与三角形有关的线段.docx

1、与三角形有关的线段年 级初一学科数学内容标题与三角形有关的线段编稿老师巩建兵一、学习目标：1. 了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）；2. 理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形3. 会画出任意三角形的高、中线、角平分线4. 了解三角形的稳定性二、重点、难点：重点：三角形的有关概念和性质难点：三角形两边的和大于第三边三、考点分析：本讲内容在中考中非常重要，但难度不大，要求理解三角形、三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握三边关系及按边分类，认识三角形的稳定性并能灵活应用于实际，主要以填空题、选择题、计算题的形式出现1. 三角形的边（1）三角形的概念

2、和表示方法由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的图形叫做三角形的内角，简称三角形的角三角形有六个元素：三条边和三个角（2）三角形的分类三角形（3）三角形三边之间的关系：三角形两边的和大于第三边2. 三角形的高、中线和角平分线（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高画三角形的高时，只需向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高；三角形的高是线段；三角形的高线（高所在的直线）交于一点（2）三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和

3、它的对边中点的线段叫做三角形的中线一个三角形有三条中线，且都在三角形的内部，并相交于一点三角形的中线是一条线段（3）三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线3. 三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状，四边形等其他的多边形不具有稳定性知识点一：三角形的有关概念例1. 如图所示，在ABC中，12，G为AD中点，延长B

4、G交AC于EF为AB上一点，CFAD于H，下列判断正确的有（ ）AD是ABE的角平分线；BE是ABD边AD上的中线；CH是ACD边AD上的高A0个B1个 C2个D3个思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高、中线和角平分线定义的理解解题思路：由12知AD平分BAE，但AD不是ABE内的线段，所以错；同理，BE经过ABD边AD的中点G，但BE不是ABD中的线段，故不正确；符合三角形的高的定义，是正确的解答过程：B解题后的思考：解答本题的关键是正确理解三角形的高、中线和角平分线的定义，三角形的高、中线和角平分线是线段，是三角形的一个顶点与这个顶点对边上某点所连的线段例2. 如图所示，在ABC中，A

5、D、CE是ABC的两条高，且BC5cm，AD3cm，CE4cm，求AB的长思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高的定义的理解解题思路：在解答时，首先要弄清三角形的边与边上的高的对应关系，然后利用三角形面积公式建立等式求解即可解答过程：在ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，所以SABCABCEBCAD，即AB453，AB（cm）解题后的思考：利用面积相等来求线段的长度是一种特殊方法，这种方法可用于已知三角形的两边和这两边上的高（四条线段中的三条）求第四条线段的长度例3. 如图，是一个正五边形木架，那么至少需要加钉几根木条才能固定该正五边形木架？思路分析：题意分析：此题考查三角形稳定性

6、的应用解题思路：这是一个五边形，要把它的各边都分割到三角形中才能将其固定，这样的木条至少需要2根解答过程：至少需要加钉2根木条解题后的思考：由于三角形具有稳定性，而其他图形不具有稳定性因此要确定至少需要几根木条才能固定多边形木架，只需确定该多边形至少能分割成几个互不重叠的三角形例4. 解答下列问题：（1）ABC的中线AD，把ABC分成ABD和ACD，这两个三角形的面积有什么关系？证明你的结论（2）你能把一块三角形的土地分成面积相等的四部分分别种西红柿、黄瓜、茄子和土豆吗？画出你的设计图思路分析：题意分析：本题考查三角形中线的性质解题思路：被中线AD分成的两个三角形ABD和ACD的边BDDC，且

7、这两个三角形中，BD、DC边上的高相同，所以这两个三角形面积相等应用这一结论可将一个三角形分成面积相等的四部分，但应注意分法可能有多种解答过程：（1）如图所示，因为AD是ABC的中线，所以BDDC过点A作AEBC于E，则AE是ABD的高，也是ADC的高所以SABDBDAE，SADCDCAE所以SABDSADC（2）方法不唯一，如下图所示在图中BEDEDFFC；在图中BDDC，AEBE，AFFC；在图中BDDC，AEDE还有一些其他分法，原理是一样的解题后的思考：三角形的中线把一边平分，并且把这个三角形的面积平分我们常用这个结论来说明两个三角形面积相等小结：在三角形的有关概念中，应重点掌握三角形

8、的角平分线、中线和高的定义与性质如：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，三角形的边与该边上的高的积相等知识点二：三角形的三边关系例5. 已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）A6个 B5个 C4个 D3个思路分析：题意分析：本题考查三角形的三边关系解题思路：x的取值不能太大，因为有38x，即x11x的取值也不能太小，因为有3x8，即x5，在这个范围内的偶数有6、8、10，共3个解答过程：D解题后的思考：解答这个问题要注意两点：对于x的取值要保证3、8、x能组成三角形，也就是要满足任意两边之和大于第三边x的值为偶数学了不等式的知识后解答本题会更容易一些例6.

