双曲线的离心率.docx
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双曲线的离心率
双曲线的离心率
2
X
1.已知双曲线—
a
笃=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=4x,则双曲线的离心率为(
b23
2
2•过双曲线笃
a
2
占=1(a0,b.0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有
b2
一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为(
2
3•过双曲线笃一
a
=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆
2
22a
x-y的切线,切点为E,延长FE
4
交双曲线右支于点
,则双曲线的离心率为(
2x
2
y
2a
_b2
2
2
x
y
2
■2
a
b
5•已知F,,F2是双曲线
4•若点P(2,0)到双曲线
=1(a■0,b■0)的一条渐近线的距离为
2,则该双曲线的离心率为(
=1(a0,b0)的两焦点,以点卩!
为直角顶点作等腰直角三角形M&F2,若边
MFi的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是
X2y2
6•如图,Fi、F2是双曲线—牙=1(a0,b0)的左、右焦点,过Fi的直线I与双曲线的左右两支分别交于ab
点A、B•若ABF?
为等边三角形,则双曲线的离心率为
7•当双曲线C不是等轴双曲线时,我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生
椭圆”•则离心率为,3的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为
22
8已知点P是双曲线笃-每=1,a0,b0右支上一点,片应分别是双曲线的左、右焦点,I为.沪吋2
ab
1
的内心,若S.iPF^S.IPF^-S■i:
f1f2成立,则双曲线的离心率为()
22
9•已知Fi,F2分别是双曲线c:
X_=i(a0,b0)的左、右焦点,0为坐标原点,P为双曲线右支上的
ab
一点,PFl与以F2为圆心,0F2为半径的圆相切于点Q,且Q恰好是PFl的中点,则双曲线C的离心率为()
22
10•已知双曲线笃-每=1a0,b0的渐近线与实轴的夹角为30,则双曲线的离心率为()
ab
22
xy
11•已知A是双曲线—2=1(a0,b0)的左顶点,f「F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,
ab
G是APFF?
的重心,若GA二XPFi,则双曲线的离心率为
22
12•双曲线笃_与=1(a0,b0)的左右焦点分别为Fi、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两
ab
点,若\F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,贝Ue2
22
AP_PQ,则15•过双曲线笃-爲=1(a0,b■0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条ab
渐近线的交点分别为B,C•若2AB=BC,则双曲线的离心率是()
22
Xy
16.已知F1、F2分别是双曲线C2=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|
ab
为半径的圆上,则双曲线C的离心率为
22
Xy
17•设F1、F2分别为双曲线2-2=1(a.0,b.0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1||PF2^3b,
ab
9
|PF1||PF2戶ab,则该双曲线的离心率为()
4
x2y2
18•若点P是以F1,F2为焦点的双曲线一-二=1上一点,满足PF1丄PF2,且PF1=2PF2,则此双曲线的离心
a2b2
率为•
2
社-1(a0,b0)的两条渐近线分别交
b
2
19•已知F为抛物线y=2px(p0)的焦点,抛物线的准线与双曲线于A、B两点•若MFB为直角三角形,则双曲线的离心率为___
2
x
20•如图,F1,F2是椭圆C1:
y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是G,C2在第二,第四象限的公共点,
4
2222
若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是
21.双曲线G:
与=1与双曲线C2:
务…E--1的离
abab
11
心率分别为e和e?
,则一^2-
e1e2
二一与工1(&>0丄>0)
22•已知双曲线口亠孑的左焦点为F,若过点F且倾斜角为4寶的直线与双曲线的右支有且只有
一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是•
22
Xy
23•设F1、F2分别为双曲线二2-1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使
ab
PF1PF2=0,且'FPF2的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为
参考答案
1.A
【解析】
试题分析:
由渐近线方程得,考点:
求双曲线的离心率.
2.D
【解析】
222
即4:
:
:
C了:
:
:
9,所以5:
.:
:
:
10,即,5:
:
:
e:
:
:
•.10.
aa
考点:
双曲线的性质.
【方法点晴】在研究双曲线的性质时,半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一
222
关于a,b,c的一个关系式,利用b=c-a消去b,然后变形求e,并且需注意e>1.
3.C
【解析】
试题分析:
由OP=20?
-OF得O?
〉1(OP・OF),所以E是FP的中点,设F2是右焦
2
点,贝VO是FF2的中点,所以OE//F2P,又E切点,即OE—FP,所以F?
P_PF,
PF?
=20E=a,点P双曲线上,故PF—PF?
=2a,所以PF=3a,于是由
考点:
双曲线的几何性质.
4.A
【解析】
试题分析:
双曲线
吕七=1的一条渐近线为bx-ay=0,由题意2,化简
ab、a2b2
得a=b,所以c=a2b^.2a,e2,故选A.
a
考点:
双曲线的性质.
