高三高考数学知识回扣.docx

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高三高考数学知识回扣

高三高考数学知识回扣——函数与导数

2．二次函数：

（1）三种形式：

一般式（轴，顶点？

）

顶点式：

；两点式：

（2）区间最值：

配方后一看开口方向，二讨论对称轴与区间的相对位置关系；

如：

若函数的定义域、值域都是闭区间，则2．

（3）实根分布：

区间端点函数值符号，先画图再研究、轴与区间关系

4．耐克函数：

是奇函数，时，在区间上为增函数；时，在上递减，在区间上递增．

例：

当时，求函数的最值？

（当等号能取到时，利用不等式求解；等号取不到时，利用单调性）

5．函数单调性的证明方法：

①定义法，②导数法

◆复合函数单调性的判断：

同增异减．例：

函数的单调增区间为．

函数单调性的运用：

①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围；

◆注意函数单调性的几种不同的表述形式如：

设那么：

在上是增函数；

在上是减函数．

如：

⑴若奇函数是上的减函数，若，求的取值范围．答：

⑵已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是．答：

定义域优先的原则

特别注意边界

◆研究函数的性质注意在定义域内进行

如：

已知在上是减函数，则的范围：

．

◆导数与函数的单调性的关系：

（一）与为增函数的关系：

为增函数，但反之不一定．如函数在上单调递增，是为增函数的充分不必要条件．

（二）时，是为增函数的充要条件

（三）与为增函数的关系：

为增函数，但反之不一定，因为即为或.当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性.是为增函数的必要不充分条件．

6．函数奇偶性：

是偶函数则；是奇函数；定义域含零的奇函数过原点即；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要不充分条件．

7．函数的周期性：

如：

若定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有个根．（答：

5）

（2）由周期函数的定义：

“函数满足，则是周期为的周期函数”得：

①函数满足，则是周期为2的周期函数；

②若恒成立，则；

③若恒成立，则．

8.常见的图象变换

（1）的图象是把的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的．

如：

若，则的最小值为．（答：

2）

（2）函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；

（3）函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的．

如：

函数是偶函数，则的对称轴方程是．（答：

）

（4）函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的．

9.函数图像的对称性

（1）满足的函数图象关于直线对称．

如：

若二次函数满足且方程有等根，则＝．

（7）的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到．如：

（1）作出函数及的图象；

（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于对称．（答：

轴）

11．题型方法总结：

Ⅲ求定义域：

使函数解析式有意义（如：

分母?

