双曲线的离心率.docx
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双曲线的离心率
双曲线的离心率
2
X
1.已知双曲线—
a
笃=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=4x，则双曲线的离心率为（
b23
2
2•过双曲线笃
a
2
占=1（a0,b.0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有
b2
一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（
2
3•过双曲线笃一
a
=1（a>0,b>0）的左焦点F（-c,0）（c>0）,作圆
2
22a
x-y的切线，切点为E,延长FE
4
交双曲线右支于点
，则双曲线的离心率为（
2x
2
y
2a
_b2
2
2
x
y
2
■2
a
b
5•已知F,,F2是双曲线
4•若点P（2,0）到双曲线
=1（a■0,b■0）的一条渐近线的距离为
2，则该双曲线的离心率为（
=1（a0,b0）的两焦点，以点卩!
为直角顶点作等腰直角三角形M&F2，若边
MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
X2y2
6•如图，Fi、F2是双曲线—牙=1（a0,b0）的左、右焦点，过Fi的直线I与双曲线的左右两支分别交于ab
点A、B•若ABF?
为等边三角形，则双曲线的离心率为
7•当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生
椭圆”•则离心率为,3的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为
22
8已知点P是双曲线笃-每=1,a0,b0右支上一点，片应分别是双曲线的左、右焦点，I为.沪吋2
ab
1
的内心，若S.iPF^S.IPF^-S■i：
f1f2成立，则双曲线的离心率为（）
22
9•已知Fi,F2分别是双曲线c:
X_=i（a0,b0）的左、右焦点，0为坐标原点，P为双曲线右支上的
ab
一点，PFl与以F2为圆心，0F2为半径的圆相切于点Q，且Q恰好是PFl的中点，则双曲线C的离心率为（）
22
10•已知双曲线笃-每=1a0,b0的渐近线与实轴的夹角为30，则双曲线的离心率为（）
ab
22
xy
11•已知A是双曲线—2=1（a0,b0）的左顶点，f「F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，
ab
G是APFF?
的重心，若GA二XPFi，则双曲线的离心率为
22
12•双曲线笃_与=1（a0,b0）的左右焦点分别为Fi、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两
ab
点，若\F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，贝Ue2
22
AP_PQ，则15•过双曲线笃-爲=1（a0,b■0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条ab
渐近线的交点分别为B,C•若2AB=BC，则双曲线的离心率是（）
22
Xy
16.已知F1、F2分别是双曲线C2=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|
ab
为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
22
Xy
17•设F1、F2分别为双曲线2-2=1（a.0,b.0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1||PF2^3b,
ab
9
|PF1||PF2戶ab，则该双曲线的离心率为（）
4
x2y2
18•若点P是以F1,F2为焦点的双曲线一-二=1上一点，满足PF1丄PF2，且PF1=2PF2,则此双曲线的离心
a2b2
率为•
2
社-1（a0,b0）的两条渐近线分别交
b
2
19•已知F为抛物线y=2px（p0）的焦点，抛物线的准线与双曲线于A、B两点•若MFB为直角三角形，则双曲线的离心率为___
2
x
20•如图，F1,F2是椭圆C1:
y2=1与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是G,C2在第二，第四象限的公共点,
4
2222
若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是
21.双曲线G:
与=1与双曲线C2:
务…E--1的离
abab
11
心率分别为e和e?
，则一^2-
e1e2
二一与工1（&>0丄>0）
22•已知双曲线口亠孑的左焦点为F，若过点F且倾斜角为4寶的直线与双曲线的右支有且只有
一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是•
22
Xy
23•设F1、F2分别为双曲线二2-1（a0,b0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使
ab
PF1PF2=0,且'FPF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为
参考答案
1.A
【解析】
试题分析：
由渐近线方程得,考点：
求双曲线的离心率.
2.D
【解析】
222
即4：
：
：
C了:
:
:
9，所以5：
.:
:
:
10，即,5:
:
:
e：
：
：
•.10.
aa
考点：
双曲线的性质.
【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一
222
关于a,b,c的一个关系式，利用b=c-a消去b,然后变形求e,并且需注意e>1.
3.C
【解析】
试题分析：
由OP=20?
-OF得O?
〉1（OP・OF），所以E是FP的中点，设F2是右焦
2
点，贝VO是FF2的中点，所以OE//F2P，又E切点，即OE—FP，所以F?
P_PF,
PF?
=20E=a，点P双曲线上，故PF—PF?
=2a,所以PF=3a,于是由
考点：
双曲线的几何性质.
4.A
【解析】
试题分析：
双曲线
吕七=1的一条渐近线为bx-ay=0，由题意2，化简
ab、a2b2
得a=b，所以c=a2b^.2a,e2，故选A.
a
考点：
双曲线的性质.
