新课标1卷文科数学高考真题及答案0418092827.docx

1、新课标1卷文科数学高考真题及答案04180928272015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文一、选择题：每小题 5 分,共 60 分1、已知集合 A x x 3n 2,n N, B 6,8,10,12,14 ，则集合 A B中的元素个数为（A） 5 （B）4 （C）3 （D） 22、已知点 A(0,1), B (3,2) ，向量 AC ( 4, 3) ，则向量 BC（A） ( 7, 4) （B） (7, 4) （C）( 1,4) （D） (1,4)3、已知复数 z 满足 (z 1)i 1 i ，则 z （ ）（A） 2 i （B） 2 i （C） 2 i （D）2 i4、如

2、果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A）310（B）15（C）110（D）1205、已知椭圆 E 的中心为坐标原点， 离心率为12，E的右焦点与抛物线2C : y 8x 的焦点重合，A,B 是 C的准线与 E的两个交点，则 AB（A） 3 （B） 6 （C）9 （D）126、九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺， 高五尺，问”积及为米几何？ ”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一

3、） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）（A）14 斛 （B）22 斛 （C）36斛 （D）66斛7、已知 an 是公差为 1 的等差数列， Sn 为an 的前 n项和，若 S8 4S4 ，则 a10 （ ）（A）172（B）192（C）10 （D）128、函数 f (x) cos( x )的部分图像如图所示，则 f (x) 的单调递减区间为（ ）（A） 1 3(k ,k ), k Z 4 4（B）(2 1 ,2 3),k k k Z （C）4 41 3(k ,

4、 k ), k Z （D）4 41 3(2k ,2k ), k Z4 49、执行右面的程序框图， 如果输入的 t 0.01，则输出的 n （ ）（A） 5 （B） 6 （C）7 （D）810、已知函数f (x)x 1 x2 2, 1log (x 1), x 12，且 f (a) 3，则 f (6 a)（A）74（B）54（C）34（D）1411、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体， 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示， 若该几何体的表面积为 16 20 ，则 r ( )（A） 1（B） 2（C） 4（D）8x a12、设函数 y f (x) 的图像与 y 2

5、 的图像关于直线 y x 对称，且f f ，则 a ( )（A） 1 （B）1 （C） 2 （D） 4( 2) ( 4) 1二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分13、数列 an 中a1 2, an 1 2an ,Sn 为 an 的前 n 项和，若 126S ，则 n .n14.3 1f x ax x 的图像在点 1, f 1 的处的切线过点 2,7 ，则 a .x y 2 0x 2y 1 015. 若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 2x y 2 016.已知 F是双曲线2y2C : x 1的右焦点， P 是 C左支上一点， A 0,6 6 ，当 APF 周8长

6、最小时，该三角形的面积为 三、解答题17.（ 本小题满分 12 分）已知 a,b,c 分别是 ABC内角 A,B,C 的对边，2sin B 2sin A sin C .（I）若 a b，求 cos B; （II）若 B 90 ，且 a 2, 求 ABC的面积 .18. （本小题满分 12 分） 如图四边形 ABCD为菱形， G 为 AC与 BD 交点， BE 平面ABCD ，（I）证明：平面 AEC 平面 BED ；（II）若 ABC 120 ， AE EC, 三棱锥 E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 .19. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了

7、解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位： t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费x 和年销售量 yi i 1,2, ,8 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 .i（I）根据散点图判断， y a bx 与 y c d x ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（ II）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（ III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z 0.2 y x ，根据（ II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的

8、预报值时多少？（ii）当年宣传费 x为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分 12 分）已知过点 A 1,0 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：2 2x 2 y 3 1交于 M，N 两点 .（I）求 k 的取值范围； （II）若OM ON 12，其中 O 为坐标原点， 求 MN .21. （本小题满分 12 分）设函数2x lnf x e a x .（I）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；（ II）证明：当 a 0时f x 2a aln2a.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号22. （本小题满分 10 分

9、）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB 是 O 直径， AC是 O 切线， BC交 O 与点 E.（I）若 D 为 AC中点，证明： DE是 O 切线；（II）若 OA 3CE ，求 ACB 的大小 .23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线C1 : x 2，圆2 2C2 : x 1 y 2 1，以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 . （I）求C1,C2 的极坐标方程 .（II）若直线 C3 的极坐标方程为4R ，设C2,C3的交点为 M , N 求 C2 MN 的面积 .24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲

