文科数学全国三卷真题及答案.docx
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文科数学全国三卷真题及答案
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2018年数学试题文（全国卷3）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，
只有一项符合题目要求的.）
1．已知集合Ax|x1≥0，B0，1，2，则AB（）
A．0B．1C．1，2D．0，1，2
2．1i2i（）
A．3iB．3iC．3iD．3i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部
分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体
是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合
成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
（）4．若sin1
3
，则
cos2（）
A．8
9
B．7
9
C．7
9
D．
8
9
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的
概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
6．函数
fx
tanx
2
1tan
x
的最小正周期为（）
A．B．C．D．2
42
7．下列函数中，其图像与函数ylnx的图像关于直线x1对称的是（）
A．yln1xB．yln2xC．yln1xD．yln2x
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．直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆xy上，则ABP
22
22
面积的取值范围是（）
A．2，6B．4，8C．2，32D．22，32
9．函数yx4x22的图像大致为（）
10．已知双曲线
22
xy
C221
：
（a0，b0）的离心率为2，则点4，0到C的
ab
渐近线的距离为（）
A．2B．2C．
32
2
D．22
11．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为
222
abc，
4
则C（）
A．B．C．D．
2346
12．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三
角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（）
A．123B．183C．243D．543
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则________．
4
户的评价，该公司准
备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则
最合适的抽样方法是
______．_
5
2xy30
≥，
x2y40
≥，
x20.
≤
则1
zxy的最大值是________．
3
6
fxxx，fa4，则fa________．
ln11
2
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三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为
必考题，每个试
考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
等比数列
a中，
n
a，aa．
11543
⑴求
a的通项公式；
n
⑵记
S为
n
a的前n项和．若S63，求m．
nm
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的
生产方式．为比较两
种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工
人用第一种生产方式，
第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘
制了如下茎叶图：
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需
时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生
产方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
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2
2nadbc
abcdacbd
，
2
PKk
≥
k
0.0500.0100.001
3.8416.63510.828
附：
．
K
19．（12分）
如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D
的点．
⑴证明：
平面AMD⊥平面BMC；
⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？
说明理由．
0
22
xy
已知斜率为k的直线l与椭圆C：
交于A，B两点．线段AB的中点为
1
43
1，mm0．
⑴证明：
1
k；
2
⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明:
2FPFAFB．
1
已知函数
fx
21
axx
x
e
．
⑴求由线yfx在点0，1处的切线方程；
⑵证明：
当a≥1时，fxe≥0．
（二）选考题：
共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按
所做的第一题计分．
2
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为
x
y
cos
sin
（为参数），过点0，2且倾斜角为的直线l与
⊙交于A，B两点．
O
⑴求的取值范围；
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⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
设函数fx2x1x1．
⑴画出yfx的图像；
⑵当x∈0，，fx≤axb，求ab的最小值．
参考答案
一、选择题
1．答案：
C
解答：
∵A{x|x10}{x|x1}，B{0,1,2}，∴AB{1,2}.故选C.
2．答案：
D
解答：
2
（1i）（2i）2ii3i，选D.
3．答案：
A
解答：
根据题意，A选项符号题意；
4．答案：
B
解答：
cos212sin2127
99
.故选B.
5．答案：
B
解答：
由题意P10.450.150.4.故选B.
6．答案：
C
解答：
sinx
tanxcosxsinxcosx1
f（x）sinxcosxsin2x
2222
1tanxsinxsinxcosx2
1
2
cosx
，
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∴f（x）的周期
2
T.故选C.
2
7．答案：
B
解答：
f（x）关于x1对称，则f（x）f（2x）ln（2x）.故选B.
8．答案：
A
解答：
由直线xy20得A（2,0）,B（0,2），∴
22
|AB|2222，圆
22
（x2）y2的圆心为（2,0），∴圆心到直线xy20的距离为
22
11
22
，∴点P到直线xy20的距离的取值范围为
222d222，即2d32，∴
1
SABd.
||[2,6]
ABP
2
9．答案：
D
解答：
当x0时，y2，可以排除A、B选项；
又因为
322
yxxxxx，则f（x）0的解集为
424（）（）
22
22
（,）U（0,），f（x）单调递增区间为
22
2
（,）
2
，
2
（0,）
2
；f（x）0
的解集为
22
（,0）U（,），f（x）单调递减区间为
22
2
（,0）
2
2
，（,）
2
.
结合图象，可知D选项正确.
10．答案：
D
解答：
c
由题意2
e
a
b
，则1，故渐近线方程为xy0，则点（4,0）到渐
a
近线的距离为|40|22
d.故选D.
2
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11．答案：
C
解答：
2222cos1
abcabC
SabcosC，又
ABC
442
1
SabsinC，故tanC1，
ABC
2
∴
C.故选C.
4
12．答案：
B
解答：
如图，ABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为ABC的重心，
由S93，得AB6，取BC的中点H，∴AHABsin6033，∴
ABC
2
AGAH，
23
3
∴球心O到面ABC的距离为
22
d4（23）2，∴三棱锥DABC体积最大值
1
V.
93（24）183DABC
3
二、填空题
13．答案：
1
2
解答：
2ab（4,2），∵c//（2ab），∴1240，解得
1
2
.
14．答案：
分层抽样
解答：
由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.
15．答案：
3
解答：
由图可知在直线x2y40和x2的交点（2,3）处取得最大值，故
1
z.
