与三角形有关的线段.docx

与三角形有关的线段.docx

《与三角形有关的线段.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与三角形有关的线段.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

与三角形有关的线段

年级

初一

学科

数学

内容标题

与三角形有关的线段

编稿老师

巩建兵

一、学习目标：

1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）；

2.理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．

3.会画出任意三角形的高、中线、角平分线．

4.了解三角形的稳定性．

二、重点、难点：

重点：

三角形的有关概念和性质．

难点：

三角形两边的和大于第三边．

三、考点分析：

本讲内容在中考中非常重要，但难度不大，要求理解三角形、三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握三边关系及按边分类，认识三角形的稳定性并能灵活应用于实际，主要以填空题、选择题、计算题的形式出现．

1.三角形的边

（1）三角形的概念和表示方法

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的图形叫做三角形的内角，简称三角形的角．

三角形有六个元素：

三条边和三个角．

（2）三角形的分类

三角形

（3）三角形三边之间的关系：

三角形两边的和大于第三边．

2.三角形的高、中线和角平分线

（1）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．画三角形的高时，只需向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高；三角形的高是线段；三角形的高线（高所在的直线）交于一点．

（2）三角形的中线

在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．一个三角形有三条中线，且都在三角形的内部，并相交于一点．三角形的中线是一条线段．

（3）三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点．三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．

3.三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状，四边形等其他的多边形不具有稳定性．

知识点一：

三角形的有关概念

例1.如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下列判断正确的有（）

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

思路分析：

题意分析：

本题考查对三角形的高、中线和角平分线定义的理解．

解题思路：

由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①错；同理，BE经过△ABD边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确；③符合三角形的高的定义，是正确的．

解答过程：

B

解题后的思考：

解答本题的关键是正确理解三角形的高、中线和角平分线的定义，三角形的高、中线和角平分线是线段，是三角形的一个顶点与这个顶点对边上某点所连的线段．

例2.如图所示，在△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，且BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，求AB的长．

思路分析：

题意分析：

本题考查对三角形的高的定义的理解．

解题思路：

在解答时，首先要弄清三角形的边与边上的高的对应关系，然后利用三角形面积公式建立等式求解即可．

解答过程：

在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，

所以S△ABC＝

AB·CE＝

BC·AD，

即

AB×4＝

×5×3，AB＝

（cm）．

解题后的思考：

利用面积相等来求线段的长度是一种特殊方法，这种方法可用于已知三角形的两边和这两边上的高（四条线段中的三条）求第四条线段的长度．

例3.如图，是一个正五边形木架，那么至少需要加钉几根木条才能固定该正五边形木架？

思路分析：

题意分析：

此题考查三角形稳定性的应用．

解题思路：

这是一个五边形，要把它的各边都分割到三角形中才能将其固定，这样的木条至少需要2根．

解答过程：

至少需要加钉2根木条．

解题后的思考：

由于三角形具有稳定性，而其他图形不具有稳定性．因此要确定至少需要几根木条才能固定多边形木架，只需确定该多边形至少能分割成几个互不重叠的三角形．

例4.解答下列问题：

（1）△ABC的中线AD，把△ABC分成△ABD和△ACD，这两个三角形的面积有什么关系？

证明你的结论．

（2）你能把一块三角形的土地分成面积相等的四部分分别种西红柿、黄瓜、茄子和土豆吗？

画出你的设计图．

思路分析：

题意分析：

本题考查三角形中线的性质．

解题思路：

被中线AD分成的两个三角形△ABD和△ACD的边BD＝DC，且这两个三角形中，BD、DC边上的高相同，所以这两个三角形面积相等．应用这一结论可将一个三角形分成面积相等的四部分，但应注意分法可能有多种．

解答过程：

（1）如图所示，因为AD是△ABC的中线，

所以BD＝DC．过点A作AE⊥BC于E，

则AE是△ABD的高，也是△ADC的高．

所以S△ABD＝

BD·AE，S△ADC＝

DC·AE．

所以S△ABD＝S△ADC．

（2）方法不唯一，如下图所示．在图①中BE＝DE＝DF＝FC；在图②中BD＝DC，AE＝BE，AF＝FC；在图③中BD＝DC，AE＝DE．还有一些其他分法，原理是一样的．

解题后的思考：

三角形的中线把一边平分，并且把这个三角形的面积平分．我们常用这个结论来说明两个三角形面积相等．

小结：

在三角形的有关概念中，应重点掌握三角形的角平分线、中线和高的定义与性质．如：

三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，三角形的边与该边上的高的积相等．

知识点二：

三角形的三边关系

例5.已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（）

A．6个B．5个C．4个D．3个

思路分析：

题意分析：

本题考查三角形的三边关系．

解题思路：

x的取值不能太大，因为有3＋8＞x，即x＜11．x的取值也不能太小，因为有3＋x＞8，即x＞5，在这个范围内的偶数有6、8、10，共3个．

解答过程：

D

解题后的思考：

解答这个问题要注意两点：

①对于x的取值要保证3、8、x能组成三角形，也就是要满足任意两边之和大于第三边．②x的值为偶数．学了不等式的知识后解答本题会更容易一些．

例6.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成三角形？

（1）6cm，8cm，10cm；

（2）3cm，8cm，11cm；

（3）3cm，4cm，10cm；（4）三条线段之比为4∶6∶7．

思路分析：

题意分析：

前三个小题所给线段长度是确定的数值，容易进行决断，第（4）小题的三条线段是比例关系，可以设其长度分别为4x、6x、7x，其中x是任意大于0的常数，再进行判断.