9、以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成三角形？（1）6cm，8cm，10cm；（2）3cm，8cm，11cm；（3）3cm，4cm，10cm；（4）三条线段之比为467思路分析：题意分析：前三个小题所给线段长度是确定的数值，容易进行决断，第（4）小题的三条线段是比例关系，可以设其长度分别为4x、6x、7x，其中x是任意大于0的常数，再进行判断.解题思路：要构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边，在运用时，习惯于检查较小的两边之和是否大于第三边解答过程：（1）因为6cm8cm10cm，所以6cm、8cm、10cm能构成三角形（2）因为3cm8cm11cm，所以3c

10、m、8cm、11cm不能构成三角形（3）因为3cm4cm10cm，所以3cm、4cm、10cm不能构成三角形（4）设三条线段之比为4x、6x、7x，因为：4x6x7x，所以三条线段之比为467时，此三条线段能构成三角形解题后的思考：判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：（1）判断出较长的一边；（2）看较短的两边之和是否大于较长的一边，若是，则能构成三角形，若不是，则不能构成三角形例7. 在ABC中，ABAC，AC边上的中线BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长思路分析：题意分析：ABC是一个等腰三角形，它的周长被BD分成ABAD和BCDC两部分，这两部分的长度

11、分别12cm和15cm解题思路：因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以ADCD，造成两部分周长不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论 解答过程：如图所示，设ABx，ADCDx（1）若ABAD12，即xx12，所以x8，即ABAC8，则CD4故BC15411此时ABACBC，所以三边长为8、8、11（2）如图所示，若ABAD15，即xx15，所以x10即ABAC10，则CD5故BC1257显然此时三角形存在，所以三边长为10、10、7综上所述，此三角形的三边长分别为8、8、11或10、10、7解题后的思考：由于等腰三角形的腰和底边的长度不相等，所以在求其边长或周长的时候，常要分类讨

12、论例8. 如图所示，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点，现要建一个维修站O，为了使维修站到四口油井的距离之和最小，试问这个维修站O建在AC、BD的交点处的理由是什么？思路分析：题意分析：本题中到A、B、C、D四个点的距离之和的最小的位置已经给出，要求说出理由解题思路：说明这个维修站O建在AC、BD的交点处的理由，就是说明交点O到A、B、C、D四点的距离之和最小可以用举反例的方法说明，取不同于点O的任意一点O，说明O到四个点的距离之和不是最小的就可以了解答过程：取异于点O的点O，根据三角形的两边之和大于第三边有：ODOBODOB，OAOCOAOC所以ODOBOAOCODOBOAOC即

13、ODOBOAOC为最小解题后的思考：解答实际应用问题的关键是如何将其转化成所学的数学问题另外，本题还可从另外一个角度思考，因为两点之间，线段最短，所以对于点A和点C来说，只有点O在线段AC上时，OAOC才是最小的，同理，点O也必须在线段BD上，所以维修站O一定要建在AC和BD的交点处小结：三角形的三边关系是三角形的重要性质，也是构成三角形的必要条件，它与不等式的知识是紧密联系在一起的，以后学不等式的时候，同学们要注意记得将它们进行综合学习1. 在运用“三角形任意两边的和大于第三边”时，一般情况下，找出较短的两边和最长的边，只判断较短两边的和大于最长的边就可以了，不必一一验证2. 对于三角形的角

14、平分线、中线和高，我们探究出了一些重要性质如三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形中如果有两条高，在求高或边长时常用等积法（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）2. 在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）A. 4、5、6 B. 6、8、15 C. 7、5、12 D. 3、7、133. 如图所示，线段AD把ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是（ ）A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线C. 三角形的高 D. 以上都不对4. 在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线，最短的是（ ）A. 高 B. 中