5.A
【解析】
e2i0
2
考点:
双曲线方程及性质
6.B
【解析】
试题分析:
因为-ABF2为等边三角形,不妨设AB=BF2=AF2=m,A为双曲线上一点,
考点:
双曲线的简单性质
7.D
【解析】
考点:
双曲线的简单性质
8.C
【解析】
试题分析:
如图,设圆I与LPF1F2的三边F1F2,PFi,PF2分别相切于点E,F,G,连接
1r
r
.r
;Is1ffF匚
PF1
=—
PF2
十一
F1F2
径.;Sip^=Si2
r
两边约去得:
2
11
P^-|1Ff根据双曲线定义,得Ph-PF^2a^|F1F2
c
以离心率为e2,故选c.
a
【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下
五种情况①,直接求出a,c,从而求出e②构造a,c的齐次式,求出e③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于e的不等式,解出e的取
1
值范围。
本题中,根据题设条件I为:
PF1F2的内心,又S]PF=S]PFS[FF2,可以建
立关于焦半径和焦距的关系。
从而找出a,c之间的关系,求出离心率e。
9.A
【解析】
试题分析:
由题意of2为半径的圆相切于点Q,且Q恰好是PFl的中点,连接
F2Q,则EQ丄PRPF=FF=2,cPQQFP为双曲线右支上的一点,所以
PF—PF=2a卩Pi&2+c2a,RQ=c+a,在直角三角形
22
FiQF2,QF22QFi^FiF22r(ac)2c^(2c)2,化简得a2a^2c=°,式子的两端
同乘以a2,可得2e-2—1",解得3,又因为e1,3,所以应选A.
22
考点:
双曲线的离心率
10.C
【解析】
试题分析:
渐近线方程为y二-x.由于渐近线与实轴夹角为
a
所以“1w,故选C考点:
离心率计算问题.
11.B
【解析】
OA
OG
OF1
OP
试题分析:
若GA—PR,所以GA//PF1,又因为G是PF1F2的重心,所以
-,所以空=1,・e=£=3,故选B.
3c3a
考点:
I•双曲线的几何性质;2•三角形重心的性质.
i2.C
【解析】
试题分析:
由双曲线的定义可得AR_AF2=2a,
AFi+|BFi—AB|=4a,因为AFi=|AB,所以BFi
BFi-BF2=2a,两式相加可得
=4a,代入BFi—BF2=2a可得
考点:
双曲线的定义.
I3.A
【解析】
BF2=2a.
考点:
双曲线的简单性质
i4.A
【解析】
试题分析:
根据题意可知,点P在以(2a,0)为圆心,以a为半径的圆上,可以得到圆的方
程为(x-2a)2•y2二a2,该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点,即方程组
考点:
1.双曲线方程与性质;2.直线方程;3.向量的坐标运算
16.B
【解析】试题分析:
由题意得一-.-,双曲线的渐近线方程为程y=:
一到渐近线的距离_一一:
;-关于渐近线的对称点为-,与「-与渐近线交于点「,可得';
而芒为n罪:
的中点,为门:
,.;的中点,所以所以■■■-:
-;在二角形扎.川F;中,0打-:
\.r■-•「U,即,而:
,可得-一•,所以离心率'--.选B.
a
■「_一;双曲线
-
求出离心率.
17.B
【解析】
考点:
双曲线的标准方程与几何性质•相关知识点:
点到线的距离
考点:
双曲线性质
1&■5
【解析】
试题分析:
由双曲线的定义可知
PFi—PF?
=2PF2-PF2=PF2
:
PF1丄PF2,二PF1
=F1F22,即5PF2
52a=4c2,・5a=c,e=—
考点:
1双曲线的定义;2双曲线的离心率.
【解析】
b
y二—x,则交点A
a
试题分析:
抛物线的准线方程为x--P,双曲线的渐近线方程为
2
(-卫如)
22a
B(-P,_如).所以要使UAFB为直角三角形,根据对称性有/2a
如=p.-^2,所以
2aa
.,1(;)2「5•
考点:
求双曲线的离心率。
【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题,因e=c,e=
a
1,所以只需找到a,c或a,b
的关系即可,因此只需题中提供一个等量关系式即可,
中AFB为直角三角形,根据对称性即为如二p
2a
不需求出a,c,b的具体的值。
如本题
,从而求出a,b的一个关系,进而求出离
心率。
20•丄
2
【解析】
―
=12—
试题分析:
由题意,[AF^+AF2;2a:
4
珂2+AF22=4c2
(AF2-AFJ2=8二AF2-AF^^2,
.C2的离心率卡考点:
椭圆、双曲线的标准方程及其性质.
21.1
【解析】
考点:
双曲线离心率
考点:
求离心率范围.
23•5
【解析】
222
(2c_2a)+(2c_4a)=4c,整理可得c2_6ac+5a2=0解得e=5
考点:
双曲线性质