基本习题和答案解析量子力学.docx
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基本习题和答案解析量子力学
量子力学习题
（一）单项选择题
1.能量为100ev的自由电子的DeBroglie波长是
0000
A.1.2A.B.1.5A.C.2.1A.D.2.5A.
2.能量为0.1ev的自由中子的DeBroglie波长是
0000
A.1.3A.B.0.9A.C.0.5A.D.1.8A.
3.能量为0.1ev，质量为1g的质点的DeBroglie波长是
0
A.1.4A.
B.1.9
0
C.1.1710J2A.D.2.0
4.温度T=1k时,
具有动能
0
10J2A.
0
A.
=—kBT（kB
2
为Boltzeman常数）的氦原子的De
Broglie波长是
0
A.8A.B.5.6
5.用Bohr-Sommerfeld
0
A.
0
A.D.12.6
0
A.
A.En二n，.B.
C.10
的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n二0,1,2,…）En=（n：
）；.
2
C.En=（n1）?
■.D.En=2n•.
6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其
00
A.5.2A.B.7.1A.C.8.4
DeBroglie波长是
0
A.
7.钾的脱出功是2ev，当波长为最大能量为
A.0.2510J8J.B.1.25
C.0.251046J.D.1.25
0
A.D.9.4
0
3500A的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的
10」8J.
10J6J.
8.当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为
h
A..B.2.C.
2七2心
9.Compton效应证实了
A.电子具有波动性.B.
C.光具有粒子性.D.
-2'2
走.D.PC.
光具有波动性•电子具有粒子性.
10.Davisson和Germer的实验证实了
A.电子具有波动性.B.光具有波动性.
C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性.
U（x）斗0,0：
X7中运动，设粒子的状态由[°°,xE0,X
11.粒子在一维无限深势阱
J（x）二Csin描写，其归一化常数C为
a
A^r1.B..C.
.a•a■a
12.设t（x）—（x），在x-x，dx范围内找到粒子的几率为
A.（x）.B.、（x）dx.C.2（x）.D.2（x）dx.
.D.
13.设粒子的波函数为
2
A.屮（x,y,z）dxdydz.
'■（x,y,z），在x—x•dx范围内找到粒子的几率为
2
B.屮（x,y,z）dx.
22
C.（'-（x,y,z）dydz）dx.D..dxdydz'-（x,yz）
14.设：
Mx）和：
2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为
22
A.|汕1+对2.
22*
B.|G屮l|+C2屮2+C1C2屮1屮2.
22*
C.k屮1+C2屮2+2GC2屮1屮2.
22****
D.-c^;2+。
心「2cCr.
15.波函数应满足的标准条件是
A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.
C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.
16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是
A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.
B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.
C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.
D.A,B,C.
17.已知波函数
'■；1=u（x）exp^-Et）u（x）exp（-Et）,
2二u,x）exp（—丄E1JU2（x）exp（丄Ezt）,
'■3=5（x）exp（--Et）U2（x）exp（-丄Et）,
4二5（x）exp（--Ed）U2（x）exp（-丄Ezt）.
其中定态波函数是
A.'-2.B.'-；1和匸2.C.'■3.D.'-；3和匸4.
18.若波函数养「（x,t）归一化，则
A.?
（x,t）exp（iR和T「（x,t）exp（-i、J都是归一化的波函数.
B.?
（x,t）exp（iR是归一化的波函数，而弓（x,t）exp（-i、）不是归一化的波函数.
C.?
（x,t）exp（iR不是归一化的波函数，而'汀（x,t）exp（-i、）是归一化的波函数.
D.审（x,t）exp（T）和二「（x,t）exp（-i、）都不是归一化的波函数.（其中二，:
为任意实数）
19.波函数I、二；二cX（c为任意常数），
A.?
1与T「2二c?
1描写粒子的状态不同.
B.匕与；二cX所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:
c.
C.匕与「2二cX所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:
c2.
D.^1与「2二c?
1描写粒子的状态相同.
1i
20.波函数甲（X,t）=Jc（p,t）exp（帀px）dp的傅里叶变换式是
21.量子力学运动方程的建立，需满足一定的条件：
（1）方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数•
（2）方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.（3）方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的.⑷方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.（5）方程中不能含有决定体系状态的具体参量.（6）方程中可以含有决定体系状态的能量.则方程应满足的条件是
A.
（1）、（3）和（6）.B.
（2）、（3）、⑷和（5）.
C.
（1）、（3）、⑷和（5）.D.
（2）、（3）、⑷、（5）和（6）.
