几个常用函数的导数.ppt

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学习目标：

学习目标：

1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数；能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2.利用公式解决简单的问题。

利用公式解决简单的问题。

问题导学问题导学

（2）

（2）求函数的导数的步骤：

求函数的导数的步骤：

1.复习复习

（1）导数的几何意义是：

导数的几何意义是：

，物理意义是：

物理意义是：

_.求函数的改变量求函数的改变量求平均变化率求平均变化率取极限，得导数：

取极限，得导数：

问题导学问题导学2.几个常用几个常用函数的求导公式推导函数的求导公式推导

（1）函数函数y=f（x）=c的导数的导数若若y=c表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则可以表示为可以表示为_即即_._.某物体的瞬时速度始终为某物体的瞬时速度始终为0,0,一直处于静止状态一直处于静止状态根据导数定义，因为根据导数定义，因为所以所以表示函数表示函数的图象，的图象，上每一点处的切线的斜率都上每一点处的切线的斜率都为为0.0.yyOOxxyycc

（2）

（2）函数函数y=f（xy=f（x）=x）=x的导数的导数.问题导学问题导学因为因为所以所以表示函数表示函数的图象上每一点处的切线的斜率的图象上每一点处的切线的斜率都为都为1.1.若若y=x表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则可以表示为可以表示为_._.某物体做瞬时速度为某物体做瞬时速度为1的匀速运动的匀速运动yyOOxxyyxx问题导学问题导学探究：

探究：

在同一平面直角坐标系中，画出函数在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x,y=3x,y=4xy=2x,y=3x,y=4x的图的图像，并根据导数定义，求它们的导数像，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）

（1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？

从图像上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个图像中，哪一个增加得最快？

哪一个增加得最慢？

这三个图像中，哪一个增加得最快？

哪一个增加得最慢？

（3）（3）函数函数y=kx（ky=kx（k0）0）增（减）的快慢与什么有关？

增（减）的快慢与什么有关？

yyOOxxyy2x2xyy3x3xyy4x4x一般结论：

函数一般结论：

函数y=f（x）=kx+by=f（x）=kx+b（kk，bb为为常数）的导数为常数）的导数为问题导学问题导学探究：

探究：

在同一平面直角坐标系中，画出函数在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x,y=3x,y=4xy=2x,y=3x,y=4x的图的图像，并根据导数定义，求它们的导数像，并根据导数定义，求它们的导数.（3）（3）函数函数y=kx（ky=kx（k0）0）增（减）的快慢与什么有关？

增（减）的快慢与什么有关？

yykxkx的图象是过原点的一条直线的图象是过原点的一条直线yyOOxxyykxkxkk00时，时，kk越大，越大，f（xf（x）增加得越快；增加得越快；kk00时，时，kk越大，越大，f（xf（x）减少得越慢减少得越慢.口答口答:

1）1）=_;2）=_;=_;2）=_;3）=_;4）;3）=_;4）;5）=_;6）5）=_;6）（3）函数函数y=的导数的导数.问题导学问题导学所以所以因为因为=2x=2x表示函数表示函数y=y=图像上点图像上点（x,y（x,y）处切线的斜率为处切线的斜率为2x,2x,说明随说明随着着xx的变化，切线的斜率也在变化。

的变化，切线的斜率也在变化。

问题导学问题导学另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，=2x表明表明：

当当x0x0x0时，随着时，随着xx的增加，函数的增加，函数_得越来越得越来越_,减少减少增加增加慢慢快快若若y=y=表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则=2x=2x可以解释为可以解释为某物体作变速运动，它在时刻某物体作变速运动，它在时刻xx的瞬时速度为的瞬时速度为2x.2x.问题导学问题导学（4）（4）函数函数的导数的导数.所以所以因为因为问题导学问题导学（5）（5）函数函数的导数的导数.所以所以因为因为yyOOxxyy小结：

小结：

利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

作差，求商，取极限个步骤：

作差，求商，取极限.问题导学问题导学一般结论：

若一般结论：

若，则，则若若，则，则若若，则，则若若，则，则若若，则，则若若，则，则口答：

口答：

（1）=

（1）=

（2）=_.

（2）=_.（3）=（3）=（4）=（4）=合作探究合作探究1.例例1利用公式求下列函数导数利用公式求下列函数导数.

（1）

（2）2.例例2

（1）已知已知

（2）已知已知深化提高深化提高1.画出函数画出函数y=的图象。

根据图象，描述它的变化情况，并求的图象。

根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点出曲线在点（1,1）处的切线方程处的切线方程.yyOOxxyy函数函数y=的图象如右图所示的图象如右图所示.结合函数图象及其导数结合函数图象及其导数发现，发现，当当x0x0x0时，随着的增加，函数减少得越来越慢；时，随着的增加，函数减少得越来越慢；点点（1,1）（1,1）处切线的斜率就是导数处切线的斜率就是导数，故斜率为，故斜率为-1-1，过，过点点（1,1）（1,1）切线方程为切线方程为y=-x+2.y=-x+2.变式：

变式：

求过曲线上点求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程且与过这点的切线垂直的直线方程.深化提高深化提高2.求曲线求曲线过点过点（2,3）的切线方程的切线方程.小结：

小结：

利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的它们的求法是不同的.3.3.已知直线已知直线y=x-1,y=x-1,点点PP为为上任意一点上任意一点,求求PP在什么位置在什么位置时到直线距离最短时到直线距离最短.深化提高深化提高4.4.证明：

过曲线证明：

过曲线上的任何一点上的任何一点的切线与两坐标的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数轴围成的三角形面积是一个常数当堂检测当堂检测1.默写几个常用函数的导数默写几个常用函数的导数2.给出下列命题给出下列命题,其中正确的命题是其中正确的命题是_（填序号填序号）

（2）直线直线上任一点处的切线方程是这条直线本身上任一点处的切线方程是这条直线本身;（4）函数函数和和函数在函数在上函数值增长的速度一样快上函数值增长的速度一样快.

（1）任何常数的导数都为零；任何常数的导数都为零；（3）双曲线双曲线上任意一点处的切线斜率都是负值上任意一点处的切线斜率都是负值;