最新试题库含答案常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案0.docx
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常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
：
篇一：
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
习题1-1
1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解:
（１）y?
c2x1e?
c2e?
2x,y?
?
?
4y?
0.证
明
：
?
y?
cx1e2?
c?
2x2e,
则
y?
=
2c2x1e2x?
2c2e?
y?
?
?
4cx1e2?
4cx2e?
2,y?
?
?
4y?
0.∴y?
sinx
x
xy?
?
y?
cosx．证明：
∵
y?
sinx
y?
?
xcosx?
sinxx
则
x2
xy?
?
y?
xcosx?
sinxx?
sinx
x
?
cosx
（３）y?
x（?
exx
dx?
c）,xy?
?
y?
xex
．
证明：
∵y?
x（?
exxdx?
c）,则y?
?
?
exex
x?
c?
x
x,exex∴xy?
?
y?
x?
x?
c?
x
xx（?
ex
?
x
?
c）?
xex?
?
（x?
2）（４）?
?
4,?
?
?
x?
c1
y?
?
?
0,cy
?
1?
x?
?
c2,
?
?
（x?
2）
?
4
c2?
x?
?
?
证明
：
（1）当
?
?
?
x?
c1
时2
y=?
（x?
）1
4
y=?
x?
2
其他情况类似.
２．求下列初值问题的解：
（１）y?
?
?
?
x,y（0）?
a0,y?
（0）?
a1,y?
?
（0）?
a2．
解：
∵y?
?
?
?
x,∴y?
?
?
12
x2
?
c1,∵y?
?
（0）?
a2，∴c1?
a2，∴y?
?
16
x3
?
a2x?
c2,∵y?
（0）?
a1,∴c2?
a1，（２），
∴y?
124x4?
1
2
a2x2?
a1x?
c，∵y（0）?
a0,满足初值问题的解为：
y?
141
24x?
2
a22x?
a1x?
a0．dy
dx
?
f（x）,y（0）?
0,（这里f（x）是一个已知的连续函数）解：
∵
dy
dx
?
f（x）,即dy?
f（x）dx,∴x
x
?
dy?
?
f（t）dt?
c,
x
∴y（x）?
y（0）?
?
f（t）dt?
c,∵y（0）?
0,∴
c?
00
x
∴满足初值问题的解为：
y（x）?
?
f（t）dt.
（３）
dR
dt
?
?
aR,R（0）?
1,解：
①若R?
0,则∵
dR
R
?
?
adt，两边积分得：
lnR?
?
at?
c∵R（0）?
1∴c?
1
∴满足初值问题的解为：
R?
e
?
at
（４）
dy
dx
?
1?
y2，y（x0）?
y0，解：
∵
dydx?
1?
y2，∴dy1?
y
2?
dx，两边积分得：
arctgy?
x?
c.
∵y（x0）?
y0，∴c?
arctgy0?
x0.
∴满足初值问题的解为：
y?
tg（x?
arctgy0?
x0）.
（１）函数y?
?
（x,c1,c2,
cn）是微分方程F（x,y,y?
y（n））?
0
的通解，其中
c1,c2,cn是独立的任意常数，
（２）存在一组常数（1,2,
cn）?
Rn和空间中的点
0（0,0,0
,y
（n?
1）0
）
（３）满足
３．假设
?
?
0?
?
（0,1,,cn）?
?
?
0?
（0,
1,,cn）?
?
?
x
?
?
（n?
1）?
（n?
1）?
0?
?
?
?
xn?
1
（0,1,,cn）
试证明：
存在点0的某一邻域U，使得对任意一点
M0（x?
（n?
1）0,y0,y0,y0）,
可确定一组数ci?
ci（M0）,
i?
1,2,
n，使得
y?
?
（x,c1（M0）,c2（M0）,
cn（M0））
是初值问题
?
?
?
y（x,y?
（x,y
（n?
1）
（x1）0）?
y00）?
y0,0）?
y（n?
0?
?
F（x,y,y?
,y
（n?
1）
）?
0的解．证明：
因为y?
?
（x,c1,c2,,cn）是微分方程F（x,y,y?
y（n））?