10、已知函数 f x x 1 2 x a ,a 0 .（I）当 a 1 时求不等式 f x 1 的解集；（II）若 f x 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 .一、 D A C C B B B （8）D （ 9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（ 13）6 （14）1 （15）4 （ 16） 12 6三、 17、解：（ I）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又 a=b，可得 cosB=2 2 2a c b2ac=14 6 分（II）由（ I）知2 ob =2ac. 因为 B=90 ，由勾股定理得2 2 2a c =b .故2 2a c =2ac ，的

11、 c=a= 2 . 所以 ABC的面积为 1. 12 分18、解：（I ）因为四边形 ABCD为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD,所以 ACBE,故 AC平面 BED.又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC平面 BED. 5 分（II）设 AB=x，在菱形 ABCD中，又 ABC=120o ，可得AG=GC=32xx ，GB=GD=2. 因为 AEEC,所以在 RtAEC中，可的 EG=32x .由 BE平面 ABCD,知 EBG为直角三角形，可得 BE= 22x .由已知得，三棱锥E-ACD的体积V =E ACD1312AC GD BE=6 63x24 3故 x=2 9 分从

12、而可得 AE=EC=ED= 6 .所以 EAC的面积为 3， EAD的面积与ECD的面积均为 5 .故三棱锥E-ACD的侧面积为 3+2 5 . 12 分19、解：（I）由散点图可以判断， y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程式类型.（II）令 w x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程式 .由于8(w w)( y y)i i108.8i 1d= 6881.62(w w)ii 1, c y d w 563 68 6.8 100.6 ，所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6 68w ,因此 y 关于 x的回归方程为y 100.6 68 x（）（i）由（

13、II）知，当 x=49 时，年销售量y 的预报值 y 100.6 68 49=576.6 ，年利润 z 的预报值 z=576.6 0.2 49 66.32 9 分（ii）根据（ II）的结果知，年利润 z 的预报值z=0.2(100.6+68 x )-x =-x 13.6 x 20.12.所以当25.x =6.8 ，即 x=46.24 时， z 取得最大值 .2故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大 . 12 分20、解：（I）由题设，可知直线l 的方程为y kx 1.因为l 与 C交于两点，所以2k 3 112k1.解得4 7 4 7 k .3 3 4 7 4 7所以 k 的取值

14、范围为( , ) 3 3. 5 分（II）设M x1, y1 , N(x2 , y2) .将 y kx 1代入方程2 2(x 2) (y 3) 1，整理得2 24(1 k) 7(1 k ) x 4(1 k)x 7 0. 所以 1 2 1 2x x , x x2 21 k 1 k.OM ON c x y y1 2 1 221 k x x k x x 11 2 1 24k 1 k12k8.由题设可得4k 1 k21 k=12，解得 k=1，所以 l的方程是 y=x+1.8故圆心C 在 l上，所以 MN 2. 12 分2x a21、解：（I） f x 的定义域为0, , f x 2e (x 0)x.

15、当 a 0 时， f x 0，f x 没有零点；2x当 a 0时，因为e 单调递增，ax单调递减，所以 f x 在 0, 单调递增，又f a 0，当 b 满足0ba4且 b14时， f (b) 0，故当 a0 时 f x 存在唯一零点 . 6 分（II）由（ I），可设 f x 在 0, 的唯一零点为x ，当 x 0，x0 时， f x 0；0当x x， 时， f x 0.0故 f x 在 0， 单调递减，在 x0， 单调递增，所以 x x0 时，f x 取得最小值，最小值为f x .02x a由于 2e 0 0x0，所以a 2 2f x 2ax a1n 2a a1n0 02x a a0.故当

16、 a 0时，f x 2a a1n2a. 12 分23、解：（I）因为x cos , y sin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2 ，C 的极坐标方程为22 2 cos 4 sin 4 0. 5 分（II）将4代入2 2 cos 4 sin 4 0 ，得 2 3 2 4 0 ，解得1 2 2, 2 2 .故 1 2 2，即 MN 2由于1C 的半径为1，所以 C2MN 的面积为22. 10 分24、解：（I）当 a 1时， f x 1化为x 1 2 x 1 10 .当 x 1时，不等式化为x 40，无解；当 1x1时，不等式化为3x 20，解得 2 1 ；x 3当 x 1，不等式化为- x+20，解得 1 x2.所以 f x 1的解集为2 2 . 5 分 x x3x 12a, x 1（II）由题设可得， f x 3x 1 2a, 1 x a,x 1 2a, x a.所以函数 f x 的图像与x轴围成的三角形的三个丁点分别为 2a 1 2A ,0 ,B 2a 1,0 ,C a, a 1 ,ABC的面积为 3 32a 1 .由题设得232a 6，故 a2.1所以 a的取值范围为2， . 10 分