复习正弦定理和余弦定理.ppt

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正弦定理和余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内内容容a2；b2；c2.一、一、正、余弦定理正、余弦定理b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理变形形形形式式a，b，c；（其中其中R是是ABC外接外接圆半径半径）abcasinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA.2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC二二.正弦定正弦定理几何意义理几何意义在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即它适合于任何三角形。

它适合于任何三角形。

（2R2R为为ABCABC外接外接圆直径圆直径）每每个等式可视为一个方程：

知三求一个等式可视为一个方程：

知三求一定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解解决决的的问题已知两角和任一已知两角和任一边，求另一角和其他两条求另一角和其他两条边；已知已知两边和其中两边和其中一边的对角，一边的对角，求另求另一一边和其他两角和其他两角.已知三已知三边，求，求各角；各角；已知已知两边和它两边和它们的夹角们的夹角，求第求第三三边和其他两个和其他两个角角.正弦定理的应用技巧：

正弦定理的应用技巧：

边边角角互互化化在在ABCABC中，中，sinAsinAsinBsinB是是ABAB的什么条件？

的什么条件？

提示：

提示：

充要条件充要条件.1、在、在中，若中，若sinA:

sinB:

sinC=4:

5:

6,且且a+b+c=15，则，则a=，b=，c=。

2、在、在中，中，则，则a：

b：

c=。

456角化为边角化为边

（1）在）在中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（）A.b/aB.a/bC.a/cD.c/acBsinB，cosB解析：

解析：

因为因为a4bsinA，由正弦定理知，由正弦定理知4.在在锐角锐角ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且a4bsinA，则，则cosB.答案：

答案：

2RsinA=4（2RsinB）sinA1.已知已知ABC的面积为的面积为，BC4，CA3，则角，则角C的的大小为大小为（）A.75B.60或或120C.45D.30或或.60答案见下页解析：

解析：

由题知，由题知，答案：

答案：

B2.在在ABC中，若中，若则则AB（）A.3B.4C.5D.6解析：

解析：

因为因为所以所以由正弦定理由正弦定理可得可得答案：

答案：

C3.（2010惠州模拟惠州模拟）在在ABC中，角中，角A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c.若若（a2c2b2）则角则角B的值为的值为（）或或或或解析：

解析：

结合已知等式得结合已知等式得cosBtanB答案：

答案：

D5.已知已知ABC的三个内角的三个内角A、B、C成等差数列，且成等差数列，且AB1，BC4，则边，则边BC上的中线上的中线AD的长为的长为.解析：

解析：

如图所示，如图所示，B60，AB1，BD2.由余弦定理知由余弦定理知答案：

答案：

1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由根据图形或由“大边对大角大边对大角”作出判断作出判断.2.三角形中常见的结论三角形中常见的结论

（1）ABC.A+B=-C

（2）在三角形中大边对大角，反之亦然在三角形中大边对大角，反之亦然.（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（4）三角形内的诱导公式三角形内的诱导公式sin（AB）sinC；cos（AB）cosC；（理由理由A+B=-C）tan（AB）tanC；sincos（5）在在ABC中，中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.=sin得得2A2B或或2A2B，即即ABC为等腰为等腰或或直角三角形直角三角形.三角形三角形ABC中中.acosAbcosB，判断三角形的形状判断三角形的形状【解解】法一：

法一：

已知等式已知等式acosAbcosB，由正弦定理，得由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB）sinAcosA-sinBcosB=0sin2Asin2B，由由02A2，02B0，a2b2c2，故，故ABC为直角三角形为直角三角形.sinAcosBsinAcosCsinBsinC.由正弦定理得由正弦定理得acosBacosCbc.由余弦定理得由余弦定理得故故ABC为直角三角形为直角三角形.解：

解：

设设ABC内角内角A，B，C对边的边长分别是对边的边长分别是a，b，c，

（1）证明证明m（sinA，cosC），n（cosB，sinA），mnsinBsinC，sinAcosBsinAcosCsinBsinC.sinBsin（A+C）=sinAcosC+cosAsinCsinC=sin（A+B）sinAcosB+cosAsinB.cosAsinC+cosAsinB=0cosA（sinC+sinB）=0sinB0,sinC0.cosA=0故故ABC周长的取值范围是周长的取值范围是（4,2+）bc2（sinBcosB）

（2）若若ABC外接圆半径为外接圆半径为1，求，求ABC周长的取值范围周长的取值范围.

