从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理.docx

从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理.docx

《从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理

从圆幂到交比，从蒙日定理到金鸣定理

金鸣mjwu@

类比于用于多线共点与多点共线的圆幂、根轴、根心及蒙日定理，本文引入平行线交比的新概念，从交比出发到行轴、行心，直至金鸣定理，导出一种的既简明又行之有效的几何证明新方法——平行交比法。

一、圆幂与交比

圆幂

交比

【定义】过点P的直线L与圆O交于A、B，则点P到圆O的圆幂定义为m（P,O）=PA*PB。

不混淆时也记为m（P）。

当P在圆外，PA与PB同向，m（P）>0；当P在圆上，m（P）=0；。

当P在圆内，PA与PB反向，m（P）<0。

可知，m（P）与直线L方向无关，而且当点P在圆O的同心圆上时，其m（P）相等。

【定义】设二条相互平行的直线构成一组平行线pl。

过点P的直线Ｌ与平行线pl交于A与B，则点P到平行线pl的交比定义为j（P,pl）=PA/PB。

（其中约定|PA|<=|PB|）。

不混淆时也记为j（P）.

如下图所示，当P在平行线pl之外，PA与PB同向，j（P）>0；当P在平行线pl的某一直线上，j（P）=0;当P在平行线之内，PA与PB反向，j（P）<0。

可知，j（P）与直线L方向无关，而且，|j（P,pl）|=d（P,pl_a）/d（P,pl_b）<=1。

其中，d表示点到直线的距离，平行线pl由直线pl_a和pl_b组成。

显然，当动点P在平行于平行线pl的某一直线上移动时，其j（P）相等。

二、根轴与行轴

根轴

行轴

【定义】对于2个圆，动点P到圆O1与到圆O2的圆幂相等之点集合，即满足m（P,O1）=m（P,O2）的点P的全体，称为圆O1与圆O2的根轴。

记为G（O1,O2）.

圆O1及圆O2的根轴是一条直线。

当圆O1及圆O2相交时，G（O1,O2）是一条包含其公共弦的直线；

当圆O1及圆O2圆O相切时，G（O1,Q）是它们的共切线；

当圆O1及圆O2相离时，G（O1,O2）是一条垂直于它们的连心线的直线。

设两圆O1,O2的方程分别为：

（x-a1）^2+（y-b1）^2-（r1）^2=0

（1）

（x-a2）^2+（y-b2）^2-（r2）^2=0

（2）

则圆O1与圆O2的根轴方程为：

2（a2-a1）x+2（b2-b1）y

+f1-f2=0,其中,

f1=（a1）^2+（b1）^2-（r1）^2

f2=（a2）^2+（b2）^2-（r2）^2

【定义】对于2组平行线，动点P到平行线pl1与到平行线pl2的交比相等的点的集合,即满足j（P,pl1）=j（P,pl2）的点P的全体，称为平行线pl1与平行线pl2的行轴。

记为H（pl1,pl2）。

一般而言，平行线pl1与平行线pl2的行轴是二条直线H1与H2。

下面分二种情况讨论。

（一），平行线pl1与平行线pl2相交不平行。

此时它们形成一个公共平行四边形。

其行轴是二条直线，即公共平行四边形的对角线H1及H2。

设平行线pl1与平行线pl2的方程为：

pl1:

a1x+b1y+c11=0

a1x+b1y+c12=0

pl2:

a2x+b2y+c21=0

a2x+b2y+c22=0

则由点到直线的距离公式，并注意到j（P,pl1）与j（P,pl2）相等必须同号，可得行轴方程如下：

（a1x+b1y+c11）/（a1x+b1y+c12）

=（a2x+b2y+c21）/（a2x+b2y+c22）

与（a1x+b1y+c12）/（a1x+b1y+c11）

=（a2x+b2y+c21）/（a2x+b2y+c22）

即，

H1：

（（c22-c21）a1+（c11-c12）a2）x

+（（c22-c21）b1+（c11-c12）b2）y

+c11c22-c12c21=0

H2:

