小学数学趣题巧算百题百讲百练计算杂题几何部分.docx

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小学数学趣题巧算百题百讲百练计算杂题几何部分

小学数学趣题巧算百题百讲百练--几何部分

小学生学习几何初步知识，不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征，还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积，而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。

特别是计算一些组合图形的面积时，常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法，使得计算巧妙、简便。

要学会这些方法，应用这些方法。

通过解几何题的训练，更好地培养空间想象力，这对学好小学几何初步知识是极有利的，同时也为将来到中学进一步学习几何知识，打下良好而坚实的基础。

　　例21下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。

已知圆O的周长是9.42厘米，那么长方形OABC的周长是多少厘米？

　　分析与解题中告诉我们，圆O的面积和长方形OABC的面积相等。

我们知道，圆的面积等于π·r·r，而图中圆O的半径恰好是长方形的宽，因此长方形OABC的长正好是π·r，即圆O的周长的一半。

而长方形的周长等于2个长与2个宽的和，也就是圆O的周长与直径的和。

　　长方形OABC的周长是：

　　9.42+9.42÷3.14

　　=9.42+3

　　=12.42（厘米）

　　答：

长方形OABC的周长是12.42厘米。

　　例22桌面上有一条长80厘米的线段，另外有直径为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圆形纸片若干张，现在用这些纸片将桌上线段盖住，并且使所用纸片圆周长总和最短，问这个周长总和是多少厘米？

　　分析与解要想盖住桌上线段，并且使所用纸片圆周长总和最短，那么盖住线段的圆形纸片应该是互不重叠，一个挨一个地排开，这时若干个圆形纸片直径的总和正好是80厘米。

这些圆形纸片周长的总和与直径为80厘米的圆的周长相等，因此盖住桌子上线段的若干个圆形纸片的周长总和是：

　　3.14×80=251.2（厘米）

　　答：

这个周长总和是251.2厘米。

　　例23图2为三个同心圆形的跑道，跑道宽1米。

某人沿每条圆形跑道的中间（虚线所示）各跑了1圈，共3圈。

他一共跑了多少米？

　　分析与解根据题意，要求某人一共跑了多少米，就是求半径分别为1.5米、2.5米和3.5米的三个圆的周长之和。

列式为

　　3.14×（1.5×2）+3.14×（2.5×2）+3.14×（3.5×2）

　　＝3.14×3+3.14×5+3.14×7

　　=3.14×（3+5+7）

　　=3.14×15

　　=47.1（米）

　　还可以这样思考：

　　如果这个人拿着一个1米宽的拖把，边跑边拖地，他跑了1个圆圈，就把这一圈的跑道全拖干净。

那么他跑了3个圆圈，就把这三条圆形跑道全拖干净了。

他共拖了3个环形面积的地。

这3个环形面积的总和是

　　3.14×（42-32）+3.14×（32-22）+3.14×（22-12）

　　=3.14×（42-32+32-22+22-12）

　　=3.14×（42-12）

　　=3.14-[（4+1）×（4-1）]

　　=3.14×15

　　=47.1（平方米）

　　当然，也可以直接列式：

3.14×（42-12）=47.1（平方米）

　　因为跑道宽1米，这个人拖完47.1平方米，那么他就前进了47.1米。

　　答：

一共跑了47.1米。

　　这里列举的只是某人跑了3个圆形跑道。

如果将题改为跑100个这样的圆形跑道，那么用后面介绍的解法计算他跑步的总长度，就简捷多了。

　　解法如下：

　　3.14×（1012-12）

　　=3.14×（101+1）×（101-1）

　　=3.14×102×100

　　=32028（平方米）

　　因为跑道宽1米，所以共跑了32028米。

　　例24在面积是40平方厘米的正方形中，有一个最大的圆（如图3）。

这个圆的面积是多少平方厘米？

　　分析与解要求圆的面积，就要先求出圆的半径。

题中告诉我们，正方形的面积是40平方厘米，正方形的边长的一半，也就是图中圆的半径。

对小学生来讲，从正方形的面积求正方形的边长，还不会直接计算。

　　可以这样思考：

　　把正方形平均分成4份（如图4）。

每个小正方形的面积是40÷4=10平方厘米。

小正方形的边长恰好是圆的半径，因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。

这样就可以求出圆的面积是3.14×10=31.4平方厘米了。

　　答：

图中圆面积是31.4平方厘米。

　　例25图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。

正方形的边长是247.8厘米；长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米，正方形和长方形哪个面积大？

　　分析与解要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小，方法是分别算出它们的面积再进行比较。

从题中给出的数据看，确实给计算带来麻烦。

　　只要在AF两点间连一条线段（如图6），就会发现，三角形AFD的面积是正方形ABCD面积的一半，同时也是长方形EFDG面积的一半，所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。