（2）

（2）ABCABC外接圆半径为外接圆半径为11，AA，aa22，1.（2010深圳调研深圳调研）在在ABC中，中，a，b，c分别是内角分别是内角A，B，C的对边，且的对边，且a4，C2A，cosA=

（1）求求sinB；

（2）求求b的长的长.解：

解：

（1）A、C为为ABC内角，内角，cosA=sinA又又C2A.sinCsin2A2sinAcosAcosCcos2A2cos2A1sinBsin（AC）sinAcosCsinCcosA

（2）由）由可得可得bb=aa=44依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

有如下两种方法：

1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论这个结论.【注意注意】在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.在在ABC中，中，a、b、c分别表示三个内角分别表示三个内角A、B、C的对边，如果的对边，如果（a2b2）sin（AB）（a2b2）sin（AB），判断三，判断三角形的形状角形的形状.利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系为边边关系或角角关系.【解解】法一：

法一：

已知等式可化为已知等式可化为a2sin（AB）sin（AB）b2sin（AB）sin（AB），2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理，得由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB（sinAcosAsinBcosB）0，sin2Asin2B，由，由02A2，02B2得得2A2B或或2A2B，即即ABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形.法二：

法二：

同法一可得同法一可得2a2cosAsinB2b2sinAcosB，由正余弦定理，即得由正余弦定理，即得a2（b2c2a2）b2（a2c2b2），即即（a2b2）（a2b2c2）0，ab或或a2b2c2，ABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形.在在ABC中，内角中，内角A，B，C对边的边长分别是对边的边长分别是a，b，c，已知，已知c2，

（1）若若ABC的面积等于的面积等于求求a，b；

（2）若若sinCsin（BA）2sin2A，求，求ABC的面积的面积.

（1）利用余弦定理和三角形面积公式列方程组，利用余弦定理和三角形面积公式列方程组，解方程组得解方程组得a，b，

（2）利用诱导公式、和差角的利用诱导公式、和差角的正弦公式、倍角公式，列方程组求正弦公式、倍角公式，列方程组求a，b，及正，及正弦定理将角化边，进而求三角形面积弦定理将角化边，进而求三角形面积.【解解】

（1）由余弦定理及已知条件，得由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4，又因为又因为ABC的面积等于的面积等于所以所以得得ab4.联立方程组联立方程组

（2）由题意得由题意得sin（BA）sin（BA）4sinAcosA，即即sinBcosA2sinAcosA.当当cosA0时，时，A=B=a=所以所以ABC的面积的面积当当cosA0时，得时，得sinB2sinA，由正弦定理得，由正弦定理得b2a，联立方程组联立方程组解得解得所以所以ABC的面积的面积综上：

综上：

ABC的面积为的面积为3.设设ABC的内角的内角A、B、C所对的边长分别为所对的边长分别为a、b、c，且，且acosB3，bsinA4，

（1）求边长求边长a；

（2）若若ABC的面积的面积S10，求，求ABC的周长的周长l.解：

解：

（1）依题设得依题设得由正弦定理得由正弦定理得所以所以即即依题设知依题设知a2cos2B9，所以所以a225，得，得a5.

（2）因为因为所以，由所以，由S10得得c5.应用余弦定理得应用余弦定理得故故ABC中的，周长中的，周长在高考试题中，有关解三角形的问题主要考查正弦定在高考试题中，有关解三角形的问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力，以化简、理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力，以化简、求值或判断三角形形状为主，也与其他知识结合，考求值或判断三角形形状为主，也与其他知识结合，考查解决综合问题的能力查解决综合问题的能力.有关解三角形的题型，选择、填空、有关解三角形的题型，选择、填空、解答题都有可能出现，一般为容易题和中档题解答题都有可能出现，一般为容易题和中档题.2009年天津年天津卷就考查了正、余弦定理的应用及三角函数求值卷就考查了正、余弦定理的应用及三角函数求值.（2009天津高考天津高考）在在ABC中，中，AC3，sinC2sinA.

（1）求求AB的值；的值；

（2）求求sin（2A）的值的值.解解

（1）在在ABC中，根据正弦定理，中，根据正弦定理，于是于是AB

（2）在在ABC中，根据余弦定理，中，根据余弦定理，得得cosA于是于是sinA从而从而sin2A2sinAcosAcos2Acos2Asin2A所以所以sin本题不难，但学生的得分并不高，主要原因是不理解本题不难，但学生的得分并不高，主要原因是不理解条件条件“sinC2sinA”的作用，正弦定理的一个作用就是的作用，正弦定理的一个作用就是将将“角的关系角的关系”转化为转化为“边的关系边的关系”，所以本题由，所以本题由sinC2sinA得出得出是关键是关键.A为锐角角A为钝角或角或直角直角图形形关系关系式式absinAabsinAbsinAabab解的解的个数个数无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解二、在二、在ABC，已知已知a,b和和A解三角形时，解的情况如下：

解三角形时，解的情况如下：