第一章111 命题.docx
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第一章111命题
1.1.1 命题
学习目标
1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式,能将命题改写为“若p,则q”的形式.
知识点一 命题的概念
思考1 在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?
答案 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
思考2 依据上面命题的定义,判断下面说法中,哪些是命题,哪些不是命题.
①三角形外角和为360°;
②连接A、B两点;
③计算3-2的值;
④过点A作直线l的垂线;
⑤三角形中,大边一定对的角也大吗?
答案 根据命题的定义,只有①为命题,其它语句都不是命题.
梳理
(1)命题的概念:
在数学中,用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)命题定义中的两个要点:
“能判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.
知识点二 真命题、假命题
思考 如何判断一个命题的真假?
试举例说明.
答案 数学中判定一个命题是真命题,要经过严格的证明,而要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.
例如判断下列命题的真假:
①奇函数的图象关于原点对称;②a、b为实数,若a>b,则
<
.
分析 命题①是真命题,证明:
对于奇函数y=f(x),若点(m,n)是函数图象上的点,则一定有f(m)=n,因为y=f(x)为奇函数,所以f(-m)=-f(m)=-n,所以(-m,-n)一定在函数图象上,点(m,n)与点(-m,-n)关于原点对称,即任取一点其关于原点对称的点都在函数图象上,所以奇函数的图象关于原点对称.
命题②是假命题,当a=2,b=-1时,
=
,
=-1,
<
不成立.
梳理
(1)对一个命题来说,判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
(2)数学中判断一个命题是真命题,要经过严格的证明,要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.
(3)我们学习过的定理、推论都是真命题.
知识点三 命题的结构
思考1 在初中学习命题的定义的基础上,你还知道与命题有关的哪些知识?
答案 命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,命题常可以写为“如果…,那么…”的形式,“如果”后面接题设,而“那么”后面接结论.
思考2 完成下列题目:
①命题“等角的补角相等”:
题设是________,结论是________.
②命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果________,那么________”.
答案 ①等角的补角 相等
②一个数是实数 它的平方是非负数
梳理
(1)在数学中,命题常写成“若p,则q”这种形式,通常,我们把这种形式命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
(2)从构成来看,命题都具有条件和结论两部分.
类型一 命题概念的理解
例1 给出下列语句,其中不是命题的是________.
①
是无限循环小数;
②x2-3x+2=0;
③当x=4时,2x>0;
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗?
⑤一个数不是奇数就是偶数.
答案 ②④
解析 判断一个语句是不是命题,就是要看它是否符合“能判断真假”和“陈述句”这两个要点.②虽然是陈述句,但无法判断它的真假,所以不是命题.④不是陈述句,所以不是命题.故填②④.
反思与感悟 判断语句是否为命题,关键在于判断是否为能判断真假的陈述句.
跟踪训练1 下列语句中,是命题的为________.
①红豆生南国;
②作射线AB;
③中国领土不可侵犯!
④当x≤1时,x2-3x+2≤0.
答案 ①④
解析 ②和③都不是陈述句,根据命题的定义可知①④是命题.
类型二 命题真假的判断
例2 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
,则其体积缩小到原来的
;
②若两组数据的平均数相等,则它们的方差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=
相切.
其中真命题的序号是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
答案 C
解析 对于命题①,设球的半径为R,则
π
3=
·
πR3,故体积缩小到原来的
,为真命题;对于命题②,若两组数据的平均数相等,则它们的方差不一定相
等,例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相等,但方差不等,命题为假;对于命题③,圆x2+y2=
的圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=
=
,等于圆的半径,所以直线与圆相切,为真命题.
反思与感悟 若由命题的条件p通过推理一定可以得出命题的结论q,则命题为真命题;若由命题的条件p通过推理不一定能得出命题的结论q,则命题为假命题.
跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关;
②如果数量积a·b=0,那么向量a=0或b=0;
③二次方程a2x2+2x-1=0有两个不相等的实根;
④函数f(x)在区间[a,b]内有零点,则f(a)·f(b)<0.
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 因为Δ=4+4a2>0,故③正确,而①②④都错误,均可举出反例.
类型三 命题结构形式解读
例3 将下列命题写成“若p,则q”的形式.
(1)末位数是0或5的整数,能被5整除;
(2)方程x2-x+1=0有两个实数根.
解
(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个数能被5整除.
(2)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.
反思与感悟 把命题改写成“若p,则q”的形式,关键是找到命题的条件“p”和结论“q”,在有些命题的叙述中,条件、结论不是那么分明,但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式,这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.
跟踪训练3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;
(2)负数的立方是负数;
(3)已知x,y为正整数,当y=x-5时,y=-3,x=2.
解
(1)若一个多边形是正n边形,则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.
(2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数.是真命题.
(3)已知x,y为正整数,若y=x-5,则y=-3,x=2.是假命题.
1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
答案 D
解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线,那么它们互相平行”,故选D.
2.下列语句:
①1是有理数吗?
②一个数不是正数就是负数;
③若x+y为有理数,则x,y都是有理数;
④作△ABC∽△A1B1C1;
⑤等边三角形是特殊的等腰三角形.
其中为命题的个数是( )
A.2B.3
C.4D.5
答案 B
解析 ①是疑问句,不是命题.