0的
通解，
所以初值问题
?
?
?
y（x（n?
1）
0）?
y0,y?
（x0）?
y0,,y
（x（n?
1）0）?
y0?
?
F（x,y,y?
,y
（n?
1）
）?
0的解应具有形式y?
?
（x,c?
?
1,c2,
c?
，其中（c?
?
n）1,c2,,c?
n）应
满足：
?
?
y0?
?
（x0,c?
1,,c?
n）
?
y?
?
?
?
（x,c?
1
,c?
?
0?
?
x0n
）
，（*）?
?
（n?
1）?
（n?
1）?
?
y0?
?
?
xn?
1
（
x0,c?
1,,c?
n）如何确定（c?
1,c?
2,
c?
n）呢？
由条件（２）及隐函数定理知，存在点0的某一邻域U，使得
对任意一点M?
1）0（x0,y0,y?
0
,y
（n0
）可确定一组数
c?
?
i?
ci（M0）,i?
1,2,
n，使得
（*）成立．得证．
4.求出：
（１）曲线族y?
cx?
x2
所满足的微分方程；
解：
y?
cx?
x2，y?
?
c?
2x，xy?
?
cx?
2x2
，
则有：
xy?
?
x2
?
y.
（２）曲线族y?
c1ex?
cx2xe所满足的微分方程；
xx解：
由y?
c?
?
y?
?
c1e?
cx
2e?
c1
xe1ex?
c2xex?
?
?
?
y?
?
?
cxxx
1e?
2c2e?
c1xe
联立消去c1,c2得：
y?
?
?
2y?
?
y?
0.
（3）平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；
解：
平面上以原点为中心的圆的方程为x2?
y2?
r2（r?
0）将视y为x的函数，对x求导得：
2x?
2yy?
?
0
平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?
yy?
?
0．
（4）平面上一切圆所满足的微分方程．
解：
平面上圆的方程为：
（x?
a）2?
（y?
b）2?
r2（r?
0）,将y视为x的函数，对x求导得：
?
?
2（x?
a）?
2（y?
b）y?
?
0
?
2?
2?
2（y?
b）y?
?
?
2?
y?
?
0联立消去a,b得，?
?
?
2（y?
b）y?
?
?
?
4y?
?
?
0
[1?
（y?
）2]y?
?
?
?
3y?
（y?
?
）2?
0．
习题1-2
１．
作出如下方程的线素场：
（１）y?
?
xyxy
（２）y?
?
（y?
1）2
（３）y?
?
x2?
y2
2.利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：
（１）y?
?
1?
xy
篇二：
常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案
习题２-１
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：
１．（3x2?
1）dx?
（2x?
1）dy?
0
解：
P（x,y）?
3x2?
1，Q（x,y）?
2x?
1，
则?
P?
y?
0，?
Q?
x?
2，所以?
P?
Q
?
y?
?
x
即原方程不是恰当方程．
２．（x?
2y）dx?
（2x?
y）dy?
0
解：
P（x,y）?
x?
2y,Q（x,y）?
2x?
y,
则?
P?
y?
2,?
Q?
x?
2,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
，即原方程为恰当方程则xdx?
（2ydx?
2xdy）?
ydy?
0,
两边积分得：
x222xy?
y2
?
2
?
C.3．（ax?
by）dx?
（bx?
cy）dy?
0（a,b和c为常数）．解：
P（x,y）?
ax?
by,Q（x,y）?
bx?
cy,
则
?
P?
y?
b,?
Q?
x?
b,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
，即原方程为恰当方程则axdx?
bydx?
bxdy?
cydy?
0,
ax2cy2
两边积分得：
2?
bxy?
2
?
C.4．（ax?
by）dx?
（bx?
cy）dy?
0
（b?
0）
解：
P（x,y）?
ax?
by,Q（x,y）?
bx?
cy,
则
?
P?
Q?
y?
?
b,?
x?
b,因为b?
0,所以?
P?
Q?
y?
?
x
，即原方程不为恰当方程
５．（t2?
1）cosudu?
2tsinudt?
0
解：
P（t,u）?
（t2
?
1）cosu,Q（t,u）?
