文科数学全国三卷真题及答案.docx
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文科数学全国三卷真题及答案
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2018年数学试题文(全国卷3)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,
只有一项符合题目要求的.)
1.已知集合Ax|x1≥0,B0,1,2,则AB()
A.0B.1C.1,2D.0,1,2
2.1i2i()
A.3iB.3iC.3iD.3i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部
分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体
是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合
成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
()4.若sin1
3
,则
cos2()
A.8
9
B.7
9
C.7
9
D.
8
9
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的
概率为0.15,则不用现金支付的概率为()
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
6.函数
fx
tanx
2
1tan
x
的最小正周期为()
A.B.C.D.2
42
7.下列函数中,其图像与函数ylnx的图像关于直线x1对称的是()
A.yln1xB.yln2xC.yln1xD.yln2x
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.直线xy20分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆xy上,则ABP
22
22
面积的取值范围是()
A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32
9.函数yx4x22的图像大致为()
10.已知双曲线
22
xy
C221
:
(a0,b0)的离心率为2,则点4,0到C的
ab
渐近线的距离为()
A.2B.2C.
32
2
D.22
11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为
222
abc,
4
则C()
A.B.C.D.
2346
12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三
角形且其面积为93,则三棱锥DABC体积的最大值为()
A.123B.183C.243D.543
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量a=1,2,b=2,2,c=1,λ.若c∥2a+b,则________.
4
户的评价,该公司准
备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则
最合适的抽样方法是
______._
5
2xy30
≥,
x2y40
≥,
x20.
≤
则1
zxy的最大值是________.
3
6
fxxx,fa4,则fa________.
ln11
2
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三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~31题为
必考题,每个试
考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
等比数列
a中,
n
a,aa.
11543
⑴求
a的通项公式;
n
⑵记
S为
n
a的前n项和.若S63,求m.
nm
18.(12分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的
生产方式.为比较两
种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工
人用第一种生产方式,
第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘
制了如下茎叶图:
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需
时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生
产方式
⑶根据⑵中的列表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
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2
2nadbc
abcdacbd
,
2
PKk
≥
k
0.0500.0100.001
3.8416.63510.828
附:
.
K
19.(12分)
如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D
的点.
⑴证明:
平面AMD⊥平面BMC;
⑵在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?
说明理由.
0
22
xy
已知斜率为k的直线l与椭圆C:
交于A,B两点.线段AB的中点为
1
43
1,mm0.
⑴证明:
1
k;
2
⑵设F为C的右焦点,P为C上一点,且FPFAFB0.证明:
2FPFAFB.
1
已知函数
fx
21
axx
x
e
.
⑴求由线yfx在点0,1处的切线方程;
⑵证明:
当a≥1时,fxe≥0.
(二)选考题:
共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按
所做的第一题计分.
2
在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为
x
y
cos
sin
(为参数),过点0,2且倾斜角为的直线l与
⊙交于A,B两点.
O
⑴求的取值范围;
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⑵求AB中点P的轨迹的参数方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
设函数fx2x1x1.
⑴画出yfx的图像;
⑵当x∈0,,fx≤axb,求ab的最小值.
参考答案
一、选择题
1.答案:
C
解答:
∵A{x|x10}{x|x1},B{0,1,2},∴AB{1,2}.故选C.
2.答案:
D
解答:
2
(1i)(2i)2ii3i,选D.
3.答案:
A
解答:
根据题意,A选项符号题意;
4.答案:
B
解答:
cos212sin2127
99
.故选B.
5.答案:
B
解答:
由题意P10.450.150.4.故选B.
6.答案:
C
解答:
sinx
tanxcosxsinxcosx1
f(x)sinxcosxsin2x
2222
1tanxsinxsinxcosx2
1
2
cosx
,
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∴f(x)的周期
2
T.故选C.
2
7.答案:
B
解答:
f(x)关于x1对称,则f(x)f(2x)ln(2x).故选B.
8.答案:
A
解答:
由直线xy20得A(2,0),B(0,2),∴
22
|AB|2222,圆
22
(x2)y2的圆心为(2,0),∴圆心到直线xy20的距离为
22
11
22
,∴点P到直线xy20的距离的取值范围为
222d222,即2d32,∴
1
SABd.
||[2,6]
ABP
2
9.答案:
D
解答:
当x0时,y2,可以排除A、B选项;
又因为
322
yxxxxx,则f(x)0的解集为
424()()
22
22
(,)U(0,),f(x)单调递增区间为
22
2
(,)
2
,
2
(0,)
2
;f(x)0
的解集为
22
(,0)U(,),f(x)单调递减区间为
22
2
(,0)
2
2
,(,)
2
.
结合图象,可知D选项正确.
10.答案:
D
解答:
c
由题意2
e
a
b
,则1,故渐近线方程为xy0,则点(4,0)到渐
a
近线的距离为|40|22
d.故选D.
2
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11.答案:
C
解答:
2222cos1
abcabC
SabcosC,又
ABC
442
1
SabsinC,故tanC1,
ABC
2
∴
C.故选C.
4
12.答案:
B
解答:
如图,ABC为等边三角形,点O为A,B,C,D外接球的球心,G为ABC的重心,
由S93,得AB6,取BC的中点H,∴AHABsin6033,∴
ABC
2
AGAH,
23
3
∴球心O到面ABC的距离为
22
d4(23)2,∴三棱锥DABC体积最大值
1
V.
93(24)183DABC
3
二、填空题
13.答案:
1
2
解答:
2ab(4,2),∵c//(2ab),∴1240,解得
1
2
.
14.答案:
分层抽样
解答:
由题意,不同龄段客户对其服务的评价有较大差异,故采取分层抽样法.