22.两个粒子的薛定谔方程是
/--2护厂2--
A.i（S^t）「5,5）
cty2卩
U（r1,r2,t）?
（r1,r2,t）
.■-一一2d2一一
C.上『（sot）i?
（「1,汐）
tidi
23.几率流密度矢量的表达式为
1衣**
A.J（?
—泸？
）.
2#
-**
B.J=\-）.
2卜
-Er**„
C.J1⑴宇JW）.
2A
-h
D.J=不（普京普*_空*帝普）.
24.质量流密度矢量的表达式为-h
A.J=_（?
*—*）.
2
-i力**
B.JWT）.
2
C.J=.
2-h
D.JW'J*一吋*〒：
•）.
2
25.电流密度矢量的表达式为
-a办**
A.J（中\审一？
I?
）
2『
—ia舟**
B.Jcu.yr）
2卩
-ia办**
C.JC八？
「V）
2卩
~a办**
D.J⑴宇-■?
^：
-）
2『
26.下列哪种论述不是定态的特点
A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化
B.几率流密度矢量不随时间变化.
C.任何力学量的平均值都不随时间变化.
D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量
其位置几率分布最大处是
态，
A.
32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的
x=a/2,B.x=a,C.x=0,D.x=a/4.
A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.
B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的.
33.线性谐振子的能级为
A.（n1/2厂.,（n=123,...）.
B.（n1）',（n0,12,....）.
C.（n1/2厂,（n=0,12,...）.
D.（n1）'■,（n12,3,...）.
1
34.线性谐振子的第一激发态的波函数为’-：
（x）二Njexp（_—〉2x2）2〉x,其位置几
2
率分布最大处为
35.线性谐振子的
A.能量是量子化的，而动量是连续变化的
B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.
能量连续变化而动量是量子化的
36.线性谐振子的能量本征方程是
B.
[密_丄丄.・2]'-.
2#dx2
C.[
37.氢原子的能级为
A.
■2
2啼
.B.
2'2n2
.C.
2啼
.D.
22n2-
38.在极坐标系下，氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为
222
A.Rnl（r）r.B.RN（r）r.
222
C.Rnl（r）rdr.D.R”（r）rdr.
39.在极坐标系下，氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为
A.Yim（吓）.B.Ylm（吓）|2.
C.Yim（6®）d0.D.|Ym（6®）dO.
40.波函数.和••是平方可积函数，则力学量算符F为厄密算符的定义是
A..'-*Fd二.*F‘-*d.
B..J*Fd二.（F）*'d.
C.（F'「）*d.二*Fd..
D.F*'-*d.二F*d..
41.F和G是厄密算符,则
A.FG必为厄密算符.B.FG-GF必为厄密算符.
C.i（FGGF）必为厄密算符.
D.i（FG-GF）必为厄密算符.
42.已知算符x二x和Px=-「厶，贝U
x
A.x和px都是厄密算符.B.xpx必是厄密算符.
C.xpxpxx必是厄密算符.
D.xpx-PxX必是厄密算符.
43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为
A.1.B.2.C.3.D.4.
44.二维自由粒子波函数的归一化常数为（归到：
函数）
A.1/（2T）"2.B.1/（2二一）.
C.1/"）3/2.D.1/（2二一）2
45.
exp（ikr）.
1
.2二
exp（ikr）.
角动量Z分量的归一化本征函数为
A.exp（im）.B.
J2朋
1
C.exp（im）.D.
12兀
46.波函数Ylm（Y：
）=（-1）mNlmP「（cos旳exp（im）
A.是L2的本征函数，不是Lz的本征函数.
B.不是L2的本征函数,是Lz的本征函数.
C.是L2、Lz的共同本征函数.
D.即不是L2的本征函数,也不是Lz的本征函数.
47.若不考虑电子的自旋，氢原子能级n=3的简并度为A.3.B.6.C.9.D.12.
48.氢原子能级的特点是
A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.
B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.
C.能级随量子数的增大而减小.
D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.
49一粒子在中心力场中运动，其能级的简并度为n2,这种性质是
A.库仑场特有的.B.中心力场特有的.
C.奏力场特有的.D.普遍具有的.
50.对于氢原子体系，其径向几率分布函数为％（r）dr二R：
r2dr,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是
A.a0.B.4a°.C.9a°.D.16a°.
51.
设体系处于^冷诙。
拧RM状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为
1J331
C.E3,E2;2>~2・D・E3?
E2；"4?
4・
52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为
A.2,1.B.,1.C.22,1.D.22,1.
