莱芜中考数学题.docx
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莱芜中考数学题
2018莱芜数学中考题
学校:
________班级:
________姓名:
________学号:
________
一、单选题（共12小题）
1.﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．﹣
C．
D．2
2.经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×109
3.无理数2
﹣3在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
4.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：
成绩（分）
89
90
92
94
95
人数
4
6
8
5
7
对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是92B．中位数是92C．众数是92D．极差是6
7.已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2
8.在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=
的图象上，则k=（ ）
A．3B．4C．6D．12
9.如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°
10.函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
11.如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FG•FC
④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共5小题）
13.计算：
（π﹣3.14）0+2cos60°= ．
14.已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22= ．
15.如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2
和2，则图中阴影部分的面积是 ．
16.如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，
、
的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
17.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=
，则PB+PC= ．
三、解答题（共7小题）
18.先化简，再求值：
（
+
）÷
，其中a=
+1．
19.我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角为 ；
（3）将上面的条形统计图补充完整；
（4）若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．
20.在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）
21.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．
（1）求证：
BD′=CE'；
（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求
的值．
22.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？
哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
23.如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）E为
的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=
，BE=BG，EG=3
，求⊙O的半径．
24.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？
若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2018年山东省莱芜市中考数学试卷答案
学校:
________班级:
________姓名:
________学号:
________
一、单选题（12小题）
1.【解答】解：
∵﹣2＜0，∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．故选：
D．
2.【解答】解：
1.47亿用科学记数法表示为1.47×108，故选：
C．
【知识点】科学记数法—表示较大的数
3.解答】解：
∵2
=
，∴6＜
＜7，∴无理数2
﹣3在3和4之间．故选：
B．
【知识点】估算无理数的大小
4.【解答】解：
A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：
C．
【知识点】中心对称图形、轴对称图形
5.【解答】解：
根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、
，错误；B、
，错误；
C、
，错误；D、
，正确；故选：
D．
【知识点】分式的基本性质
6.【解答】解：
A、平均数为
=
，符合题意；
B、中位数是
=92，不符合题意；
C、众数为92，不符合题意；D、极差为95﹣89=6，不符合题意；
故选：
A．
【知识点】众数、极差、加权平均数、中位数
7.【解答】解：
根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长=
=13，所以这个圆锥的侧面积=
•2π•5•13=65π（cm2）．
故选：
B．【知识点】圆锥的计算、由三视图判断几何体
8.【解答】解：
如图，作AH⊥y轴于H．
∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH=OC，CH=OB，
∵C（0，3），BC=5，
∴OC=3，OB=
=4，
∴CH=OB=4，AH=OC=3，
∴OH=1，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A在y=
上，
∴k=3，故选：
A．
【知识点】等腰直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征
9.【解答】解：
如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF=
（∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．
故选：
B．
【知识点】平行线的性质
10.【解答】解：
抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣
=﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：
A．
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征
11.【解答】解：
如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=
t，
∴s=S△BDE=
×t×
t=
；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2﹣t，BG=t﹣1，
∴DE=
（2﹣t），FG=
（t﹣1），
∴s=S五边形AFGED=S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE=
×2×
﹣
×（t﹣1）×
（t﹣1）﹣
×（2﹣t）×
（2﹣t）=﹣
+3
t﹣
；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3﹣t，GF=
（3﹣t），
∴s=S△CFG=
×（3﹣t）×
（3﹣t）=
﹣3
t+
，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选：
B．
【知识点】动点问题的函数图象
12.【解答】解：
①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，
∴∠ADE=
×90°=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=AE，
又∵四边形ABCD矩形，
∴AD=BC，
∴AE=BC
②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，
∴△BFE为等腰直角三角形，
∴则有EF=BF
又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，
∴∠AEF=∠CBF
在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，
∴△AEF≌△CBF（SAS）
∴AF=CF
③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，
∴∠FBG=∠FCB=45°，
∵∠ACF=45°，
∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，