2tsinu
则
?
P?
t?
2tcosu,?
Q?
x?
2tcosu,所以?
P?
y?
?
Q
?
x
，即原方程为恰当方程
则（t2
cosudu?
2tsinudt）?
cosudu?
0,
两边积分得：
（t2?
1）sinu?
C.６．（yex?
2ex?
y2）dx?
（ex?
2xy）dy?
0
解：
P（x,y?
yex?
2ex?
y2,Q（x,y）?
ex?
2xy，
则
?
P?
y?
ex?
2y,?
Q?
x?
ex?
2y,所以?
P?
y?
?
Q
?
x
，即原方程为恰当方程
则2exdx?
[（yex?
y2）dx?
（ex?
2xy）dy]?
0,两边积分得：
（2?
y）ex?
xy2?
C.
７．（
y
x
?
x2）dx?
（lnx?
2y）dy?
0解：
P（x,y）?
yx
?
x2
Q（x,y）?
lnx?
2y,
则
?
P1?
Q?
y?
x,?
x?
1x,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
，即原方程为恰当方程
则（yx
dx?
lnxdy）?
x2
dx?
2ydy?
0
两边积分得：
x3
3
?
ylnx?
y2?
C.８．（ax2?
by2）dx?
cxydy?
0（a,b和c为常数）
解：
P（x,y）?
ax2?
by2,
Q（x,y）?
cxy,
则
?
P?
Q?
y?
2by,?
x?
cy,所以当?
P?
Q
?
y?
?
x
，即方程为恰当方程
则ax2dx?
（by2dx?
cxydy）?
0
两边积分得：
ax3
?
bxy23
?
C.而当2b?
c时原方程不是恰当方程．
９．2s?
1s?
t?
s2
dst
2dt?
0解：
P（t,s）?
2s?
1t）?
s?
s2
Q（t,st
2,则?
P?
t?
1?
2s?
Q1?
2s?
P?
Qt2,?
s?
t2,所以?
y?
?
x
，方程,
s?
s2
两边积分得：
t
?
C．2b?
c时，原即原方程为恰当
10．xf（x2?
y2）dx?
yf（x2?
y2）dy?
0,其中f（?
）是连续的可微函数．
解：
P（x,y）?
xf（x2?
y2）,Q（x,y）?
yf（x2?
y2）,
则?
P?
Q?
y?
2xyf?
?
x?
2xyf?
所以?
P?
y?
?
Q
?
x
，即原方程为恰当方程,
两边积分得：
?
f（x
2
?
y2
）dx?
C,
即原方程的解为F（x2?
y2）?
C（其中F为f的原积分）．
习题２-2
.1.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:
：
dyx2
（１）dx?
y
解：
原方程即为：
ydy?
x2dx两边积分得：
3y2
?
2x3
?
C,
y?
0．
dyx2
（２）dx?
y（1?
x3
）
解：
原方程即为：
ydy?
x2
1?
x
3
dx
两边积分得：
3y2?
2ln?
x3
?
C,
y?
0,x?
?
1．
（３）
dy
dx
?
y2sinx?
0解：
当y?
0时
原方程为：
dy
y2
?
sinxdx?
0两边积分得：
1?
（c?
cosx）y?
0．
又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为
1?
（c?
cosx）y?
0．
（４）dy
dx
?
1?
x?
y2?
xy2；解：
原方程即为：
dy
1?
y
2
?
（1?
x）dx两边积分得：
arctgy?
x?
x2
2?
c，即y?
tg（x?
x2
2
?
c）．（５）
dy
dx
?
（cosxcos2y）2解：
①当cos2y?
0时
原方程即为：
dy（cos2y）
2
?
（cosx）2
dx两边积分得：
2tg2y?
2x?
2sin2x?
c．②cos2y=0，即y?
k?
2?
?
4
也是方程的解.（６）x
dy
dx
?
?
y2解：
①当y?
?
1时原方程即为：
dydx?
y2
?
x
两边积分得：
arcsiny?
lnx?
c．②y?
?
1也是方程的解.
dyx?
e?
x
（７）．dx?
y?
ey
解．原方程即
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