233
3
16．答案：
2
解答：
2
fxln1xx1（xR）
22
f（x）f（x）ln（1xx）1ln（1xx）1
22
ln（1xx）22，
∴f（a）f（a）2，∴f（a）2.
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三、解答题
17．答案：
（1）
n1
a2或
n
an1；
（2）6.
（2）
n
解答：
（1）设数列{}
a的公比为q，∴
n
a
25
q
a
3
4
，∴q2.
∴
n1
a2或
n
a.
（2）
n1
n
（2）由
（1）知，
n
12
n
S或
21
n
12
n
1
（2）1
n
S，
[1
（2）]
n
123
m
∴S2163或
m
1
m
S[1
（2）]63（舍），
m
3
∴m6.
18．
解答：
（1）第一种生产方式的平均数为
x，第二种生产方式平均数为
184
x，∴
274.7
xx，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二
12
种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到m80，∴列联表为
K
（3）
22
2n（adbc）40（151555）
106.635
（）（）（）（）20202020
abcdacbd，∴有99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．
解答：
（1）∵正方形ABCD半圆面CMD，
∴AD半圆面CMD，∴AD平面MCD.
∵CM在平面MCD内，∴ADCM，又∵M是半圆弧CD上异于C,D的
点，∴CMMD.又∵ADIDMD，∴CM平面ADM，∵CM在平面BCM
内，∴平面BCM平面ADM.
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（2）线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：
连接BD,AC交于点O，连接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，
P是AM的中点；
∴OP//MC，∵OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，∴MC//平面
PDB.
20．
解答：
（1）设直线l方程为ykxt，设
Axy,
（,）
11
Bxy,
（,）
22
ykxt
xy联立消y得
22
1
43
222
（4k3）x8ktx4t120，
则
2222
64kt4（4t12）（34k）0，
得4k23t2⋯①，
且
8kt
xx
122
34k
2
，
6t
yyk（xx）2t2m
，
12122
34k
∵m0，∴t0且k0.
且
t
2
34k
4k
⋯②.
由①②得
2
4k3
22
（34k）
2
16k
，
∴
1
k或
2
1
k.
2
1
∵k0，∴k.
2
uuruuruurr
（2）FPFAFB0
uuruuurr
，FP2FM0
∵M（1,m），F（1,0），∴P的坐标为（1,2m）.
由于P在椭圆上，∴
2
14m
43
1，∴
3
m，
4
3
M（1,），
2
又
22
xy，
111
43
22
xy，
221
43
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yy3xx
两式相减可得1212
xx4yy
1212
，
又x1x22，
3
yy，∴k1，
12
2
直线l方程为
3
y（x1），
4
即
7
yx，
4
∴
yx
22
xy
43
7
4
1
，
消去y得
14321
2
28x56x10，x1,2，
14
uuruur
2222
|FA||FB|（x1）y（x1）y3
1122
，
uur
2323
|FP|（11）（0）
22
∴|FA||FB|2|FP|.
21．
解答：
（1）由题意：
fx
21
axx
x
e
得
f（x）
x2x2
（2ax1）e（axx1）eax2axx2
x2x
（e）e
，
∴
2
f（0）2，即曲线yfx在点0,1处的切线斜率为2，
1
∴y
（1）2（x0），即2xy10；
（2）证明：
由题意：
原不等式等价于：
x
1210
eaxx恒成立；令
x12
gxeaxx，
（）1
∴
x1x1
g（x）e2ax1，g（x）e2a，∵a1，∴g（x）0恒成立，∴g（x）
在（,）上单调递增，∴g（x）在（,）上存在唯一x0使g（x0）0，
∴
x01
e2ax10，即
0
x01
e2ax1，且g（x）在（,x0）上单调递减，在（x0,）
0
上单调递增，∴
gxgx.
（）（）
0
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又
x
0122
g（x）eaxx1ax（12a）x2（ax1）（x2），
0000000
1
1
1
ge，∵a1，∴
（）a1
a
1
1
0ea1e1，∴x0
1
a
，∴g（x0）0，得
证.
综上所述：
当a1时，fxe0.
22．
解答：
（1）eO的参数方程为
x
y
cos
sin
，∴eO的普通方程为
221
xy，当
90时，直线：
l:
x0与eO有两个交点，当90时，设直线l的方程为
yx，由直线l与eO有两个交点有
tan2
|002|
2
1tan
1
，得
2
tan1，∴
tan1或tan1，∴4590或90135，综上（45,135）.
（2）点P坐标为（x,y），当90时，点P坐标为（0,0），当90时，
设直线l的方程为ykx2，
A（x,y）,B（x,y），∴
1122
221
xy
ykx2
①
②
有
2
（2）21
xkx，整理得
22
（1k）x22kx10，∴12
xx
22k
2
1k
，
22
yy
122
1k
2k
x
③
2
k
1
，∴得
k
2
y
④
2
1
k
x
y
代入④得
2220
xyy.当点
P（0,0）时满足方程
2220
xyy，∴AB中点的P的轨迹方程是
2220
xyy，即
2221
xy，由图可知，
（）
22
22
A，
（,）
22
22
B，
（,）
22
则
2
2
y0，故点P的参数方程为
x
y
2
2
22
22
cos
sin
（为参数，0）.
23．
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解答：
3x,x
1
2
（1）
1
，如下图：
f（x）x2,x1
2
3x,x1
（2）由
（1）中可得：
a3，b2，
当a3，b2时，ab取最小值，
∴ab的最小值为5.
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