第一章111 命题.docx

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第一章111命题

1．1.1　命题

学习目标

　1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．

知识点一　命题的概念

思考1　在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？

答案　对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．

思考2　依据上面命题的定义，判断下面说法中，哪些是命题，哪些不是命题．

①三角形外角和为360°；

②连接A、B两点；

③计算3－2的值；

④过点A作直线l的垂线；

⑤三角形中，大边一定对的角也大吗？

答案　根据命题的定义，只有①为命题，其它语句都不是命题．

梳理　

（1）命题的概念：

在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

（2）命题定义中的两个要点：

“能判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．

知识点二　真命题、假命题

思考　如何判断一个命题的真假？

试举例说明．

答案　数学中判定一个命题是真命题，要经过严格的证明，而要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

例如判断下列命题的真假：

①奇函数的图象关于原点对称；②a、b为实数，若a＞b，则

＜

.

分析　命题①是真命题，证明：

对于奇函数y＝f（x），若点（m，n）是函数图象上的点，则一定有f（m）＝n，因为y＝f（x）为奇函数，所以f（－m）＝－f（m）＝－n，所以（－m，－n）一定在函数图象上，点（m，n）与点（－m，－n）关于原点对称，即任取一点其关于原点对称的点都在函数图象上，所以奇函数的图象关于原点对称．

命题②是假命题，当a＝2，b＝－1时，

＝

，

＝－1，

＜

不成立．

梳理　

（1）对一个命题来说，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

（2）数学中判断一个命题是真命题，要经过严格的证明，要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

（3）我们学习过的定理、推论都是真命题．

知识点三　命题的结构

思考1　在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？

答案　命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论．

思考2　完成下列题目：

①命题“等角的补角相等”：

题设是________，结论是________．

②命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果________，那么________”．

答案　①等角的补角　相等

②一个数是实数　它的平方是非负数

梳理　

（1）在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

（2）从构成来看，命题都具有条件和结论两部分.

类型一　命题概念的理解

例1　给出下列语句，其中不是命题的是________．

①

是无限循环小数；

②x2－3x＋2＝0；

③当x＝4时，2x>0；

④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

⑤一个数不是奇数就是偶数．

答案　②④

解析　判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“能判断真假”和“陈述句”这两个要点．②虽然是陈述句，但无法判断它的真假，所以不是命题．④不是陈述句，所以不是命题．故填②④.

反思与感悟　判断语句是否为命题，关键在于判断是否为能判断真假的陈述句．

跟踪训练1　下列语句中，是命题的为________．

①红豆生南国；

②作射线AB；

③中国领土不可侵犯！

④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.

答案　①④

解析　②和③都不是陈述句，根据命题的定义可知①④是命题．

类型二　命题真假的判断

例2　已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的

，则其体积缩小到原来的

；

②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝

相切．

其中真命题的序号是（　　）

A．①②③B．①②C．①③D．②③

答案　C

解析　对于命题①，设球的半径为R，则

π

3＝

·

πR3，故体积缩小到原来的

，为真命题；对于命题②，若两组数据的平均数相等，则它们的方差不一定相

等，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相等，但方差不等，命题为假；对于命题③，圆x2＋y2＝

的圆心（0,0）到直线x＋y＋1＝0的距离d＝

＝

，等于圆的半径，所以直线与圆相切，为真命题．

反思与感悟　若由命题的条件p通过推理一定可以得出命题的结论q，则命题为真命题；若由命题的条件p通过推理不一定能得出命题的结论q，则命题为假命题．

跟踪训练2　下列命题中假命题的个数为（　　）

①多边形的外角和与边数有关；

②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；

③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；

④函数f（x）在区间[a，b]内有零点，则f（a）·f（b）<0.

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．

类型三　命题结构形式解读

例3　将下列命题写成“若p，则q”的形式．

（1）末位数是0或5的整数，能被5整除；

（2）方程x2－x＋1＝0有两个实数根．

解　

（1）若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．

（2）若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．

反思与感悟　把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么．

跟踪训练3　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

（1）正n边形（n≥3）的n个内角全相等；

（2）负数的立方是负数；

（3）已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.

解　

（1）若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等．是真命题．

（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．是真命题．

（3）已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题．

1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（　　）

A．两个平面

B．一条直线

C．垂直

D．两个平面垂直于同一条直线

答案　D

解析　所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.

2．下列语句：

①1是有理数吗？

②一个数不是正数就是负数；

③若x＋y为有理数，则x，y都是有理数；

④作△ABC∽△A1B1C1；

⑤等边三角形是特殊的等腰三角形．

其中为命题的个数是（　　）

A．2B．3

C．4D．5

答案　B

解析　①是疑问句，不是命题．

②是命题，且是假命题，因为0既不是正数也不是负数．

③是命题，且是假命题，如x＝

，y＝－

.