5.A
【解析】
e2i0
2
考点：
双曲线方程及性质
6.B
【解析】
试题分析：
因为-ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m,A为双曲线上一点,
考点：
双曲线的简单性质
7.D
【解析】
考点：
双曲线的简单性质
8.C
【解析】
试题分析：
如图，设圆I与LPF1F2的三边F1F2,PFi,PF2分别相切于点E,F,G，连接
1r
r
.r
；Is1ffF匚
PF1
=—
PF2
十一
F1F2
径.；Sip^=Si2
r
两边约去得：
2
11
P^-|1Ff根据双曲线定义，得Ph-PF^2a^|F1F2
c
以离心率为e2，故选c.
a
【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下
五种情况①，直接求出a,c，从而求出e②构造a,c的齐次式，求出e③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于e的不等式，解出e的取
1
值范围。
本题中，根据题设条件I为：
PF1F2的内心，又S]PF=S]PFS[FF2,可以建
立关于焦半径和焦距的关系。
从而找出a,c之间的关系，求出离心率e。
9.A
【解析】
试题分析：
由题意of2为半径的圆相切于点Q，且Q恰好是PFl的中点，连接
F2Q,则EQ丄PRPF=FF=2,cPQQFP为双曲线右支上的一点，所以
PF—PF=2a卩Pi&2+c2a,RQ=c+a,在直角三角形
22
FiQF2,QF22QFi^FiF22r（ac）2c^（2c）2，化简得a2a^2c=°，式子的两端
同乘以a2，可得2e-2—1"，解得3，又因为e1,3，所以应选A.
22
考点：
双曲线的离心率
10.C
【解析】
试题分析：
渐近线方程为y二-x.由于渐近线与实轴夹角为
a
所以“1w，故选C考点：
离心率计算问题.
11.B
【解析】
OA
OG
OF1
OP
试题分析：
若GA—PR,所以GA//PF1,又因为G是PF1F2的重心，所以
-，所以空=1,・e=£=3，故选B.
3c3a
考点：
I•双曲线的几何性质；2•三角形重心的性质.
i2.C
【解析】
试题分析：
由双曲线的定义可得AR_AF2=2a,
AFi+|BFi—AB|=4a,因为AFi=|AB,所以BFi
BFi-BF2=2a,两式相加可得
=4a,代入BFi—BF2=2a可得
考点：
双曲线的定义.
I3.A
【解析】
BF2=2a.
考点：
双曲线的简单性质
i4.A
【解析】
试题分析：
根据题意可知，点P在以（2a,0）为圆心，以a为半径的圆上，可以得到圆的方
程为（x-2a）2•y2二a2，该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组
考点：
1.双曲线方程与性质；2.直线方程；3.向量的坐标运算
16.B
【解析】试题分析：
由题意得一-.-，双曲线的渐近线方程为程y=：
一到渐近线的距离_一一:
；-关于渐近线的对称点为-,与「-与渐近线交于点「，可得'；
而芒为n罪:
的中点，为门：
，.；的中点，所以所以■■■-:
-；在二角形扎.川F；中，0打-:
\.r■-•「U，即，而:
，可得-一•，所以离心率'--.选B.
a
■「_一；双曲线
-
求出离心率.
17.B
【解析】
考点：
双曲线的标准方程与几何性质•相关知识点：
点到线的距离
考点：
双曲线性质
1&■5
【解析】
试题分析：
由双曲线的定义可知
PFi—PF?
=2PF2-PF2=PF2
:
PF1丄PF2，二PF1
=F1F22,即5PF2
52a=4c2,・5a=c,e=—
考点：
1双曲线的定义；2双曲线的离心率.
【解析】
b
y二—x,则交点A
a
试题分析：
抛物线的准线方程为x--P，双曲线的渐近线方程为
2
（-卫如）
22a
B（-P,_如）.所以要使UAFB为直角三角形，根据对称性有/2a
如=p.-^2,所以
2aa
.,1（；）2「5•
考点：
求双曲线的离心率。
【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因e=c,e=
a
1,所以只需找到a,c或a,b
的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可,
中AFB为直角三角形，根据对称性即为如二p
2a
不需求出a,c,b的具体的值。
如本题
，从而求出a,b的一个关系，进而求出离
心率。
20•丄
2
【解析】
―
=12—
试题分析：
由题意，[AF^+AF2;2a：
4
珂2+AF22=4c2
（AF2-AFJ2=8二AF2-AF^^2，
.C2的离心率卡考点：
椭圆、双曲线的标准方程及其性质.
21.1
【解析】
考点：
双曲线离心率
考点：
求离心率范围.
23•5
【解析】
222
（2c_2a）+（2c_4a）=4c，整理可得c2_6ac+5a2=0解得e=5
考点：
双曲线性质
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