15.答案:
3
解答:
由图可知在直线x2y40和x2的交点(2,3)处取得最大值,故
1
z.
233
3
16.答案:
2
解答:
2
fxln1xx1(xR)
22
f(x)f(x)ln(1xx)1ln(1xx)1
22
ln(1xx)22,
∴f(a)f(a)2,∴f(a)2.
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三、解答题
17.答案:
(1)
n1
a2或
n
an1;
(2)6.
(2)
n
解答:
(1)设数列{}
a的公比为q,∴
n
a
25
q
a
3
4
,∴q2.
∴
n1
a2或
n
a.
(2)
n1
n
(2)由
(1)知,
n
12
n
S或
21
n
12
n
1
(2)1
n
S,
[1
(2)]
n
123
m
∴S2163或
m
1
m
S[1
(2)]63(舍),
m
3
∴m6.
18.
解答:
(1)第一种生产方式的平均数为
x,第二种生产方式平均数为
184
x,∴
274.7
xx,所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种,∴第二
12
种生产方式的效率更高.
(2)由茎叶图数据得到m80,∴列联表为
K
(3)
22
2n(adbc)40(151555)
106.635
()()()()20202020
abcdacbd,∴有99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.
解答:
(1)∵正方形ABCD半圆面CMD,
∴AD半圆面CMD,∴AD平面MCD.
∵CM在平面MCD内,∴ADCM,又∵M是半圆弧CD上异于C,D的
点,∴CMMD.又∵ADIDMD,∴CM平面ADM,∵CM在平面BCM
内,∴平面BCM平面ADM.
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(2)线段AM上存在点P且P为AM中点,证明如下:
连接BD,AC交于点O,连接PD,PB,PO;在矩形ABCD中,O是AC中点,
P是AM的中点;
∴OP//MC,∵OP在平面PDB内,MC不在平面PDB内,∴MC//平面
PDB.
20.
解答:
(1)设直线l方程为ykxt,设
Axy,
(,)
11
Bxy,
(,)
22
ykxt
xy联立消y得
22
1
43
222
(4k3)x8ktx4t120,
则
2222
64kt4(4t12)(34k)0,
得4k23t2⋯①,
且
8kt
xx
122
34k
2
,
6t
yyk(xx)2t2m
,
12122
34k
∵m0,∴t0且k0.
且
t
2
34k
4k
⋯②.
由①②得
2
4k3
22
(34k)
2
16k
,
∴
1
k或
2
1
k.
2
1
∵k0,∴k.
2
uuruuruurr
(2)FPFAFB0
uuruuurr
,FP2FM0
∵M(1,m),F(1,0),∴P的坐标为(1,2m).
由于P在椭圆上,∴
2
14m
43
1,∴
3
m,
4
3
M(1,),
2
又
22
xy,
111
43
22
xy,
221
43
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yy3xx
两式相减可得1212
xx4yy
1212
,
又x1x22,
3
yy,∴k1,
12
2
直线l方程为
3
y(x1),
4
即
7
yx,
4
∴
yx
22
xy
43
7
4
1
,
消去y得
14321
2
28x56x10,x1,2,
14
uuruur
2222
|FA||FB|(x1)y(x1)y3
1122
,
uur
2323
|FP|(11)(0)
22
∴|FA||FB|2|FP|.
21.
解答:
(1)由题意:
fx
21
axx
x
e
得
f(x)
x2x2
(2ax1)e(axx1)eax2axx2
x2x
(e)e
,
∴
2
f(0)2,即曲线yfx在点0,1处的切线斜率为2,
1
∴y
(1)2(x0),即2xy10;
(2)证明:
由题意:
原不等式等价于:
x
1210
eaxx恒成立;令
x12
gxeaxx,
()1
∴
x1x1
g(x)e2ax1,g(x)e2a,∵a1,∴g(x)0恒成立,∴g(x)
在(,)上单调递增,∴g(x)在(,)上存在唯一x0使g(x0)0,
∴
x01
e2ax10,即
0
x01
e2ax1,且g(x)在(,x0)上单调递减,在(x0,)
0
上单调递增,∴
gxgx.
()()
0
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又
x
0122
g(x)eaxx1ax(12a)x2(ax1)(x2),
0000000
1
1
1
ge,∵a1,∴
()a1
a
1
1
0ea1e1,∴x0
1
a
,∴g(x0)0,得
证.
综上所述:
当a1时,fxe0.
22.
解答:
(1)eO的参数方程为
x
y
cos
sin
,∴eO的普通方程为
221
xy,当
90时,直线:
l:
x0与eO有两个交点,当90时,设直线l的方程为
yx,由直线l与eO有两个交点有
tan2
|002|
2
1tan
1
,得
2
tan1,∴
tan1或tan1,∴4590或90135,综上(45,135).
(2)点P坐标为(x,y),当90时,点P坐标为(0,0),当90时,
设直线l的方程为ykx2,
A(x,y),B(x,y),∴
1122
221
xy
ykx2
①
②
有
2
(2)21
xkx,整理得
22
(1k)x22kx10,∴12
xx
22k
2
1k
,
22
yy
122
1k
2k
x
③
2
k
1
,∴得
k
2
y
④
2
1
k
x
y
代入④得
2220
xyy.当点
P(0,0)时满足方程
2220
xyy,∴AB中点的P的轨迹方程是
2220
xyy,即
2221
xy,由图可知,
()
22
22
A,
(,)
22
22
B,
(,)
22
则
2
2
y0,故点P的参数方程为
x
y
2
2
22
22
cos
sin
(为参数,0).
23.
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解答:
3x,x
1
2
(1)
1
,如下图:
f(x)x2,x1
2
3x,x1
(2)由
(1)中可得:
a3,b2,
当a3,b2时,ab取最小值,
∴ab的最小值为5.
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