数字信号处理期末考试试题以及参考答案.docx

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数字信号处理期末考试试题以及参考答案

2009-2010 学年第二学期

通信工程专业《数字信号处理》（课程）参考答案及评分标准

一、选择题（每空 1 分，共 20 分）

1．序列 x（n） = cosçn ⎪ + sinçn ⎪ 的周期为（A）。

⎝ 4 ⎭⎝ 6 ⎭

A．24B． 2 π

C．8D．不是周期的

2．有一连续信号 xa （t） = cos（40πt） ，用采样间隔 T = 0.02s 对 xa （t） 进行采样，则采样所得的时域离散

信号 x（n） 的周期为（C）

A．20B． 2 π

C．5D．不是周期的

3．某线性移不变离散系统的单位抽样响应为 h（n） = 3n u（n） ，该系统是（B）系统。

A．因果稳定B．因果不稳定

C．非因果稳定D．非因果不稳定

4．已知采样信号的采样频率为 f s ，采样周期为 Ts ，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，

周期为（A），折叠频率为（C）。

A． f s

C． f s / 2

B． Ts

D． f s / 4

5．以下关于序列的傅里叶变换 X （e jω ） 说法中，正确的是（B）。

A． X （e jω ） 关于 ω 是周期的，周期为 π

B． X （e jω ） 关于 ω 是周期的，周期为 2π

C． X （e jω ） 关于 ω 是非周期的

D． X （e jω ） 关于 ω 可能是周期的也可能是非周期的

6．已知序列 x（n） = 2δ （n - 1） + δ （n） - δ （n + 1） ，则 X （e jω ） ω=0 的值为（C）。

1

A．0B．1

C．2D．3

∑ x（n）W

7．某序列的 DFT 表达式为 X （k） =

N -1

n=0

nk

M

，由此可看出，该序列的时域长度是（A），变换后数

字域上相邻两个频率样点之间的间隔（C）。

A． N

C． 2π / M

B． M

D． 2π / N

8．设实连续信号 x（t） 中含有频率 40 Hz 的余弦信号，现用 f s = 120Hz 的采样频率对其进行采样，并利

用 N = 1024 点 DFT 分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第（B）条谱线附近。

A．40B．341

C．682D．1024

1 2

9．已知 x（n） = {，,3,4}，则 x（（-n））6 R6 （n） = （A）， x（（n + 1））6 R6 （n） = （C）

A． {,0,0,4,3,2}

C． { ,3,4,0,0,1}

10．下列表示错误的是（B）。

-（

-（

A．WN nk = WNN -k）n

C．WN nk = WNN -n）k

B． { ,1,0,0,4,3}

D． { ,1,2,3,4，}

NN

B． （W nk ）* = W nk

D． WN / 2 = -1

11．对于 N = 2L 点的按频率抽取基 2FFT 算法，共需要（A）级蝶形运算，每级需要（C）个蝶形运算。

A． L

B． L

N

2

C．

N

2

D． N + L

12．在 IIR 滤波器中，（C）型结构可以灵活控制零极点特性。

A．直接ⅠB．直接Ⅱ

C．级联D．并联

13．考虑到频率混叠现象，用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器不适合于（B）。

A．低通滤波器B．高通、带阻滤波器

2

C．带通滤波器D．任何滤波器

14．以下哪种描述不属于双线性变换（A）。

A． ω 和 Ω 是线性关系

B．不会产生频谱混叠现象

C． s 平面和 z 平面是单值映射

D． ω 和 Ω 是单值映射

15．利用窗函数设计 FIR 滤波器，为使滤波器的过渡带变小，可通过（A）有效实现。

A．增加窗口长度B．改变窗口形状

C．减少窗口长度D．窗口长度不变

16．窗函数法设计 FIR 滤波器时，减小通带内波动以及加大阻带衰减只能从（B）上找解决方法。

A．过渡带宽度B．窗函数形状

C．主瓣宽度D．滤波器的阶数

二、判断题（每题 1 分，共 10 分。

各题的答案只能是“对”或“错”，要求分别用“√”或“×”表示）

1． y（n） = x（n） sin（

2π

9

n +

π

7

） 是线性移不变系统。

（×）

2．稳定系统的系统函数的收敛域必须包括单位圆。

（√）

3．同一个 z 变换函数，若收敛域不同，对应的序列是不同的。

（√）

4．系统函数 H （z） 极点的位置主要影响幅频响应峰点的位置及形状。

（√）

5．有限长序列的 DFT 在时域和频域都是离散的。

（√）

6． x（n） 为 N 点有限长序列， X （k） = DFT [x（n）]为周期序列。

（×）

7．在按频率抽取的基-2FFT 算法中，先将 x（n） 按 n 的奇偶分为两组。

（×）

3

8．冲激响应不变法的频率变换关系是非线性的。

（×）

9．IIR 滤波器总是稳定的。

（×）

10．窗谱中主瓣与旁瓣的相对比例由窗函数的形状决定。

（√）

三、简答题（共 25 分）

1．（4 分）简述 DTFT 和 z 变换之间，DTFT 与 DFT 之间的关系。

答：

单位圆上的 z 变换是 DTFT。

DFT 是 DTFT 在[0,2π ] 上的 N 点抽样。

2．（6 分）对实信号进行谱分析，要求谱分辨率 F ≤ 10Hz ，信号最高频率 f h = 2.5kHz ，试确定以下参

量：

（1）最小记录长度 T0 ；

（2）抽样点间的最大时间间隔 T ；（3）在一个记录中的最小抽样点

数 N 。

答：

最小记录长度 T0 =

1

F

= 0.1s

抽样点间的最大时间间隔 T =

1

2 f h

=

1

5000

= 0.2 ⨯10-3

在一个记录中的最小抽样点数 N =

T0

T

= 500

3．（4 分）试写出按时间抽取和按频率抽取的基 2-FFT 算法的蝶形运算公式，已知蝶形运算的输入分别

用 X 1 （k） 和 X 2 （k） 表示，输出分别用 Y1 （k） 和 Y2 （k） 表示，系数用W 表示。

答：

DIT：

 Y1 （k） = X 1 （k） + WX 2 （k） ； Y2 （k） = X 1 （k） - WX 2 （k）

]