（（c22-c21）a1+（c12-c11）a2）x

+（（c22-c21）b1+（c12-c11）b2）y

+c12c22-c11c21=0

（二），平行线pl1与平行线pl2相互平行不相交。

此时，它们的行轴通常也是二条直线H1及H2，而且平行于原平行线pl1与平行线pl2。

为简化讨论，无妨认定它们都平行于x轴，设平行线pl1与平行线pl2的方程为：

pl1:

y+c11=0；y+c12=0

pl2:

y+c21=0；y+c22=0

可得其行轴方程如下：

H1：

（c11-c12-c21+c22）y+c11c22-c12c21=0

H2：

（c12-c11-c21+c22）y+c12c22-c11c21=0

所以，当平行线pl1的间距（=|c11-c12|）与pl2的间距（=|c12-c22|）不等时，即方程H1与H2中y的系数（c11-c12-c21+c22）及（c12-c11-c21+c22）均不等于0，此时，有2条行轴。

但是当方程H1（或H2）中y的系数（c11-c12-c21+c22）或（c12-c11-c21+c22）为0，而常数项不等于0，该方程无解。

此时，仅有1条行轴H2（或H1），（另一条在无穷远处）。

两种情况的例图分别如下。

（1）pl1与pl2平行时，2条行轴之图。

（2）pl1与pl2平行时，1条行轴之图。

此表明：

当两组平行线平行时，如每组平行线的间距相等，则仅一条行轴（另一条在无穷远处）；如两组平行线中有一公共线时，则此直线为行轴。

三、根心与行心

根心

行心

【定义】对于3个圆，点P到3个圆的圆幂都相等，称该点为3个圆的根心。

下面的“根心定理”表明，3个圆的根心是它们两两个圆的根轴之交点。

三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：

（1）三根轴两两平行；

（2）三根轴完全重合；

（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

此即所谓“根心定理”。

【定义】对于3组平行线，点P到3组平行线的交比都相等，称该点为3组平行线的行心。

下面将证明3组平行线的行心是它们两两平行线的行轴之交点。

分三种情况讨论：

（一），三组平行线两两相交时，常有4个行心；

【证明】设平行线pl1与pl2有行轴h1及h2;pl2与pl3有行轴h3及h4;

Pl3与pl1有行轴h5及h6。

那么，由行轴h1,h2及h3,h4可得4个交点，即为行心，它们各自到pl1、pl2及pl3的交比都相等。

因此，当考虑Pl3与pl1的行轴h5,h6与h1,h2,h3,h4相交时必落在上述的4个行心中。

（见上面图示）。

证毕

特殊情况，当3条行轴平行时，其一行心在无穷远处。

此时仅有3个行心。

（二），三组平行线中有二组平行（与另一组不平行）时，常有4个行心。

；

（证明与第一种情况基本相同，证略）

当两组平行线平行而且每组平行线的间距相等，则2个行心（另2个在无穷远处），见下图。

（三），三组平行线完全平行，则其行轴也相互平行，或无行心（在无穷远处），或行轴变成行心。

上述内容构成了关于平行线的行心定理。

三、蒙日定理与金鸣定理

蒙日定理

金鸣定理

蒙日定理是法国数学家加斯帕尔·蒙日（GaspardMonge，1746～1818）提出的：

平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

由本文作者金鸣引入的平行线组的交比，进而导出平行线的行轴与行心，从而获得“平行线组的行心定理”，简称为“金鸣定理”：

在三组平行线中，当它们两两相交时，则常有6条行轴，4个行心，（如有行轴平行，则仅有3个行心）；当它们有二组平行线平行（与另一组相交不平行）时，也常有6条行轴，4个行心，（如两组平行线平行而且每组平行线的间距相等，则仅有2个行心）；当三组平行线完全平行时，行轴平行，或无行心，或行轴变行心。

