平面向量数量积.ppt

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平面向量数量积平面向量数量积一般地，实数一般地，实数与向量与向量a的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：

规定如下：

（1）|a|=|a|

（2）当当0时时,a的方向与的方向与a方向相同；方向相同；当当0时时,a的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或a=0时时,a=0设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：

，则有：

（a）=（）a（+）a=a+a（a+b）=a+b已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。

OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算W=|F|S|cos其中其中是是F与与S的夹角的夹角从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。

的概念。

已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作abab=|a|b|cos规定规定:

零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。

注意：

向量注意：

向量的数量积是的数量积是一个数量。

一个数量。

向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

么时候为正，什么时候为负？

ab=|a|b|cos当当090时时ab为正；为正；当当90180时时ab为负。

为负。

当当=90时时ab为零。

为零。

设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OABabB1解：

解：

ab=|a|b|cos=54cos120=54（-1/2）=10例例22已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，aa与与bb的夹角的夹角=120=120，求，求aabb。

例例3已知已知a=（1,1）,b=（2,0）,求求ab。

解：

解：

|a|=2,|b|=2,=45ab=|a|b|cos=22cos45=2练习：

练习：

11若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b，有，有ab=02若若a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有ab033若若a00，abb=0，则，则b=044若若ab=0，则，则ab中至少有一个为中至少有一个为055若若a0，ab=bc，则，则a=c66若若ab=ac,则则bc,当且仅当当且仅当a=0时成立时成立7对任意向量对任意向量a有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：

数量积的运算律：

数量积的运算律：

其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：

注：

例例3：

求证：

求证：

（1）（ab）2a22abb2；

（2）（ab）（ab）a2b2.证明：

证明：

（1）（ab）2（ab）（ab）（ab）a（ab）baabaabbba22abb2.例例3：

求证：

求证：

（1）（ab）2a22abb2；

（2）（ab）（ab）a2b2.证明：

证明：

（2）（ab）（ab）（ab）a（ab）baabaabbba2b2.例例4小结：

小结：

l1.l2.可用来求向量的模可用来求向量的模