几何体的体积.ppt
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（二期课改二期课改）复习引入复习引入一一.回顾几种常见的平面多边形的面积公式及一些复回顾几种常见的平面多边形的面积公式及一些复杂多边形的面积的计算方法杂多边形的面积的计算方法.二二.由长方体由长方体（直四棱柱直四棱柱）的体积公式的体积公式:
V=Sh.对于一般的棱柱其体积的计算方法是怎样的呢对于一般的棱柱其体积的计算方法是怎样的呢?
*问题的提出问题的提出:
新课讲解新课讲解一一.介绍介绍（祖暅原理祖暅原理）的具体内容的具体内容:
*我国古代数学家祖暅在我国古代数学家祖暅在“开立圆术开立圆术”一书中指一书中指出出:
（约在公元约在公元55世纪世纪）“夫叠棊（棋）成立积夫叠棊（棋）成立积,缘幂势既同缘幂势既同,则积不容异则积不容异”*现代文解释为现代文解释为:
体积可以看成是由面积叠加而成体积可以看成是由面积叠加而成,用一组平行用一组平行的平面截两个空间图形的平面截两个空间图形,若在任意高处的截面面积若在任意高处的截面面积都对应相等都对应相等,则两个空间图形的体积必然相等则两个空间图形的体积必然相等.说明说明上述论述称为祖暅原理上述论述称为祖暅原理,其正确性可以验证其正确性可以验证.利用叠书法加以理解和感悟利用叠书法加以理解和感悟.（课文课文P37P37图解图解）祖暅原理祖暅原理ShSSh新课讲解新课讲解二二.棱柱体积公式的推导棱柱体积公式的推导:
*由长方体的体积公式由长方体的体积公式V=Sh.利用祖暅原理利用祖暅原理,结合图结合图16-4516-45推导出推导出:
（棱柱体积公式棱柱体积公式）-）-V棱柱=Sh.新课讲解新课讲解例题例题1三三.棱柱体积的计算棱柱体积的计算.已知三棱柱已知三棱柱的底面为直角三角形的底面为直角三角形,两直角边两直角边AC和和BC的长分别为的长分别为4cm和和33cm,侧棱侧棱的长为的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积求满足下列条件的三棱柱的体积.
（1）
（1）侧棱侧棱垂直于底面垂直于底面;
（2）
（2）侧棱侧棱与底面所成的角为与底面所成的角为6060.例题例题1已知三棱柱已知三棱柱的底面为直角三角形的底面为直角三角形,两直角边两直角边AC和和BC的长分别为的长分别为4cm和和33cm,侧棱侧棱的长为的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积求满足下列条件的三棱柱的体积.
（1）
（1）侧棱侧棱垂直于底面垂直于底面;
（2）
（2）侧棱侧棱与底面所成的角为与底面所成的角为6060.例题例题1已知三棱柱已知三棱柱的底面为直角三角形的底面为直角三角形,两直角边两直角边AC和和BC的长分别为的长分别为4cm和和33cm,侧棱侧棱的长为的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积求满足下列条件的三棱柱的体积.
（1）
（1）侧棱侧棱垂直于底面垂直于底面;
（2）
（2）侧棱侧棱与底面所成的角为与底面所成的角为6060.归纳总结归纳总结计算棱柱体积计算棱柱体积,关键是计算棱柱的底面积和棱柱的高关键是计算棱柱的底面积和棱柱的高.为方便计算棱柱的底面积为方便计算棱柱的底面积,可以把棱柱的底面多边形可以把棱柱的底面多边形画成其平面图形画成其平面图形.注意区分棱柱的侧棱与棱柱的高之间的区别注意区分棱柱的侧棱与棱柱的高之间的区别.*在直棱柱中在直棱柱中:
侧棱侧棱=高高;*而在一般的斜棱柱中而在一般的斜棱柱中:
侧棱与高并不相等侧棱与高并不相等,但侧棱与但侧棱与高加上侧棱在底面上的射影构成一个高加上侧棱在底面上的射影构成一个Rt.例题讲解例题讲解例题例题2已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中中,AB=AC=10cm,BC=12cm,顶点顶点A1到到A、B、C的距离都等于的距离都等于13cm,试求试求:
三棱柱的体积三棱柱的体积.分析分析解本题要注意在理解题意的基础上先作出相解本题要注意在理解题意的基础上先作出相应的斜三棱柱底面三角形的平面图及斜三棱柱应的斜三棱柱底面三角形的平面图及斜三棱柱的准确的直观图的准确的直观图,而后数形结合解题而后数形结合解题.本题中计算棱柱的体积的关键在于计算棱柱本题中计算棱柱的体积的关键在于计算棱柱的高的高,而要计算棱柱的高必须先计算出三棱柱的而要计算棱柱的高必须先计算出三棱柱的底面三角形的外接圆半径底面三角形的外接圆半径.ACBA1C1B1O略解略解*由已知易求底面积为由已知易求底面积为48cm48cm2.*垂足垂足O是底面三角形是底面三角形ABC的外心的外心.*由等腰三角形由等腰三角形ABC的的边长计算出其外接圆边长计算出其外接圆的半径的半径OA:
*在在Rt三角形三角形A1BO中中,计算出棱柱的高计算出棱柱的高:
*计算出棱柱的体积为计算出棱柱的体积为:
课堂练习课堂练习*课本课本（P38）（P38）练习练习15.5
（1）:
1;215.5
（1）:
1;2（补补充充题题）（*）（*）已知斜四棱柱已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长的底面是边长为为88的正方形的正方形,侧棱侧棱AA1长为长为12,12,且且A1到下底面的各到下底面的各顶点间的距离相等顶点间的距离相等,试求试求:
（1）
（1）四棱柱的体积四棱柱的体积;
（2）
（2）四棱柱的侧面积四棱柱的侧面积.ABCDA1B1D1C1O*由已知可得由已知可得:
柱高柱高A1O的垂足的垂足O其实就是正方形其实就是正方形ABCD的中心的中心.128例例1有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底面是正六边形，边长为边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这，问这堆螺帽大约有多少个（堆螺帽大约有多少个（取取3.14）？
）？
解：
六角螺帽的体积是六棱柱解：
六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即:
所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：
这堆螺帽大约有答：
这堆螺帽大约有252252个个（二期课改二期课改）新课讲解新课讲解一一.问题的提出问题的提出:
*棱锥的体积公式如何探求棱锥的体积公式如何探求?