四、蒙日定理与金鸣定理的应用比较

蒙日定理的应用例证

金鸣定理的应用例证

以国际数学奥林匹克竞赛（2016）的一道几何题为例。

在直角三角形BCF中，∠B为直角，点A在直线CF上且FA=FB，并且F在A,C之间，点D使得DA=DC并且AC是BAD的角平分线，点E使得EA=ED且AD是EAC的角平分线，M是FC中点，X使得AMXE是平行四边形，证明：

ME,FX,BD三线共点。

【证明】先证明多点共圆（BMDEA、BCXDF及FMXE），

然后用蒙日定理得三线共点。

详见[2]。

为简明起见，对国际数学奥林匹克竞赛（2016）的一道几何题加以变换：

在直角三角形BCF中，∠B为直角，延长直线CF至点A，使得FA=FB。

（见下图）。

又延长BF至点E，使得EF=EA。

过点E作CA的平行线EX。

M是FC中点，过点Ｍ分别作FE与AE的平行线MX与MD，并与EX分别交于X与D。

证明：

ME,FX,BD三线共点。

下面先给出用梯形交比法的证明，然后介绍用金鸣定理的证明，最后作出金鸣定理与蒙日定理之比较。

1，用梯形交比法证明：

所谓梯形交比是平行线交比的一种特例[1]。

（1）,显然，FMXE（图中的蓝线）及MDEB（图中的绿线）均为等腰梯形。

（2），所谓梯形交比定义为其对角线交点P到上下底平行线pl的交比。

在等腰梯形FMXE中，其对角线ME与FX的交于点P，交比j（P）为

MP/PE=FP/PX=MF/XE=MF/MA。

（3），在等腰梯形MDEB中，其对角线ME与DB的交于点Q，交比j（Q）为

MQ/QE=DQ/QB=MD/BE=MD/MA。

（因为等腰三角形MFD全等于EAF，得MF=FE）。

（4）,注意到MD=FE=MF=FE,所以

MP/PE=MQ/QE

此表明:

点P与点Q为同一点，即ME,FX,BD三线共点。

证毕

不仅如此，而且它们三线共点相交所分割线段的比值相等，且等于=斜边CF的一半：

CF的一半与直角边BF之和：

MP/PE=FP/PX=DP/PB=MF/MA

2，用金鸣定理的证明：

（1）,先确定3组平行线pl1（CA//XE）,pl2（BX//FD）,pl3（BE//MD）。

如下图，其中S为BX与CA的交点，R为BX与MD的交点。

（其中，BX//FD的证明留给读者。

）

（2）,进而可得

pl1与pl2的行轴为FX与SD（绿色），

pl1与pl3的行轴为FD与ME（红色），

pl2与pl3的行轴为BD与FR（蓝色）。

（3）,最后，由三组平行线的行心定理（金鸣定理），得其4个行心为：

P，Q，F及D。

其中，点P即为ME,FX,BD三线相交之共点。

（点Q为ME，SD，RF三线相交的共点。

）

证毕

比较：

由二者的证明过程可见，

（1），用蒙日定理要先寻找4点（或5点）共圆，而用金鸣定理则先确定4点构成二条平行线。

显然，从几何图形中寻找多点共圆比找二条平行线困难的多了，不管是目测，还是证明。

（2）用蒙日定理只能得到1点根心；而用金鸣定理则可得到4点行心，能获得更多的信息，丰富题目的结论（如本题中有2个三线共点）。

（3） 如采用平行交比法，有时可直接用“梯形交比法”更为简单。

更多的平行交比法的引用实例见 [3，4]。

参考文献：

【1】一道奥数几何题的多种证法与梯形交比法XX文库2017.2

【2】

【3】平行交比法及其应用实例XX文库2017.3

【4】用金鸣定理证明四线共点XX文库2017.3