解题思路：

要构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边，在运用时，习惯于检查较小的两边之和是否大于第三边．

解答过程：

（1）因为6cm＋8cm＞10cm，所以6cm、8cm、10cm能构成三角形．

（2）因为3cm＋8cm＝11cm，所以3cm、8cm、11cm不能构成三角形．

（3）因为3cm＋4cm＜10cm，所以3cm、4cm、10cm不能构成三角形．

（4）设三条线段之比为4x、6x、7x，因为：

4x＋6x＞7x，所以三条线段之比为4∶6∶7时，此三条线段能构成三角形．

解题后的思考：

判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：

（1）判断出较长的一边；

（2）看较短的两边之和是否大于较长的一边，若是，则能构成三角形，若不是，则不能构成三角形．

例7.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．

思路分析：

题意分析：

△ABC是一个等腰三角形，它的周长被BD分成AB＋AD和BC＋DC两部分，这两部分的长度分别12cm和15cm．

解题思路：

因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分周长不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．

①②

解答过程：

如图①所示，设AB＝x，AD＝CD＝

x．

（1）若AB＋AD＝12，即x＋

x＝12，所以x＝8，

即AB＝AC＝8，则CD＝4．

故BC＝15－4＝11．

此时AB＋AC＞BC，所以三边长为8、8、11．

（2）如图②所示，若AB＋AD＝15，即x＋

x＝15，所以x＝10．

即AB＝AC＝10，则CD＝5．

故BC＝12－5＝7．

显然此时三角形存在，所以三边长为10、10、7．

综上所述，此三角形的三边长分别为8、8、11或10、10、7．

解题后的思考：

由于等腰三角形的腰和底边的长度不相等，所以在求其边长或周长的时候，常要分类讨论．

例8.如图所示，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点，现要建一个维修站O，为了使维修站到四口油井的距离之和最小，试问这个维修站O建在AC、BD的交点处的理由是什么？

思路分析：

题意分析：

本题中到A、B、C、D四个点的距离之和的最小的位置已经给出，要求说出理由．

解题思路：

说明这个维修站O建在AC、BD的交点处的理由，就是说明交点O到A、B、C、D四点的距离之和最小．可以用举反例的方法说明，取不同于点O的任意一点O’，说明O’到四个点的距离之和不是最小的就可以了．

解答过程：

取异于点O的点O’，根据三角形的两边之和大于第三边有：

O’D＋O’B＞OD＋OB，O’A＋O’C＞OA＋OC．

所以O’D＋O’B＋O’A＋O’C＞OD＋OB＋OA＋OC．

即OD＋OB＋OA＋OC为最小．

解题后的思考：

解答实际应用问题的关键是如何将其转化成所学的数学问题．另外，本题还可从另外一个角度思考，因为两点之间，线段最短，所以对于点A和点C来说，只有点O在线段AC上时，OA＋OC才是最小的，同理，点O也必须在线段BD上，所以维修站O一定要建在AC和BD的交点处．

小结：

三角形的三边关系是三角形的重要性质，也是构成三角形的必要条件，它与不等式的知识是紧密联系在一起的，以后学不等式的时候，同学们要注意记得将它们进行综合学习．

1.在运用“三角形任意两边的和大于第三边”时，一般情况下，找出较短的两边和最长的边，只判断较短两边的和大于最长的边就可以了，不必一一验证．

2.对于三角形的角平分线、中线和高，我们探究出了一些重要性质．如三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形中如果有两条高，在求高或边长时常用等积法．

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）

2.在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（）

A.4、5、6B.6、8、15C.7、5、12D.3、7、13

3.如图所示，线段AD把△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是（）

A.三角形的角平分线B.三角形的中线

C.三角形的高D.以上都不对

4.在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线，最短的是（）

A.高B.中线C.角平分线D.不能确定

5.已知三角形的周长是15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

*6.在下列长度的四根木棒中，能与4cm和9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）

A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm

**7.若一等腰三角形的周长为15cm，一边长是3cm，则它的另一边长是（）

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.无法确定

**8.如果三角形的两边分别是3和5，那么这个三角形的周长可能是（）

A.15B.16C.8D.7

二、填空题

9.如图所示，三角形的个数为__________个，其中以∠ABC为一个内角的三角形有__________，以AD为一边的三角形有__________．

10.如图所示，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝__________＝

__________；CE是△ABC的中线，则AE＝__________＝

__________；BF是△ABC的高，则BF__________AC，或∠BFC＝__________＝90°．

11.如图所示，工人师傅砌门时常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是__________．