②是命题,且是假命题,因为0既不是正数也不是负数.
③是命题,且是假命题,如x=
,y=-
.
④是祈使句,不是命题.
⑤是命题,且是真命题.
命题是②③⑤,真命题是⑤,故命题的个数为3,故选B.
3.下列命题是真命题的是( )
A.若a2=4,则a=2B.若a=b,则
=
C.若
=
,则a=bD.若a
答案 C
解析 判断是假命题,只需举反例,用排除法,得到正确选项.由a2=4得a=±2,排除A;取a=b=-1,排除B;-2<1,但(-2)2>12,排除D.故选C.
4.命题“函数y=log2(x2-mx+4)的值域为R”为真命题,则实数m的取值范围为________.
答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)
解析 由题意可知,满足条件时,需方程x2-mx+4=0的判别式Δ≥0,即(-m)2-4×4≥0,解得m≤-4或m≥4.
5.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p,则q”的形式为________________.
答案 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称
解析 改写成“若p,则q”的形式为:
若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称.
1.判断一个语句是否为命题的依据:
一是陈述句;二是能判断真假.
2.把命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式,其中p为命题的条件,q为命题的结论,要注意条件及结论的完整性,将条件写在前面,结论写在后面.“若p,则q”是原来命题的另一种叙述形式,它的真假性等同于原来命题.
一、选择题
1.下列语句为命题的是( )
A.x2-2x>0B.若a·b=0,则a⊥b
C.今天心情真好!
D.正方形
答案 B
解析 只有B能判断真假,且为陈述句,而A、C、D皆不是命题,故选B.
2.下列命题为假命题的是( )
A.△ABC中,若sinA>sinB,则A>B
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.x2-x+1>0
答案 B
解析 对于选项A,sinA>sinB⇔A>B,故为真命题;对于选项B,若a与b方向相反时,则不成立,故为假命题;选项C、D皆为真命题,故选B.
3.下列命题:
①已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;
②若x∈N,则x3>x2成立;
③若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;
④存在一个三角形没有外接圆.
其中为真命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 B
解析 ①假命题.反例:
1≠4,5≠2,而1+5=4+2.
②假命题.反例:
当x=0时,x3>x2不成立.
③真命题.∵m>1⇒Δ=4-4m<0,
∴方程x2-2x+m=0无实数根.
④假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆.
4.下列命题:
①“如果k>0,则方程x2+2x-k=0”有实数根;
②如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd;
③对角线相等的四边形是矩形;
④如果xy=0,则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是( )
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
答案 B
解析 ①中Δ=4-4(-k)=4+4k>0,故为真命题;②由不等式的性质知,显然是真命题;③如等腰梯形对角线相等,不是矩形,故为假命题;④为真命题.
5.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案 B
解析 设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cosθ,所以|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,A成立;由向量的运算律易知C,D成立.故选B.
6.命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.a<0或a≥3B.a≤0或a≥3
C.a<0或a>3D.0答案 A
解析 若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是真命题,则a=0时,3>0符合题意,a≠0时,则a>0且Δ<0,解得00恒成立”是真命题,故当a<0或a≥3时,命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题.
7.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.则下列命题为真命题的是( )
A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m
答案 A
解析 对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C.当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.
二、填空题
8.命题“函数y=2x+1是增函数”的条件是____________________________,结论是______________.
答案 函数为y=2x+1 该函数是增函数
9.下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的个数是________.
答案 4
解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④矩形的对角线不一定垂直.
10.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
答案 (0,2)
解析 函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).
11.设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下列三个条件:
(1)y=f(x)为偶函数.
(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
(3)T=2为y=f(x)的一个周期.
如果将上面的
(1)
(2)(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的三个命题中,真命题有________个.
答案 3
解析 ①
(1)
(2)⇒(3),由
(2)知f(x)=f(2-x),
又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
所以T=2为y=f(x)的一个周期.
②
(1)(3)⇒
(2),由(3)知f(x)=f(2+x),
又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2+x),
所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
③
(2)(3)⇒
(1),由
(2)知f(x)=f(2-x),
所以f(-x)=f(2+x),
由(3)知f(x)=f(2+x),
所以f(x)=f(-x),即y=f(x)为偶函数.
三、解答题
12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)当ac>bc时,a>b;
(2)当m>
时,mx2-x+1=0无实根;
(3)当ab=0时,a=0或b=0.
解
(1)若ac>bc,则a>b.
∵ac>bc,c<0时,a
(2)若m>
,则mx2-x+1=0无实根.
∵Δ=1-4m<0,∴是真命题.
(3)若ab=0,则a=0或b=0,∴是真命题.
13.
(1)已知“方程ax2+bx+1=0有解”是真命题,求a,b满足的条件;
(2)已知命题“若x1>
”是假命题,求a满足的条件.
解
(1)因为ax2+bx+1=0有解.
所以当a=0时,bx+1=0有解,只有b≠0时,
方程有解x=-
.
当a≠0时,方程为一元二次方程,有解的条件为Δ=b2-4a≥0.
综上,当a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0时,方程ax2+bx+1=0有解.
(2)因为命题当x1>
为假命题,
所以应有当x1≤
,即
≤0.
因为x10,x1x2>0,
所以a≤0.