选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换.ppt

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以接报中心为原点以接报中心为原点O，以，以BA方向为方向为x轴，建立轴，建立直角坐标系直角坐标系.设设A、B、C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，设设P（x,y）为为巨巨响响发发生生点点，由由B、C同同时时听听到到巨巨响响声声，得得|PC|=|PB|，故故P在在BC的的垂垂直直平平分分线线PO上上，PO的的方方程程为为y=x，因因A点点比比B点点晚晚4s听到爆炸声，听到爆炸声，yyxxBBAACCPPoo则则A（1020,0）,B（1020,0）,C（0,1020）故故|PA|PB|=3404=1360解：

解：

由双曲线定义知由双曲线定义知P点在以点在以A、B为焦点的为焦点的双曲线双曲线左支上左支上，答答：

巨巨响响发发生生在在接接报报中中心心的的西西偏偏北北450距中心距中心处处.用用y=x代入上式，得代入上式，得，|PA|PB|,根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：

根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：

（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；

（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

若我们以信息中心为基点，用若我们以信息中心为基点，用角和距离角和距离刻画了点的位置，这种刻画了点的位置，这种方法与用方法与用直角坐标直角坐标刻画点的位置刻画点的位置有什么区别和联系？

你认为哪种方有什么区别和联系？

你认为哪种方法更方便？

法更方便？

平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换思考：

思考：

（1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=sin2x?

xxOO2y=sinxy=sin2xyy问题分析：

问题分析：

在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P（x,y），保持纵坐，保持纵坐标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的，就得到正弦，就得到正弦曲线曲线y=sin2x.上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：

即：

设设P（x,y）是平面直角坐标系中任意一点，保持是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标纵坐标不变，将横坐标x缩为原来缩为原来，得到点，得到点P（x,y）.坐标对应关系为：

坐标对应关系为：

x=xy=y1通常把通常把叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

的一个压缩变换。

1坐标对应关系为：

坐标对应关系为：

（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sinx?

写出其坐标变换。

写出其坐标变换。

问题分析：

问题分析：

设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P（x,y）x=xy=3y2通常把通常把叫做平面直角坐标系中的叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。

一个坐标伸长变换。

2在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲倍，就得到曲线线y=3sinx。

问题分析：

问题分析：

（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sin2x?

写出其坐标变换。

写出其坐标变换。

问题分析：

问题分析：

在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P（x,y），保持纵坐，保持纵坐标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的，在此基础上，在此基础上，将纵坐标变为原来的将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P（x,y）x=xy=3y3通常把通常把叫做平面直角坐标系中的一叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

个坐标伸缩变换。

3定义：

设定义：

设P（x,y）是平面直角坐标系中是平面直角坐标系中任意一点，在变换任意一点，在变换的作用下，点的作用下，点P（x,y）对应对应P（x,y）.称称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

为平面直角坐标系中的伸缩变换。

4注注

（1）

（2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

伸缩变换。

1.在直角坐标系中，求下列方程所对应在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换的图形经过伸缩变换x=xy=3y后的图形。

后的图形。

（11）2x+3y=0;2x+3y=0;

（2）x

（2）x22+y+y22=1=1练习练习：

2.在同一直角坐标系下，求满足下列图在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：

曲线形的伸缩变换：

曲线4x2+9y2=36变为变为曲线曲线x2+y2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变换换后，后，曲线曲线C变为变为x29y2=1，求曲线，求曲线C的方的方程并画出图形。

程并画出图形。

x=3xy=y思考：

在伸缩思考：

在伸缩变换变换下，椭圆是否可以变成圆？

抛物线，下，椭圆是否可以变成圆？

抛物线，双曲线变成什么曲线？

双曲线变成什么曲线？

补充练习：

补充练习：

11求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：

后的点的坐标：

（11，22）；）；（-2-2，-1-1）.22曲线曲线CC经过伸缩变换经过伸缩变换后的曲线方程是后的曲线方程是则曲线则曲线CC的方程是的方程是.33将点（将点（22，33）变成点（）变成点（33，22）的伸缩变换是（）的伸缩变换是（）44曲线曲线变成曲线变成曲线的伸缩变换是的伸缩变换是.55在伸缩变换在伸缩变换与伸缩变换与伸缩变换的作用下，的作用下，单位圆单位圆分别变成什么图形？

分别变成什么图形？

7在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：

曲线4x2+9y2=36变为曲线x2+y2=18在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后,曲线C变为x29y2=1,求曲线C的方程,并画出图形。