新课标1卷文科数学高考真题及答案0418092827.docx
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新课标1卷文科数学高考真题及答案0418092827
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
一、选择题：
每小题5分,共60分
1、已知集合A{xx3n2,nN},B{6,8,10,12,14}，则集合AB中的元素个数为
（A）5（B）4（C）3（D）2
2、已知点A（0,1）,B（3,2），向量AC（4,3），则向量BC
（A）（7,4）（B）（7,4）（C）（1,4）（D）（1,4）
3、已知复数z满足（z1）i1i，则z（）
（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从
1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
（A）
3
10
（B）
1
5
（C）
1
10
（D）
1
20
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为
1
2
，E的右焦点与抛物线
2
C:
y8x的焦点重合，
A,B是C的准线与E的两个交点，则AB
（A）3（B）6（C）9（D）12
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？
”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
”
已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约
有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
7、已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S84S4，则a10（）
（A）
17
2
（B）
19
2
（C）10（D）12
8、函数f（x）cos（x）的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
（A）
13
（k,k）,kZ
44
（B）（21,23）,
kkkZ（C）
44
13
（k,k）,kZ（D）
44
13
（2k,2k）,kZ
44
9、执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n（）
（A）5（B）6（C）7（D）8
10、已知函数
f（x）
x1x
22,1
log（x1）,x1
2
，
且f（a）3，则f（6a）
（A）
7
4
（B）
5
4
（C）
3
4
（D）
1
4
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几
何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何
体的表面积为1620，则r（）
（A）1
（B）2
（C）4
（D）8
xa
12、设函数yf（x）的图像与y2的图像关于直线yx对称，且
ff，则a（）（A）1（B）1（C）2（D）4
（2）（4）1
二、填空题：
本大题共4小题,每小题5分
13、数列an中
a12,an12an,Sn为an的前n项和，若126
S，则n.
n
14.
31
fxaxx的图像在点1,f1的处的切线过点2,7，则a.
xy20
x2y10
15.若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为．
2xy20
16.已知F是双曲线
2
y
2
C:
x1的右焦点，P是C左支上一点，A0,66，当APF周
8
长最小时，该三角形的面积为．
三、解答题
17.（本小题满分12分）已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，
2
sinB2sinAsinC.
（I）若ab，求cosB;（II）若B90，且a2,求ABC的面积.
18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，
（I）证明：
平面AEC平面BED；
（II）若ABC120，AEEC,三棱锥EACD的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积.
19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x
（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的宣传
费
x和年销售量yii1,2,,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
i
（I）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，
建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx，
根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
20.
（本小题满分12分）已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C：
22
x2y31
交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）若OMON12，其中O为坐标原点，求MN.
21.（本小题满分12分）设函数
2xln
fxeax.
（I）讨论fx的导函数fx的零点的个数；（II）证明：
当a0时
fx2aaln
2
a
.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.
（I）若D为AC中点，证明：
DE是O切线；
（II）若OA3CE，求ACB的大小.
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线
C1:
x2，圆
22
C2:
x1y21，以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求
C1,C2的极坐标方程.
（II）若直线C3的极坐标方程为
π
4
R，设C2,C3的交点为M,N求C2MN的面积.
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数fxx12xa,a0.
（I）当a1时求不等式fx1的解集；
（II）若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
一、DACCBBB（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C
二、填空题（13）6（14）1（15）4（16）126
三、17、解：
（I）由题设及正弦定理可得
2
b=2ac.
又a=b，可得cosB=
222
acb
2ac
=
1
4
⋯⋯6分
（II）由（I）知
2o
b=2ac.因为B=90，由勾股定理得
222
ac=b.
故
22
ac=2ac，的c=a=2.所以△ABC的面积为1.⋯⋯12分
18、解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.⋯⋯5分
（II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120o，可得
AG=GC=
3
2
x
x，GB=GD=
2
.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=
3
2
x.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=2
2
x.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积
V=
EACD
1
3
×
1
2
AC·GD·BE=
66
3
x
243
故x=2⋯⋯9分
从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.⋯⋯12分
19、解：
（I）由散点图可以判断，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方
程式类型.（II）令wx，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
8
（ww）（yy）
ii
108.8
i1
d=68
8
1.6
2
（ww）
i
i1
cydw563686.8100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w,因此y关于x的回归方程为
y100.668x
（Ⅲ）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值y100.66849=576.6，
年利润z的预报值z=576.60.24966.32⋯⋯9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
z=0.2（100.6+68x）-x=-x13.6x20.12.
所以当
25.
x=6.8，即x=46.24时，z取得最大值.
2
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.⋯⋯12分
20、解：
（I）由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点，所以
2k31
1
2
k
1
.
解得
4747
k.
33
4747
所以k的取值范围为（,）
33
.⋯⋯5分
（II）设
Mx1,y1,N（x2,y2）.将ykx1代入方程
22
（x2）（y3）1，整理得
22
4（1k）7
（1k）x4（1k）x70.所以1212
xx,xx
22
1k1k
.
OMONcxyy
1212
2
1kxxkxx1
1212
4k1k
1
2
k
8
.
由题设可得
4k1k
2
1k
=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1.
8
故圆心C在l
上，所以MN2.⋯⋯12分
2
xa
21、解：
（I）fx的定义域为0,,fx2e（x0）
x
.
当a≤0时，fx0，fx没有零点；
2x
当a0时，因为e单调递增，
a
x
单调递减，所以fx在0,单调递增，又fa0，
当b满足0＜b＜
a
4
且b＜
1
4
时，f（b）0，故当a＜0时fx存在唯一零点.⋯⋯6分
（II）由（I），可设fx在0,的唯一零点为x，当x0，x0时，fx＜0；
0
当
xx，时，fx＞0.
0
故fx在0，单调递减，在x0，单调递增，所以xx0时，
fx取得最小值，最小值为
fx.
0
2
xa
由于2e00
x
0
，所以
a22
fx2axa1n2aa1n
00
2xaa
0
.
故当a0时，
fx2aa1n
2
a
.⋯⋯12分
23、解：
（I）因为xcos,ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，
C的极坐标方程为
2
22cos4sin40.⋯⋯5分
（II）将
4
代入
22cos4sin40，得23240，解得
122,22.故122，即MN2
由于
1
C的半径为1，所以C2MN的面积为
2
2
.⋯⋯10分
24、解：
（I）当a1时，fx1化为x12x11＞0.
当x1时，不等式化为x4＞0，无解；
当1＜x＜1时，不等式化为3x2＞0，解得21
＜＜；
x3
当x1，不等式化为-x+2＞0，解得1≤x＜2.
所以fx1的解集为22
︱＜＜.⋯⋯5分xx
3
x12a,x＜1
（II）由题设可得，fx3x12a,1xa,
x12a,xa.
＜
所以函数fx的图像与x轴围成的三角形的三个丁点分别为
2a12
A,0,B2a1,0,Ca,a1,△ABC的面积为
33
2
a1.
由题设得
2
3
2
a＞6，故a＞2.
1
所以a的取值范围为2，.⋯⋯10分
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