④是祈使句，不是命题．

⑤是命题，且是真命题．

命题是②③⑤，真命题是⑤，故命题的个数为3，故选B.

3．下列命题是真命题的是（　　）

A．若a2＝4，则a＝2B．若a＝b，则

＝

C．若

＝

，则a＝bD．若a

答案　C

解析　判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项．由a2＝4得a＝±2，排除A；取a＝b＝－1，排除B；－2<1，但（－2）2>12，排除D.故选C.

4．命题“函数y＝log2（x2－mx＋4）的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________．

答案　（－∞，－4]∪[4，＋∞）

解析　由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即（－m）2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.

5．把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为________________．

答案　若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称

解析　改写成“若p，则q”的形式为：

若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称．

1．判断一个语句是否为命题的依据：

一是陈述句；二是能判断真假．

2．把命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．“若p，则q”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来命题．

一、选择题

1．下列语句为命题的是（　　）

A．x2－2x>0B．若a·b＝0，则a⊥b

C．今天心情真好！

D．正方形

答案　B

解析　只有B能判断真假，且为陈述句，而A、C、D皆不是命题，故选B.

2．下列命题为假命题的是（　　）

A．△ABC中，若sinA>sinB，则A>B

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b

D．x2－x＋1>0

答案　B

解析　对于选项A，sinA>sinB⇔A>B，故为真命题；对于选项B，若a与b方向相反时，则不成立，故为假命题；选项C、D皆为真命题，故选B.

3．下列命题：

①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

②若x∈N，则x3>x2成立；

③若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

④存在一个三角形没有外接圆．

其中为真命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　B

解析　①假命题．反例：

1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.

②假命题．反例：

当x＝0时，x3>x2不成立．

③真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，

∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．

④假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．

4．下列命题：

①“如果k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；

②如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd；

③对角线相等的四边形是矩形；

④如果xy＝0，则x、y中至少有一个为0.

其中真命题的序号是（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

答案　B

解析　①中Δ＝4－4（－k）＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．

5．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是（　　）

A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||

C．（a＋b）2＝|a＋b|2D．（a＋b）·（a－b）＝a2－b2

答案　B

解析　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.

6．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a<0或a≥3B．a≤0或a≥3

C．a<0或a>3D．0

答案　A

解析　若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，则a＝0时，3>0符合题意，a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．

7．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.则下列命题为真命题的是（　　）

A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

答案　A

解析　对于选项A，由面面垂直的判定定理可知选项A正确；对于选项B，若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，所以选项B错误；对于选项C.当l平行于α与β的交线时，l∥β，但此时α与β相交，所以选项C错误；对于选项D，若α∥β，则l与m可能平行，也可能异面，所以选项D错误．故选A.

二、填空题

8．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________________________，结论是______________．

答案　函数为y＝2x＋1　该函数是增函数

9．下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．

其中假命题的个数是________．

答案　4

解析　①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直．

10．若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

答案　（0,2）

解析　函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈（0,2）．

11．设y＝f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：

（1）y＝f（x）为偶函数．

（2）y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．

（3）T＝2为y＝f（x）的一个周期．

如果将上面的

（1）

（2）（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个．

答案　3

解析　①

（1）

（2）⇒（3），由

（2）知f（x）＝f（2－x），

又f（x）＝f（－x），所以f（－x）＝f（2－x），

所以T＝2为y＝f（x）的一个周期．

②

（1）（3）⇒

（2），由（3）知f（x）＝f（2＋x），

又f（x）＝f（－x），所以f（－x）＝f（2＋x），

所以y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．

③

（2）（3）⇒

（1），由

（2）知f（x）＝f（2－x），

所以f（－x）＝f（2＋x），

由（3）知f（x）＝f（2＋x），

所以f（x）＝f（－x），即y＝f（x）为偶函数．

三、解答题

12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）当ac>bc时，a>b；

（2）当m>

时，mx2－x＋1＝0无实根；

（3）当ab＝0时，a＝0或b＝0.

解　

（1）若ac>bc，则a>b.

∵ac>bc，c<0时，a

（2）若m>

，则mx2－x＋1＝0无实根．

∵Δ＝1－4m<0，∴是真命题．

（3）若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴是真命题．

13．

（1）已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满足的条件；

（2）已知命题“若x1

＞

”是假命题，求a满足的条件．

解　

（1）因为ax2＋bx＋1＝0有解．

所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，

方程有解x＝－

.

当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0.

综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有解．

（2）因为命题当x1

＞

为假命题，

所以应有当x1

≤

，即

≤0.

因为x10，x1x2>0，

所以a≤0.