偶次根式被开方数？

对数真数？

底数？

零指数幂的底数？

）实际问题有意义；若定义域为，复合函数定义域由解出；若定义域为，则定义域相当于时，的值域．

如：

；若函数定义域为，则的定义域为．（答：

）

Ⅳ求值域：

配方法：

如：

求函数的值域．（答：

）

反解法：

如．（答：

）

换元法（三角换元，代数换元；注意新元范围）

◆三角换元的应用，如：

已知，可设；已知，可设；已知，可设；

三角有界法：

如：

求的值域．（答：

）

不等式法：

如：

设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．

单调性法：

函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．（答：

）

如：

求的值域为．（答：

）

数形结合：

根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域．

如：

已知点P（）在圆上，求及的取值范围．（答：

）．

导数法；分离参数法：

▲注意把某区间内任意两函数值差的范围转化为这个区间内最大值和最小值差的范围；

▲求二元函数的最值问题时你注意到隐含条件了吗？

如：

已知，求的取值范围．（由于得．从而当时有最小值1．的取值范围是．）

Ⅴ解应用题：

审题（理顺数量关系）、建模、设元、求模、验证、答．

Ⅵ不等式恒成立问题：

（1）当时，①直接转化为求函数的最值问题，恒成立；恒成立．②分离参数法；③数形结合等；

（2）当时，数形结合：

如：

对一切恒成立，求的范围．（答：

）

Ⅶ不等式有解问题：

有解；有解．

Ⅷ方程有解问题：

方程有解（为的值域）．

12．导数几何物理意义：

表示曲线在点处切线的斜率；表示时刻即时速度；表示时刻加速度．

13．求导公式：

（1）（C为常数）；

（2）（）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；

设切点是处理这类问题的基本方法

（9）；（10）；（11）；（12）．

14．导数应用：

（1）过某点的切线不一定只有一条．特别注意函数图像在某点处的切线与过某点的切线的区别．

如：

已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程．

答：

（）．

（2）研究单调性的步骤：

分析定义域；求导数；解不等式得单调增区间；解不等式得单调减区间；注意的点；

如：

设函数在上是单调函数，则实数的取值范围．（答：

）

（3）求值域、最值的步骤：

①求导数；②求的根；③检验在根左右两侧符号，若左正右负，则在根处取极大值；若左负右正，则在根处取极小值；④把极值与区间端点函数值比较，最大的为最大值，最小的为最小值．

★特别提醒：

（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是，是为极值点的必要不充分条件；（使出现偶次根的点为拐点）

（2）给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

如：

函数在处有极小值10，则的值为．（答：

-7）

▲注意借助导函数图像和原函数图像解决有关导数问题．

高三高考数学知识回扣——数列

1．数列的概念：

数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

如：

①已知，则在数列的最大项为．（答：

）

②已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围．（答：

）

2．等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：

定义法或．

如:

设是等差数列，求证：

以bn=为通项公式的数列为等差数列．

（2）等差数列的通项：

或．

如:

首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______．（答：

）

（3）等差数列的前项和：

，．

如：

①数列中，，，前n项和，则＝，＝．

（答：

，）

②已知数列的前n项和，求数列的前项和．

（答：

）

（4）等差中项：

若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且.

★特别提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…公差为2）

4．等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：

定义法，其中或．

如:

数列中，=4+1（）且=1，若，求证：

数列｛｝是等比数列．

（2）等比数列的通项：

或．

如：

等比数列中，，，前项和＝126，求和公比．（答：

，或2）

（3）等比数列的前n和：

当时，；当时，．

如:

等比数列中，＝2，S99=77，求．（答：

44）

★特别提醒：

等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解．

（4）等比中项：

若成等比数列，那么A叫做与的等比中项．

★特别提醒：

不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个．

如:

已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______．（答：

A＞B）

★特别提醒：

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为．

如:

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数．（答：

15，,9，3,1或0,4，8,16）

6．数列的通项的求法：

⑴公式法：

①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵已知（即）求，用作差法：

.

如:

数列满足，求（答：

）

⑶已知求，用作商法：

.

如:

数列中，对所有的都有，则______（答：

）

⑷若求用累加法：

.

如:

已知数列满足，，则=_____.（答：

）

⑸已知求，用累乘法：

.

如:

已知数列中，，前项和，若，求（答：

）

⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求;形如的递推数列都可以用倒数法求通项.

如：

①已知，求（答：

）；②已知，求（答：

）；③已知，求（答：

）；④已知数列满足=1，，求（答：

）.

运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论

★特别提醒：

（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？

（，当时，）；

（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解.

如：

数列满足，求（答：

）

7．数列求和的常用方法：

（1）公式法：

①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：

，，.

（2）分组求和法：

在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如:

求（答：

）

（3）倒序相加法：

若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.

如:

已知，则＝______（答：

）

（4）错位相减法：

如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.

如:

设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：

①，；②）；

（5）裂项相消法：

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①；②；

⑥.

（6）通项转换法：

先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.

如:

求和：

（答：

）

高三高考数学知识回扣——三角函数

5.弧长公式：

，扇形面积公式：

，1弧度（1rad）.

6.任意角的三角函数的定义：

设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.

如：

已知角的终边经过点P（5，－12），则的值为.（答：

）

7.特殊角的三角函数值：

角度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

弧度

sin

cos

tan

8．同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：

（2）商数关系：

9．三角函数诱导公式（）的本质是：

奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.