53.接51题,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为
54.接51题,该体系的角动量Z分量的平均值为
A.1'.B.一丄一.C.-'.D.--'.
4444
55.接51题,该体系的能量的平均值为
A.
出s4B_31七4C_2汕es4D_17»es4
時「28822562*722
56.体系处于；-Ccoskx状态,则体系的动量取值为
1
A.k,-k.B.k.C.-k.D.-k.
2
57.接上题,体系的动量取值几率分别为
A.1,0.B.1/2,1/2.C.1/4,3/4/.D.1/3,2/3.
58.接56题，体系的动量平均值为
1
A.0.B.k.C.-k.D.-k.
2
59.一振子处于二c}1c^'3态中，则该振子能量取值分别为
1
2
C.3■，-■.D.-■,5■.
2222
60.接上题，该振子的能量取值E1,E3的几率分别为
A.
C1,C3.B.
C12
22・
C1I+C3
C.
C1
C1
C3
C12
C3
2C3
C1,C3.
61.接59题，该振子的能量平均值为
13匕|+5IC』怙B
2「讨.
2一幅.
C.9帕.D.1羽；讣3
22宀对
62.对易关系［Px,f（x）］等于（f（x）为x的任意函数）
A.if'（x）.B.if（x）.C.-if'（x）.D.-if（x）.
63.对易关系［py,exp（iy）］等于
A.exp（iy）.B.iexp（iy）.
C.-'exp（iy）.D.-i'exp（iy）.
64.对易关系［x,px］等于
A.i'.B.-i.C.'.D.
65.对易关系［Lx,y］等于
A.iz.B.z.C.-iz.D.
66.
A.
67.
A.
68.
A.
69.
A.
70.
A.
-z.
71.
A.
72.
A.
73.
A.
74.
对易关系［Ly,z］等于
-ix.B.ix.C.x.D.对易关系［Lz,z］等于
ix.B.iy.C.
对易关系［X,Py］等于
'.B.0.C.i'.D.
对易关系［Py,Pz］等于
0.B.ix.C.ipx.D.对易关系［Lx,Lz］等于
iLy.B.-iLy.C.
对易关系［Lz,Ly］等于
iLx.B.-iLx.C.
对易关系［L2,Lx］等于
Lx.B.iLx.C.
对易关系［L2,Lz］等于
4
Ly.
-x.
0.
Px.
D.
Lx.D.
4
-Lx.
i（Lz
Ly）.
D.
0.
A.
75.
A.
76.
Lz.B.iLz.C.i（L
对易关系［Lx,Py］等于
iLz.B.-iLz.C.
对易关系［Pz,Lx］等于
-iPy.B.iPy.C.
对易关系［Lz,Py］等于
-iPx.B.i'Px.C.
4
Ly）.
D.
0.
-iLy.D.
-「Lx.D.
A.
77.对易式［Ly,x］等于
A.0.B.-iz.C.iz.
78.对易式［Fm,Fn］等于（m,n为任意正整数）
A.Fmn.B.Fm1C.0.D.F.
79.对易式［F,G］等于
D.1.
444444444444
A.FG.B.GF.C.FG一GF.D.FGGF.
80..对易式[F,c]等于（c为任意常数）
A.cF.B.0.C.c.D.I?
.
81.算符F和G的对易关系为[F,G]=ik,则F、
G的测不准关系是
22k2
A.C：
F）（.G）.B.
4
2
22k
C.（F）（：
G）.D.
4
22k2
（F）CG）
4
2*<-2*<-2k（：
F）（G）_—
4
82.已知[x,Px]=r,则x和Px的测不准关系是
22一2（X）C：
p）.
4
2
4ry4Q**
（lx）C：
Px）.
4
A.
C.
83.
A.
B.
C.
D.
（•：
x）2（px）2一2.B.
222
C：
X）C：
Px）一.D.
算符Lx和Ly的对易关系为［Lx,Ly］二「Lz,则Lx、Ly的测不准关系是
兀幵zy?
22
（丄x）（Ly）
22
（：
F）（G）
2
4
2
2l
.
4
■2L^
>一土
4
2l2
-4.
84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是
一2
[
L21
[2
L2J
[2-
L2J
一2
A.
B.
C.
2
2]屮=e屮.
r
2
為-二E'「.
r
2
zeL]'.
r
2
r
W2
85.类氢原子体系的能量是量子化的，其能量表达式为
八》z2es2
A._2^.
c旦
C.2-2.
2n曲
B.
D.
^2z2es4
22n2七2es4
22n2.