这样，也就不用计算这两个图形的面积了。

　　例26图7由半圆和等腰直角三角形重叠而成。

已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米，求图中阴影面积。

　　分析与解如果分别算出两个阴影部分的面积，再把它们加起来，以便求出图中阴影部分的总面积，那就太复杂了。

　　根据题中的条件，我们可以把图中弓形阴影剪下来拼（或旋转）成图8。

　　从图8不难看出，题中要求的阴影部分的面积就是三角形ABC面积的一半。

　　图中的阴影面积是：

　　（4×4÷2）÷2=4（平方厘米）

　　答：

图中阴影面积是4平方厘米。

　　例27有5个正方形（如图9），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。

问图中白色部分面积与阴影部分面积的比是几比几？

　　分析与解观察已知图形，显然，先计算出白色面积比较简单。

　　白色部分面积是：

（22-12）+（42-32）=10（平方米）

　　阴影部分面积是：

52-10=15（平方米）

　　因此，白色部分面积与阴影部分面积之比是：

10∶15，即2∶3。

　　还可以这样想：

作正方形的对角线AD和BC，两条对角线相交于O，于是两条对角线把正方形平均分成四部分（如图10）。

　　要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比，只需计算三角形AOB中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了。

在三角形AOB中，可把白色的和阴影的两部分图形都看作是一些梯形，其中把最上端的小阴影三角形看作是上底为O的梯形。

这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之比就是这些梯形上、下底的和之比。

　　从小到大，5个梯形面积比是：

　　1∶（1+2）∶（2+3）

　　∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9

　　因此，图中白色部分面积与阴影部分面积的比是：

（3+7）∶（1+5+9）=2∶3

　　答：

图中白色部分面积与阴影部分面积比是2∶3。

　　例28有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？

　　分析与解连接DB（图12）。

已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。

　　三角形BDE的面积是：

24-17.4=6.6（平方厘米）。

而三角形BDE的面积等于ED×BC×1/2

　　即ED×6×1/2=6.6

　　所以ED长是2.2厘米。

　　答：

ED的长是2.2厘米。

　　例29图13由4个正六边形拼成，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是多少？

　　分析与解首先连接每个正六边形的对角线，将每个六边形平均分成六个小的正三角形（如图14），那么每一个小三角形的面积都是1。

　　由图14不难看出：

三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA组成的，其中三角形DEF的面积是4，而其它的三个三角形面积都相等。

　　先看三角形ABE。

它正好是平行四边形AGBE的一半，而平行四边形AGBE的面积是6，因此，三角形ABE的面积是3。

当然，三角形BDC和三角形CFA的面积也是3。

　　由此得出三角形ABC的面积是

　　4+3×3=13

　　答：

三角形ABC的面积是13。

　　例30已知图15中正方形ABCD的面积是256平方厘米，那么正方形EFGH的面积是多少平方厘米？

　　分析与解将图15中正方形A0′B′C′D′旋转成图16。

由图中不难看出：

正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的1/2；正方形EFGH的面积是正方形A′B′C′D′的面积的1/2。

因此，正方形

　　已知正方形ABCD的面积是256平方厘米，所以正方形EFGH的面积是

　　答：

正方形EFGH的面积是64平方厘米。

　　例31图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？

　　分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。

　　已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

　　又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。

由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。

而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。

　　答：

正方形ABCD的面积是200平方厘米。

　　例32一个任意凸六边形ABCDEF，P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。

已知阴影部分的面积是100平方厘米，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

　　分析与解连接BF、BE、BD，在三角形ABF中，P是AB的中点，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。

因此三角形BPF和三角形APF的面积相等。

　　同理，由于N为EF中点，所以三角形FNB和三角形ENB的面积相等；由于M为DE中点，所以三角形DMB和三角形EMB的面积相等；由于Q为BC中点，所以三角形BQD和三角形CQD的面积相等。

　　由此得出：

三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。

　　而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=阴影面积=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面积=100平方厘米。

　　因此，六边形ABCDEF的面积为100×2=200平方厘米。

　　答：

六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。

　　例33图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。

已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？

　　分析与解题中告诉我们：

圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，

　　由图中不难看出：

三角形AOB与三角形EOB是等底同高的三角形，这两

的面积相等。

　　于是图中阴影的面积是：

　　答：

阴影的面积是18.84平方厘米。

例34图23中四边形ABCD是一个正方形。

E、F分别为CD和BC边上的中点。

已知正方形ABCD的边长是30厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

　　分析与解已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD边与BC边上