文科数学全国三卷真题及答案.docx

1、文科数学全国三卷真题及答案精心整理2018 年数学试题 文（全国卷 3）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的 . ）1已知集合 A x | x 1 0 ， B 0 ，1，2 ，则 A B （ ）A 0 B 1 C 1，2 D 0 ，1，22 1 i 2 i （ ）A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来， 构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 4若 sin 1

2、3，则cos2 （ ）A 89B 79C 79D895若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15 ，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.76函数f xtan x21 tanx的最小正周期为（ ）A B C D 24 27下列函数中，其图像与函数 y ln x 的图像关于直线x 1 对称的是（ ）A y ln 1 x B y ln 2 x C y ln 1 x D y ln 2 x精心整理精心整理直线x y 2 0 分别与x 轴， y 轴交于A ， B 两点，点 P 在圆x y 上，则 ABP2 22 2面积的取值范围

3、是（ ）A 2 ，6 B 4，8 C 2 ，3 2 D 2 2 ，3 29函数 y x4 x2 2 的图像大致为（ ）10已知双曲线2 2x yC 2 2 1： （ a 0 ，b 0 ）的离心率为 2 ，则点 4 ，0 到 C 的a b渐近线的距离为（ ）A 2 B 2 C3 22D 2 211 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c 若 ABC 的面积为2 2 2a b c ，4则 C （ ）A B C D2 3 4 612设A ， B ，C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为（

4、）A12 3 B18 3 C 24 3 D 54 3二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量 a= 1,2 ， b= 2, 2 ， c= 1,若 c 2a + b ，则 _4户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_52x y 3 0 ，x 2y 4 0 ，x 2 0.则 1z x y 的最大值是 _36f x x x ， f a 4 ，则 f a _ln 1 12精心整理精心整理三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1731 题为必考题，每个试考生都必须作答，第

5、 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ）（一）必考题：共 60 分。17（12 分）等比数列a 中，na ，a a 1 1 5 4 3求a 的通项公式；n记S 为na 的前n 项和若 S 63 ，求m n m18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min）绘制了如下茎叶图：根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求 40 名工人完成生产任务所需时间的

6、中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式根据中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？精心整理精心整理22 n ad bca b c d a c b d，2P K kk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附： K19（12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直， M 是 上异于 C ，D的点证明：平面 AMD 平面 BMC ；在线段AM 上是否存在点 P ，使得 MC 平面 PBD ？说明理由02 2x y已知斜率为k 的直线 l

7、 与椭圆 C： 交于 A ， B 两点线段AB 的中点为14 31，m m 0 证明： 1k ；2设F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点 , 且 FP FA FB 0 证明 : 2 FP FA FB 1已知函数f x2 1ax xxe求由线y f x 在点 0 ， 1 处的切线方程；证明：当a 1 时， f x e 0 （二）选考题：共10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分2在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为xycossin（ 为参数） ，过点 0， 2 且倾斜角为 的直线 l 与 交于 A，B两点O求 的取值范围；精心整理精心整

8、理求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程23 选修4 5：不等式选讲 （10 分）设函数 f x 2x 1 x 1 画出 y f x 的图像；当 x 0 ， ， f x ax b ，求 a b 的最小值参考答案一、选择题1答案： C解答： A x | x 1 0 x | x 1 ， B 0,1,2 ， A B 1,2 . 故选 C.2答案： D解答：2(1 i )(2 i) 2 i i 3 i ，选 D.3答案： A解答：根据题意， A选项符号题意；4答案： B解答： cos2 1 2sin2 1 2 79 9. 故选 B.5答案： B解答：由题意 P 1 0.45 0.15 0.4 . 故选

9、B.6答案： C解答：sin xtan x cos x sin x cos x 1f (x) sin x cos x sin 2x2 2 2 21 tan x sin x sin x cos x 212cos x，精心整理精心整理 f ( x) 的周期2T . 故选 C.27答案：B解答： f ( x) 关于x 1对称，则 f (x) f (2 x) ln(2 x) . 故选 B.8答案：A解答：由直线 x y 2 0 得A( 2,0), B(0, 2) ，2 2| AB | 2 2 2 2 ，圆2 2(x 2) y 2的圆心为 (2,0) ，圆心到直线 x y 2 0 的距离为2 21 12

