消耗的原材料为y，且仓库中现有的原材料为40吨，则写出y关于x的函数解析式及函数定义域。

【反比例函数：

】

列表

x

...

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

…

y=

…

-1.5

-2

-3

-6

6

3

2

1.5

…

（4）描点、连线

画出反比例函数y=-

的图象。

x

...

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

…

y=-

…

1.5

2

3

6

-6

-3

-2

-1.5

…

不能与x轴、y轴相交。

探索反比例函数的性质

1．观察y=

和y=-

以及y=

和y=-

的图象，回答问题：

（1）你能发现它们的共同特征吗？

（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？

（3）在每个象限内,y随x的变化如何变化？

2．综上所述，你认为反比例函数y=

（k为常数且k0）图象的性质有哪些？

3.

K的符号

y=

（k为常数且k0）

xy=k（k为常数且k0）

图象

图象上点的坐标符号

k>0

x、y同号

（+，+）

（－，－）

K<0

X、y异号

（+，－）

（－，+）

例题：

1．已知y=（m+1）xm-1是反比例函数，则函数的图象在第______象限，且在所在的每一个象限内，y随x增大而_________．

2．已知反比例函数y=

的图象如图所示，A、B是图象在第一象限内的两个动点，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，再分别作y轴的垂线，垂足分别为E、F，试问矩形ACOE、BDOF的面积的比值是多少？

试说明理由．

3..在直角坐标系内，从反比例函数y=

（k>0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12．

（1）求该函数的关系式；

（2）如果从该函数的图象上再任取一点，并分别作x、y轴的垂线段，那么与x、y轴所围成的矩形面积是多少？

（3）从本题你能得到哪些结论？

【基础与巩固】

1．函数y=

的图象是_______，当x>0时，该图象在第_______象限．

2．函数y=

的图象经过点A（-4，3），则k=________．

3．下列图象中可能是反比例函数y=

的图象，共有（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

4．反比例函数y=-

的图象大致是（）．

5．已知y是x的反比例函数，根据表格所给的信息完成下列问题：

x

-3

-1

1

2

3

y

-6

3

（1）写出这个反比例函数的关系式；

（2）根据函数关系式补全上表；

（3）画出该函数的图象．

6．已知反比例函数y=

，若当x<0时，函数y随自变量x的增大而增大，则实数k的范围是（）．

（A）k≤0（B）k≥0（C）k<0（D）k>0

7．已知反比例函数y=

（k≠0）的图象经过点（3，4），则它的图象的两个分支分别在（）．

（A）第二，四象限内（B）第一，二象限内

（C）第三，四象限内（D）第一，三象限内

8．下列反比例函数的图象在每一个象限内，y随x增大而减小的一定是（）．

（A）y=

9．已知反比例函数y=

的图象经过点（1，2），则函数y=-kx可确定为（）．

（A）y=2x（B）y=3x（C）y=-2x（D）y=-3x

10．反比例函数y=

，y=

，y=

的图象具有以下的共同特征：

（1）___________________________________________；

（2）_________________________________________．

11．举出3个具有以下两条特征的反比例函数：

①图象分布在第二，四象限；

②图象在每一个象限内，y随x增大而增大．

12．反比例函数y=

的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________．

13．已知反比例函数y=

与一次函数y=2x+k的图象的一个交点的横坐标是-4，则k的值是__________．

14．已知点（x1，-1），（x2，-

），（x3，2）在函数y=-

的图象上，则下列关系式正确的是（）．

（A）x1>x2>x3（B）x3>x2>x1（C）x2>x1>x3（D）x3>x1>x2

15．已知反比例函数y=

的图象在每一个象限内，y随