12.等边三角形的边长是5，则周长为__________．

*13.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm、6cm，则第三边的长为__________cm．

**14.三角形三条边的长是三个连续的自然数，且三角形的周长是18，则这个三角形的三条边长分别为__________．

三、解答题

15.如图所示，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm．求：

（1）△ABC的面积；

（2）CD的长．

16.如图所示，D、E、F分别为BC、AB、AD的中点，且△ABD的面积为4，求△DEF和△ABC的面积．

*17.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F．试问：

EF是△BDE的角平分线吗？

说明理由．

**18.有四根长度分别为5cm、9cm、13cm和7cm的木棍，任意取其中三根搭三角形，一共可以搭多少种不同形状的三角形？

请画出草图．

四、拓广探索

**19.如图所示，观察下面一组图形，根据其变化规律，可得第n个图形中三角形的个数S为__________．

一、选择题

1.C2、A3、B

4.A解析：

依据垂线段最短进行判断．

5.C解析：

设最短边的长是xcm，则x＋2x＋2x＝15，解得x＝3（cm），故选C．

6.C解析：

设第三边的长为xcm，则4＋9＞x，即x＜13；且x＋4＞9，即x＞5．9cm在这个范围内．

7.B解析：

当3cm是腰长时，底边长是15－3－3＝9，因为3＋3＜9，此时不能构成三角形；当3cm是底边长时，腰长为（15－3）÷2＝6，此时三边长为6cm、6cm、3cm，能构成三角形．故选B．

8.A解析：

设第三边的长为x，则3＋5＞x，即x＜8，且3＋x＞5，即x＞2．所以第三边的长大于2而小于8，其周长3＋5＋x大于10而小于16，故选A．

二、填空题

9.8，△ABC与△ABD，△ADC与△ADB

10.∠DAC∠BAC；BEAB；⊥，∠BFA

11.三角形具有稳定性

12.15

13.6解析：

注意当2是腰长时，不能构成三角形．

14.5、6、7解析：

根据题意设这个三角形的三边长分别为x－1、x、x＋1，则（x－1）＋x＋（x＋1）＝18，解得x＝6，所以这三边长分别为5、6、7．

三、解答题

15.解：

（1）S△ABC＝

BC·AC＝

×12×5＝30（cm2）．

（2）因为S△ABC＝

BC·AC＝

AB·CD，即

BC·AC＝

AB·CD，所以

×12×5＝

×13×CD，解得CD＝

（cm）．

16.解：

因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD＝S△ADC，又因为S△ABD＝4，所以S△ABC＝2×4＝8．因为DE是△ABD的中线，所以S△ADE＝S△BDE＝

S△ABD＝2．又因为EF是△ADE的中线，所以S△DEF＝S△AEF＝

S△ADE＝1．即S△DEF＝1，S△ABC＝8．

17.解：

EF是△BDE的角平分线，理由如下：

因为EF∥AD，所以∠FED＝∠ADE，∠BEF＝∠BAD，因为DE∥AC，所以∠EDA＝∠DAC，所以∠FED＝∠DAC，因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠BEF＝∠FED，所以EF为△BDE的角平分线．

18.解：

从5cm、9cm、13cm和7cm中任意取三个，有四种取法，分别是：

①5cm、9cm、13cm，②5cm、9cm、7cm，③5cm、13cm、7cm，④9cm、13cm、7cm．其中③不能构成三角形，所以一共可以搭三种不同形状的三角形，图略．

四、拓广探索

19.解：

S＝

（n＋1）（n＋2）．解析：

观察发现，下底边中有几条线段，三角形的个数就有几个，运用数线段条数的方法，在第1个图形中，三角形的个数S＝3＝2＋1，在第2个图形中，S＝6＝3＋2＋1，在第3个图形中，S＝4＋3＋2＋1，在第4个图形中，S＝5＋4＋3＋2＋1，…，在第n个图形中，S＝（n＋1）＋n＋…＋2＋1．关键是怎样求出S，因为S＋S＝（n＋1）＋n＋…＋2＋1＋（n＋1）＋n＋…＋2＋1＝（n＋1＋1）＋（n＋2）＋（n－1＋3）＋…＝（n＋2）＋（n＋2）＋（n＋2）＋…，（用第一个S的第1项加第二个S的倒数第1项，第一个S的第2项加第二个S的倒数第2项，这样一直加下去）．在这个式子中共有n＋1个n＋2，所以2S＝（n＋1）（n＋2），所以S＝

（n＋1）（n＋2）．