DIF：

 Y1 （k） = X 1 （k） + X 2 （k） ； Y2 （k） = [X 1 （k） - X 2 （k） W

4．（6 分）某一个数字滤波器的流程图如图 1 所示，已知 b1 = b2 = 0 ， a1 = 0.5 ， a2 = -0.5 ， a3 = -1，

试问该滤波器属于 IIR 滤波器还是 FIR 滤波器？

是否具有线性相位？

简要说明理由。

x（n）

y（n）

b1

b2

z -1

a1

z -1

a2

z -1

a3

4

图 1

答：

该滤波器属于 FIR 滤波器，因为不含反馈回路

具有线性相位，因为满足 h（n）= -h（N - 1 - n）

5．（5 分）试写出下列英文缩写字母的中文含义：

IIR，FIR，DFT，DTFT，FFT。

答：

IIR：

无限长单位抽样（冲激）响应

FIR：

有限长单位抽样（冲激）响应

DFT：

离散傅里叶变换

DTFT：

离散时间傅里叶变换

FFT：

快速傅里叶变换

四、计算题（共 45 分）

1．（6 分）设两个线性移不变因果稳定系统的 h1 （n） 和 h2 （n） 级联后的总单位抽样响应 h（n） 为 δ（n）。

已知 h1 （n） = δ （n） - 0.5δ （n - 1） ，求 h2 （n） 。

解：

 h1 （n） * h2 （n） = h（n）

H1 （z）H 2 （z） = H （z） ，而 H1 （z） = 1 - 0.5z -1

所以 H 2 （z） =

1

1 - 0.5z -1

 z > 0.5

h2 （n） = 0.5n u（n）

2．（6 分）已知一个时域离散系统的流程图如图 2 所示，其中 m 为一个实常数，

（1）试求系统函数

H （z） ；

（2）若系统是因果的，试求系统函数的收敛域；（3） m 取何值时，该系统是因果稳定的。

x（n）

y（n）

-

m

3

图 2

-

4

解：

 H （z） =

1 -

1 +

4

3

z

z

5

若系统是因果的，试求系统函数的收敛域 z >

m

< 1,即 m < 3 ，该系统是因果稳定的。

3

m

3

。

++

3．（8 分）设信号 x（n） = δ（n） δ（n - 1） δ（n - 2），

（1）计算 x（n） 与 x（n） 的线性卷积 y1 （n） 

（2）

计算 x（n） 与 x（n） 的 8 点圆周卷积 y2 （n） ，并与

（1）的结果比较，指出圆周卷积与线性卷积的关系。

1

1

解：

 y1 （n） = {,2,3,2,1}

y2 （n） = {,2,3,2,1,0,0,0}

y2 （n） 是 y1 （n） 以 8 为周期，周期延拓再取主值区间得到的

1

4．（9 分）已知一个有限长序列为 x（n） = {,0,0,0,3}，

（1）求它的 8 点 DFT X （k ） ；

（2）已知序列

y（n） 的 8 点 DFT 为 Y （k） = W84k X （k） ，求序列 y（n） ；（3）已知序列 g（n） 的 8 点 DFT 为

G（k） = X （k）Y （k） ，求序列 g（n）

解：

（1） x（n） = δ （n） + 3δ （n - 4）

X （k） =

N -1

n=0

x（n）W nk =

7

n=0

nk

8

= 1 + 3W84k = 1 + 3（-1）k ,0 ≤ k ≤ 7

4

X （k） = { ,-2,4,-2,4,-2,4,-2}

（2）由 Y （k） = W84k X （k） 可知， y（n） 与 x（n） 的关系为

3

y（n） = x（（n - 4））8 R8 （n） = { ,0,0,0,1,0,0,0}= 3δ （n） + δ （n - 4）

（3） g（n） 为 x（n） 和 y（n） 的 8 点圆周卷积

1 + 3W84k  1 + 3W84k ）  84k = 1 + 3W84k ）（    

G（k） = （）（ W（ W84k + 3W80k ）

= W84k

+

3W80k

+

+3W80k

+

9W84k

= 10W84k

+

6W80k

g（n） = 6δ （n） + 10δ （n - 4）

5．（8 分）设 IIR 数字滤波器的系统函数为 H （z） =

1 +

4 8

z z

3

z

，试求该滤波器的差分方程，并用

6

一阶节的级联型以及一阶节的并联型结构实现之。

（注：

级联型和并联型各画一种可能的结构即可）。

解：

 y（n） = x（n） +

1

3

x（n - 1） -

3

4

y（n - 1） -

1

8

y（n - 2）

H （z） =

⎛

⎝

3

1 -1 ⎫⎛

4 ⎭⎝

z

2 ⎭

z ⎪

级联型

x（n）

y（n）

-

1

4

z -1 1

3

-

1

2

z -1

或

x（n）

y（n）

-

1

2

z -1 1

3

-

1

4

z -1

1

2

并联型 H （z） =

1 +

3

4

z

+

1 +

3

2

z

1

3

x（