15、线 C. 角平分线 D. 不能确定5. 已知三角形的周长是15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（ ）A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm*6. 在下列长度的四根木棒中，能与4cm和9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A. 4cm B. 5cm C. 9cm D. 13cm*7. 若一等腰三角形的周长为15cm，一边长是3cm，则它的另一边长是（ ）A. 3cm B. 6cm C. 3cm或6cm D. 无法确定*8. 如果三角形的两边分别是3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）A. 15 B. 16 C. 8 D. 7二、填空题9. 如图所示，三角

16、形的个数为_个，其中以ABC为一个内角的三角形有_，以AD为一边的三角形有_10. 如图所示，AD是ABC的角平分线，则BAD_；CE是ABC的中线，则AE_；BF是ABC的高，则BF_AC，或BFC_9011. 如图所示，工人师傅砌门时常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是_12. 等边三角形的边长是5，则周长为_*13. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm、6cm，则第三边的长为_cm*14. 三角形三条边的长是三个连续的自然数，且三角形的周长是18，则这个三角形的三条边长分别为_三、解答题15. 如图所示，已知直角三角形ABC中，ACB90，CD是AB边上的高

17、，AB13cm，BC12cm，AC5cm求：（1）ABC的面积；（2）CD的长16. 如图所示，D、E、F分别为BC、AB、AD的中点，且ABD的面积为4，求DEF和ABC的面积*17. 如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAC交AB于E，EFAD交BC于F试问：EF是BDE的角平分线吗？说明理由*18. 有四根长度分别为5cm、9cm、13cm和7cm的木棍，任意取其中三根搭三角形，一共可以搭多少种不同形状的三角形？请画出草图四、拓广探索*19. 如图所示，观察下面一组图形，根据其变化规律，可得第n个图形中三角形的个数S为_一、选择题1. C 2、A 3、B4. A 解析：依据垂

18、线段最短进行判断5. C 解析：设最短边的长是x cm，则x2x2x15，解得x3（cm），故选C6. C 解析：设第三边的长为x cm，则49x，即x13；且x49，即x59cm在这个范围内7. B 解析：当3cm是腰长时，底边长是15339，因为339，此时不能构成三角形；当3cm是底边长时，腰长为（153）26，此时三边长为6cm、6cm、3cm，能构成三角形故选B8. A 解析：设第三边的长为x，则35x，即x8，且3x5，即x2所以第三边的长大于2而小于8，其周长35x大于10而小于16，故选A二、填空题9. 8，ABC与ABD，ADC与ADB10. DAC BAC；BE AB；，B

19、FA11. 三角形具有稳定性12. 1513. 6 解析：注意当2是腰长时，不能构成三角形14. 5、6、7 解析：根据题意设这个三角形的三边长分别为x1、x、x1，则（x1）x（x1）18，解得x6，所以这三边长分别为5、6、7三、解答题15. 解：（1）SABCBCAC12530（cm2）（2）因为SABCBCACABCD，即BCACABCD，所以12513CD，解得CD（cm）16. 解：因为AD是ABC的中线，所以SABDSADC，又因为SABD4，所以SABC248因为DE是ABD的中线，所以SADESBDESABD2又因为EF是ADE的中线，所以SDEFSAEFSADE1即SDEF

20、1，SABC817. 解：EF是BDE的角平分线，理由如下：因为EFAD，所以FEDADE，BEFBAD，因为DEAC，所以EDADAC，所以FEDDAC，因为AD为BAC的角平分线，所以BADDAC，所以BEFFED，所以EF为BDE的角平分线18. 解：从5cm、9cm、13cm和7cm中任意取三个，有四种取法，分别是：5cm、9cm、13cm，5cm、9cm、7cm，5cm、13cm、7cm，9cm、13cm、7cm其中不能构成三角形，所以一共可以搭三种不同形状的三角形，图略四、拓广探索19. 解：S（n1）（n2）解析：观察发现，下底边中有几条线段，三角形的个数就有几个，运用数线段条数的方法，在第1个图形中，三角形的个数S321，在第2个图形中，S6321，在第3个图形中，S4321，在第4个图形中，S54321，在第n个图形中，S（n1）n21关键是怎样求出S，因为SS（n1）n21（n1）n21（n11）（n2）（n13）（n2）（n2）（n2），（用第一个S的第1项加第二个S的倒数第1项，第一个S的第2项加第二个S的倒数第2项，这样一直加下去）在这个式子中共有n1个n2，所以2S（n1）（n2），所以S（n1）（n2）