86.在一维无限深势阱
u（x）］C二中运动的质量■为的粒子'
其状态
A-TT-TT
屮=-^sin—xcos^x,则在此态中体系能量的可测值为；■aaa
87.接上题,能量可测值Ei、E3出现的几率分别为
A.1/4,3/4.B.3/4,1/4.C.1/2,1/2.D.0,1.
88.接86题,能量的平均值为
444人
89.若一算符F的逆算符存在,则［F,F-］等于
A.1.B.0.C.-1.D.2.
90.如果力学量算符F和G满足对易关系［F,G］=0,则
A.F和G一定存在共同本征函数，且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.
B.F和G一定存在共同本征函数，且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.
C.F和G不一定存在共同本征函数，且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.
D.F和G不一定存在共同本征函数，但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.
91.一维自由粒子的能量本征值
A.可取一切实数值.
B.只能取不为负的一切实数.
C.可取一切实数，但不能等于零.
D.只能取不为正的实数.
92.对易关系式［Px,Pxf（x）］等于
A.-iPx2f'（x）.B.iPx2f'（x）.
C.-iPx2f（x）.D.iPx2f（x）.
93.
定义算符
?
_=?
x-iL?
y,则［L,L」等于
A.
l?
z.B.
44
2Lz.C.-2Lz.
D.
-L?
z.
94.接上题，
则［L,Lz］等于
A.
L.B.
Lz.C.-L.
D.
-Lz
95.
接93题,则［L_,Lz］等于
A.
L_.B.
44
Lz.C.-L_.
D.
4
-Lz
96.氢原子的能量本征函数'■nlm（L,■）=Rnl（「）YmE：
）
A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数，不是角动量Z分量算符的本征函数.
B.只是体系能量算符、角动量Z分量算符的本征函数，不是角动量平方算符的
本征函数.
C.只是体系能量算符的本征函数，不是角动量平方算符、角动量Z分量算符的本征函数.
D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.
97.体系处于匸二CMpY。
态中,则；
A.是体系角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数
B.是体系角动量平方算符的本征函数，不是角动量Z分量算符的本征函数.
C.不是体系角动量平方算符的本征函数，是角动量Z分量算符的本征函数.
D.即不是体系角动量平方算符的本征函数，也不是角动量Z分量算符的本征函数.
98.对易关系式[FG,H]等于
444444444
A.[F,H]GF[G,H].B.[F,H]G
444444444
C.F[G,H].D.[F,H]G-F[G,H].
99.动量为p'的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是
A.、（p-p'）.B.、（pp'）.C.、（p）.D.、（p'）.
100.力学量算符x对应于本征值为x'的本征函数在坐标表象中的表示是
A.、（x_x'）.B.、.（xx'）.C.:
.（x）.D.、（x'）.
101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为■-（x）'-■\（x）2（x）,其中
22
'「（X）、＜2（x）是其能量本征函数,则t（x）在能量表象中的表示是
线性谐振子的能量本征函数
^■'2/2^
^2/2、
靠/2、
5/2、
<2/2
.B.
-42/2
C
J2/2
.D.
-42/2
0
0
0
0
3
1■J
<■）
<0」
<0丿
A.
'■；1（x）在能量表象中的表示是
102.线性谐振子的能量本征函数
a/J同2十忖b/_a2b2
0
a、
©
b
D.
a
0
b
m
「丿
<0.J
C.
A..B.-.C.2.D.0.
105.算符Q只有分立的本征值{Qn},对应的本征函数是{Un（x）},则算符
-h4
F（x,-—）在Q表象中的矩阵元的表示是
AF
mn
i:
x
=Un*（X）F（X,）Um（x）dX.
1ex
*A召
B.Fmn
二Um（X）F（X,——）Un（X）dX.
iex
CF
mn
Ji©*
=Un（X）F（X,）Um（X）dX.
iex
Jiq*
D.Fmn
=Um（X）F（X,）Un（x）dX.
iex
111.幺正矩阵的定义式为
-4^-4^**
A.S=S_.B.S=S.C.S二S：
D.S二S：
不改变算符的本征值，但可改变其本征矢.不改变算符的本征值，也不改变其本征矢.改变算符的本征值，但不改变其本征矢.即改变算符的本征值，也改变其本征矢.
113.算符a=（）1/2（x-p）,则对易关系式[a,a]等于
2"ko
44L4-i»XI
A.[a,a]=0.B.[a,a]=1.
C.[a,a]=—1.D.[a,a]=i.
114.
非简并定态微扰理论中第n个能级的表达式是（考虑二级近似）
C.
D.
2d2
2」dx22」dx2
119.
12
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