④∵∠BGF=180°﹣∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF）=180°﹣∠AGF，∠AGF=∠BGC，
∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，
∴△ADF∽△GBF，
∴
=
=
，
∵EG∥CD，
∴
=
=
，
∴
=
，∵AD=AE，
∴EG•AE=BG•AB，故④正确，故选：
C．
【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质
二、填空题（5小题）
13.【解答】解：
原式=1+2×
=1+1=2，故答案为：
2
【知识点】零指数幂、实数的运算、特殊角的三角函数值
14.【解答】解：
∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=
．x1x2=﹣
，
∴x12+x22=
，
故答案为：
【知识点】根与系数的关系
15.【解答】解：
设正三角形的边长为a，则
a2×
=2
，解得a=2
．
则图中阴影部分的面积=2
×
﹣2=2．故答案是：
2．
16.【解答】解：
如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为
的圆心，同理可得，H为
的圆心，
连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE=GD=x，则CG=2a﹣x，CE=a，
Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2=x2，
解得x=
，
∴GE=FG=
，
同理可得，EH=FH=
，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO=
BC=a，
∴Rt△OEG中，OE=
=
a，
∴EF=
a，故答案为：
a．
【知识点】相交两圆的性质、正方形的性质
17.【解答】解：
作CH⊥AB于H．
∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=2BH=2•BC•cos30°=
BC，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
∴
=
=
=
，
∵PA=
，
∴PB=1，PC=
，
∴PB+PC=1+
．故答案为1+
．
【知识点】相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
三、解答题（7小题）
1.【解答】解：
当a=
+1时，
原式=
×
=
×
=
=
=2
【知识点】分式的化简求值
2.【解答】解：
（1）（25+23）÷40%=120（名），
即此次共调查了120名学生，
故答案为：
120；
（2）360°×
=54°，
即扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54°，
故答案为：
54°；
（3）如图所示：
（4）800×
=200（人），
答：
估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是200人．
【知识点】条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
3.【解答】解：
过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，
在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，
AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
∵四边形FCGB是矩形，
∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，
∵∠BDG=45°，
∴∠BDG=∠GBD，
∴GD=GB=4.32，
∴CD=CG+GD=5.04，
在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE=
，
∴DE=CD﹣CE=5.04﹣3.33=1.71≈1.7，
答：
小水池的宽DE为1.7米．
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
4.【解答】解：
（1）证明：
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD=AE=EC．
由旋转的性质可知：
∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．
∴AD′=AE′，
∴△BD′A≌△CE′A，
∴BD′=CE′．
（2）连接DD′．
∵∠DAD′=60°，AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形．
∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．
∴∠DBD′=∠DD′B=30°，
∴∠BD′A=90°．
∵∠D′AE′=90°，
∴∠BAE′=30°，
∴∠BAE′=∠ABD′，
又∵∠BFD′=∠AFE′，
∴△BFD′∽△AFE′，
∴
．
∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′=
=
，
∴
=
．
【知识点】旋转的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、三角形中位线定理
5.【解答】解：
（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得
解这个方程组得：
答：
甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得
解这个不等式组得
∵a为正整数
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台
设该公司的购买费用为w万元，则w=6a+4（8﹣a）=2a+32
∵k=2＞0
∴w随a的增大而增大
当a=2时，w最小，w最小=2×2+32=36（万元）
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【知识点】一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用
6.【解答】
（1）证明：
连接OC，如图，
∵BC平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：
连接OE交AB于H，如图，
∵E为
的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE=
，
∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=
=
设EH=3x，BH=4x，
∴BE=5x，
∵BG=BE=5x，
∴GH=x，
在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3
）2，解得x=3，
∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，
在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=
，
即⊙O的半径为
．
【知识点】切线的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、垂径定理
7.【解答】解：
（1）由题意，得
，
解得
，
抛物线的函数表达式为y=﹣
x2+
x+3；
（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，
，
解得
∴y=﹣
x+3，
设D（a，﹣
a2+
a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
如图1
，
M（a，﹣
a+3），
DM=（﹣
a2+
a+3）﹣（﹣
a+3）=﹣
a2+3a，
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴
=
，
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5，
∴DE=
DM
∴DE=﹣
a2+
a=﹣（
（a﹣2）2+
，
当a=2时，DE取最大值，最大值是
，
（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF=
，tan∠CFO=
=2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，
如图2
，
①若∠DCE=∠CFO，
∴tan∠DCE=
=2，
∴BG=10，
∵△GBH∽BCO，
∴
=
=
，
∴GH=8，BH=6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y=kx+b，
∴
，
解得
∴直线CG的解析式为y=
x+3，
∴
，
解得x=
，或x=0（舍）．
②若∠CDE=∠CFO，
同理可得BG=
，GH=2，BH=
，
∴G（
，2），
同理可得，直线CG的解析是为y=﹣
x+3，
∴
，
解得x=
或x=0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为
或
．
【知识点】二次函数综合题
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