（解决三棱锥的体积问题解决三棱锥的体积问题）*n边形边形*（n-2）个三角形个三角形*用用（n-3）（n-3）条共点的对角线分割成条共点的对角线分割成*n棱锥棱锥*（n-2）个三棱锥个三棱锥导出导出:
（解决解决nn棱锥的体积问题棱锥的体积问题）（*（*五棱锥五棱锥P-ABCDE的体积的体积*）（*（*三棱锥三棱锥P-ABE的体积的体积*）+（+（*三棱锥三棱锥P-BCE的体积的体积*）+（+（*三棱锥三棱锥P-CDE的体积的体积*）新课讲解新课讲解*等底等高的三棱锥的体积相等等底等高的三棱锥的体积相等.二二.推导证明推导证明:
已知已知:
三棱锥三棱锥O-ABC和和P-DEF的底面面积都是的底面面积都是S,高高都是都是h,求证求证:
V三棱锥三棱锥O-ABC=V三棱锥三棱锥P-DEF.证明证明:
结合图结合图15-36（15-36（课本课本P39）.P39）.,且相似比是且相似比是:
同理可得同理可得:
且相似比是且相似比是:
故可得：
故可得：
由祖暅原理得由祖暅原理得:
VO-ABC=VP-DEF.新课讲解新课讲解三三.推导推导:
三棱锥的体积公式三棱锥的体积公式:
*证明思路证明思路:
利用三个三棱锥构造出一个三棱柱利用三个三棱锥构造出一个三棱柱.其体积其体积:
V棱柱棱柱=SShh.证明由三棱柱分割而成的三个三棱锥证明由三棱柱分割而成的三个三棱锥的体积相等的体积相等.三棱锥的体积等于与它等底等高的三三棱锥的体积等于与它等底等高的三棱柱的体积的三分子一棱柱的体积的三分子一.（阅读理解课本阅读理解课本P40）P40）ACDBACEDBFAEBFACDBFAEBFACBFACDB新课讲解新课讲解四四.计算棱锥和棱台的体积计算棱锥和棱台的体积:
例题例题2试求棱长都为试求棱长都为a的正四棱锥的体积和表面积的正四棱锥的体积和表面积.*略解略解:
*在在RtPAO中中:
总结总结解题关键是找到并计算出棱锥的高就是棱锥解题关键是找到并计算出棱锥的高就是棱锥的顶点与底面正方形中心的连线的顶点与底面正方形中心的连线.棱锥的表面积包括侧面面积与底面面积棱锥的表面积包括侧面面积与底面面积.锥体的体积锥体的体积棱锥的体积棱锥的体积圆锥的体积圆锥的体积OSOSR高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积练习：
练习：
已知：
长方体已知：
长方体中，中，AB=4，BC=2，=3，求三棱锥求三棱锥的体积的体积解法分析：
解法分析：
=24=4ABCDE例例1：
如图，在边长为如图，在边长为a的正方体的正方体中，点中，点E为为AB上的任意一点，求三棱锥上的任意一点，求三棱锥的体积的体积。
解法分析解法分析：
V=V例例3：
已知三棱锥已知三棱锥PABC中，中，,PA=BC=a且且ED=b求三棱锥的体积求三棱锥的体积PABCED解法分析：
解法分析：
aba垂面法垂面法PABCED或者：
或者：
aba例例3：
已知三棱锥已知三棱锥PABC中，中，,PA=BC=a且且ED=b求三棱锥的体积求三棱锥的体积例例55，求四棱锥，求四棱锥AA11-EBFD-EBFD11的体积？
的体积？
BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱形，连结EF，则解法分析：
解法分析：
或者：
或者：
例例3、如图所示，已知三棱锥、如图所示，已知三棱锥ABCD的三个侧面互的三个侧面互相垂直，且它们的面积分别为相垂直，且它们的面积分别为6、4、3，求此，求此三棱锥的体积。
三棱锥的体积。
ABCDABCD取适当的取适当的底和高底和高
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