10、 2，点 P 到直线 x y 2 0 的距离的取值范围为2 2 2 d 2 2 2 ，即 2 d 3 2 ，1S AB d .| | 2,6ABP29答案：D解答：当x 0 时， y 2，可以排除 A、B选项；又因为3 2 2y x x x x x ，则 f ( x) 0的解集为4 2 4 ( )( )2 22 2( , ) U (0, ) ， f (x) 单调递增区间为 2 22( , )2，2(0, )2； f (x) 0的解集为2 2( ,0) U ( , )，f (x) 单调递减区间为2 22( ,0)22，( , )2.结合图象，可知 D选项正确.10答案：D解答：c由题意 2eab

11、，则 1，故渐近线方程为 x y 0，则点(4,0) 到渐a近线的距离为 | 4 0| 2 2 d . 故选 D.2精心整理精心整理11答案：C解答：2 2 2 2 cos 1a b c ab CS ab cos C ，又ABC4 4 21S ab sin C ，故tan C 1 ，ABC2C . 故选 C.412答案：B解答：如图， ABC为等边三角形， 点O为A ，B ，C ，D 外接球的球心， G 为 ABC的重心，由S 9 3 ，得AB 6，取BC 的中点 H ，AH AB sin 60 3 3，ABC2AG AH ，2 33球心 O 到面 ABC 的距离为2 2d 4 (2 3) 2

12、，三棱锥 D ABC体积最大值1V .9 3 (2 4) 18 3 D ABC3二、填空题13答案： 12解答：2a b (4, 2) ，c / /(2 a b) ，1 2 4 0 ，解得12.14答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法 .15答案： 3解答：由图可知在直线 x 2y 4 0和x 2的交点 (2,3) 处取得最大值，故1z .2 3 3316答案： 2解答：2f x ln 1 x x 1(x R)2 2f (x) f ( x) ln( 1 x x) 1 ln( 1 x x) 12 2ln(1 x x ) 2 2， f (a) f (

13、a) 2， f ( a) 2.精心整理精心整理三、解答题17答案：（ 1）n 1a 2 或na n 1 ；（2）6 .( 2)n解答：（1）设数列 a 的公比为 q ，na2 5qa34，q 2 .n 1a 2 或na .( 2)n 1n（2）由（1）知，n1 2nS 或2 1n1 2n1 ( 2) 1nS ，1 ( 2) n1 2 3mS 2 1 63 或m1mS 1 ( 2) 63（舍），m3m 6.18解答：（1）第一种生产方式的平均数为x ，第二种生产方式平均数为1 84x ，2 74.7x x ，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种， 第二1 2种生产方式的效率更高 .（2

14、）由茎叶图数据得到 m 80，列联表为K（3）2 22 n(ad bc) 40(15 15 5 5)10 6.635( )( )( )( ) 20 20 20 20a b c d a c b d ，有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 .19解答：（1）正方形 ABCD 半圆面 CMD ，AD 半圆面CMD ， AD 平面MCD .CM 在平面 MCD 内， AD CM ，又 M 是半圆弧 CD 上异于C,D 的点，CM MD . 又 AD I DM D ，CM 平面 ADM ，CM 在平面 BCM内，平面 BCM 平面 ADM .精心整理精心整理（2）线段AM 上存在点 P 且 P为A

15、M 中点，证明如下：连接BD, AC 交于点 O ，连接PD,PB, PO；在矩形 ABCD 中，O 是 AC 中点，P 是 AM 的中点；OP / / MC ， OP 在平面 PDB 内， MC 不在平面 PDB 内， MC / / 平面PDB .20解答：（1）设直线 l 方程为y kx t ，设A x y ,( , )1 1B x y ,( , )2 2y kx tx y 联立消y得2 214 32 2 2(4k 3)x 8ktx 4t 12 0，则2 2 2 264k t 4(4 t 12)(3 4k ) 0 ，得 4k2 3 t 2 ，且8ktx x1 2 23 4k2，6ty y

