弹性力学-第二章应力状态理论.ppt

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张量在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。

简化缩写记号表达物理量的集合。

显著优点基本方程以及其数学推导简洁张量的特征整体与描述坐标系无关分量需要通过适当的坐标系定义一般张量曲线坐标系定义,21张量分析基础,应力状态理论,第二章,应力状态理论,笛卡儿（Descartes）张量定义,应力状态理论,三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。

位移分量u，v，w缩写记为ui（i=1,2,3）,表示为u1,u2,u3,9个独立变量的集合，两个下标来表示,sij和eij9个应力分量或应变分量,sij,k27个独立变量的集合用三个下标表示,i下标,应力状态理论,求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。

哑标：

出现两次的下标求和后消失,自由标：

非重复下标,自由标个数表示张量表达式代表的方程数,应力状态理论,偏导数的下标记法缩写张量对坐标xi偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。

利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为,张量的偏导数集合仍然是张量（不作证明）,应力状态理论,特殊的张量符号,克罗内克尔（KroneckerDelta）记号dij,显然,克罗内克尔记号是二阶张量运算规律,应力状态理论,置换符号eijk,偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列,应力状态理论,二阶对称张量反对称张量,任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。

张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。

应力状态理论,面力：

作用在物体表面上的力，如接触力、液体压力等。

用表示。

单位：

N/m2。

外力：

构件外物体作用在构件上的力。

22体力和面力,应力状态理论,体力：

分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯性力等。

用Fx，Fy，Fz表示。

单位：

N/m3。

集中力：

当面积趋于零时，面力的合力。

用P、F表示。

单位：

N。

内力：

由于外力作用，在构件内各部分之间引起的相互作用力。

内力的特点：

1.随外力的变化而变化，是“附加内力”。

2.内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。

内力的求法：

截面法。

应力状态理论,平均应力：

全应力：

应力：

内力的分布集度。

全应力分解为：

23应力和一点的应力状态,应力状态理论,x面的应力：

y面的应力：

z面的应力：

应力状态理论,应力状态的表示单元体：

一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。

单元体的性质任一面上，应力均布；,单元体：

构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

应力状态理论,单元体上的应力分量：

xyz,正应力：

剪应力：

xyyxyzzyzxxz,应力状态理论,应力张量：

应力分量x、y、z、xy、yx、yz、zy、zx、xz，构成应力张量。

xyyxyzzyzxxz,应力张量为二阶张量。

应力张量为对称张量。

一点的应力状态完全由应力张量确定。

应力状态理论,v平面ABC的外法线,v的方向弦为：

则：

PABC的体积为,ABC上的应力为fv,24与坐标倾斜的微分面上的应力,应力状态理论,体力为Fx，Fy，Fz,由,当PABCP时:

同理，由,应力状态理论,ABC上的正应力：

将上式fvx,fvy,fvz代入,则:

应力状态理论,应力分量的边界值与面力之间的关系（应力边界条件）。

如果ABC是物体边界面：

面力,应力状态理论,例1：

已知某点的应力状态为：

求：

作用于过该点，方程为的平面外侧的正应力和剪应力。

解：

应力状态理论,面力：

方向：

代入应力边界条件:

应力状态理论,

（2）01B边界：

面力：

方向：

代入应力边界条件:

应力状态理论,例3:

计算图示薄板齿尖A点的应力。

解：

1.AB:

l1=cos,m1=sin,AB应力边界条件为：

（1）,应力状态理论,2.AC:

l2=cos,m2=-sin,AC应力边界条件为：

（2）,A是AB与AC的交点，A点的应力同时满足

（1）

（2），当0时得：

应力状态理论,1.直角坐标形式平衡方程,25空间问题平衡微分方程,物体内任意一点P,应力状态理论,y,z,x,o,A,B,C,P,z,zy,zx,x,xz,xy,y,yx,yz,由,（平衡方程）,应力状态理论,新坐标系与的夹角方向余弦为,新坐标系下的应力分量为,26应力张量及其坐标变换式,应力状态理论,建立坐标系,设斜截面法线与轴方向一致,则应力矢量,其中,应力状态理论,将向轴投影就得到,向轴投影就得到,斜截面ABC法线n与轴方向相同,向轴投影就得到,应力状态理论,应力状态理论,张量表示为,矩阵表示为,应力状态理论,应力分量满足张量变化规则应力张量为二阶对称张量转轴公式表明：

新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。

应力张量可以确定一点的应力状态。

坐标轴转轴后，应力分量发生改变。

但是作为整体所描述的应力状态没有变化,应力状态理论,27主应力与应力主向,主应力：

剪应力为零面上的正应力。

（应力主向，应力主面）,应力状态理论,即为主应力,应力状态理论,其中：

主元之和,代数主子式之和,应力张量元素构成的行列式,应力状态不变量,应力状态理论,卡尔丹公式,应力状态理论,应力状态特征方程确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。

主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。

因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。

I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。

应力状态理论,主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。

因此特征方程的三个根是确定的。

特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。

根据三次方程性质可以证明。

任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。

应力不变量性质,坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。

应力不变量正是对应力状态性质的描述。

不变性实数性正交性,应力状态理论,主应力正交性证明：

下面证明下述结论：

1.若s1s2s3，特征方程无重根；应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，特征方程有两重根；s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。

而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。

应力状态理论,设s1，s2，s3的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则,分别乘以l2，m2，n2,分别乘以-l1,-m1,-n1,六式相加，可得,应力状态理论,同理,如果s1s2s3,3个应力主方向相互垂直,如果s1=s2s3,可以等于零，也可以不等于零。

s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。

s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。

应力状态理论,如果s1=s2=s3,则l1l2+m1m2+n1n2l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3均可为零或者不为零。

任何方向都是应力主方向。

因此问题可证。

1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。

而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3.若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。

应力状态理论,应力主向，应力主面,所对应的应力主向,同理可求所对应的应力主向,下面来分析确定主应力的作用方位及主平面,应力状态理论,28最大与最小应力,主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。

应力状态理论,最大最小切应力,应力状态理论,最大切应力,应力状态理论,主切应力,A,B,C,fvx,fvy,fvz,fv,29应力圆,例1：

已知某点的应力状态为：

求：

主应力和最大剪应力。

解：

应力状态理论,