16、k(x x ) 2t 2m，1 2 1 2 23 4k m 0， t 0且 k 0.且t23 4k4k .由得24k 32 2(3 4k )216k，1k 或2 1k . 21 k 0， k .2uur uur uur r（2） FP FA FB 0uur uuur r， FP 2FM 0, M (1,m) ， F (1,0)， P 的坐标为(1, 2m) .由于 P 在椭圆上，21 4m4 31，3m ，43M (1, ) ，2又2 2x y ，1 1 14 32 2x y ，2 2 14 3精心整理精心整理y y 3 x x两式相减可得 1 2 1 2x x 4 y y1 2 1 2，又x

17、1 x2 2，3y y ， k 1，1 22直线l 方程为3y ( x 1)，4即 7y x ， 4y x2 2x y4 3741，消去 y 得14 3 21228x 56x 1 0，x1,2 ，14uur uur2 2 2 2| FA| | FB | (x 1) y (x 1) y 31 1 2 2，uur2 3 2 3| FP | (1 1) ( 0) 2 2,| FA | | FB | 2| FP |.21解答：（1）由题意：f x2 1ax xxe得f (x)x 2 x 2(2ax 1)e (ax x 1)e ax 2ax x 2x 2 x(e ) e，2f (0) 2，即曲线 y f

18、 x 在点 0, 1 处的切线斜率为 2，1 y ( 1) 2(x 0)，即 2x y 1 0 ；（2）证明：由题意：原不等式等价于：x1 2 1 0e ax x 恒成立；令x 1 2g x e ax x ，( ) 1x 1 x 1g (x) e 2ax 1，g (x) e 2a ，a 1，g (x) 0恒成立，g (x)在( , ) 上单调递增， g (x) 在( , ) 上存在唯一 x0 使g ( x0 ) 0，x0 1e 2ax 1 0 ，即0x0 1e 2ax 1，且g (x) 在( , x0 ) 上单调递减， 在(x0 , )0上单调递增，g x g x .( ) ( )0精心整理精

19、心整理又x0 1 2 2g(x ) e ax x 1 ax (1 2a) x 2 (ax 1)( x 2) ，0 0 0 0 0 0 0111g e ，a 1，( ) a 1a110 e a 1 e 1，x01a，g(x0) 0 ，得证.综上所述：当 a 1 时， f x e 0 .22解答：（1）e O的参数方程为xycossin，e O的普通方程为2 2 1x y ，当90 时，直线： l : x 0与e O有两个交点，当 90 时，设直线 l 的方程为y x ，由直线 l 与e O有两个交点有tan 2|0 0 2 |21 tan1，得2tan 1，tan 1或tan 1， 45 90

20、或90 135 ，综上 (45 ,135 ) .（2）点P 坐标为 (x, y) ，当 90 时，点 P 坐标为 (0,0) ，当 90 时，设直线 l 的方程为 y kx 2 ，A(x , y ), B(x , y ) ，1 1 2 22 2 1x yy kx 2有2 ( 2) 2 1x kx ，整理得2 2(1 k ) x 2 2kx 1 0 ， 1 2x x2 2k21 k，2 2y y1 2 21 k2kx 2k1， 得k2y21kxy代入得2 2 2 0x y y . 当点P(0,0) 时满足方程2 2 2 0x y y ， AB 中点的 P 的轨迹方程是2 2 2 0x y y ，即2 2 2 1x y ，由图可知，( )2 22 2A ，( , )2 22 2B ，( , )2 2则22y 0 ，故点P 的参数方程为xy222 22 2cossin（ 为参数，0 ）.23精心整理精心整理解答：3x, x12（1）1，如下图：f (x) x 2, x 1 23x, x 1（2）由（1）中可得： a 3，b 2，当a 3，b 2时，a b 取最小值，a b 的最小值为 5.精心整理