从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理.docx

1、从圆幂到交比从蒙日定理到金鸣定理从圆幂到交比，从蒙日定理到金鸣定理金鸣 mjwu类比于用于多线共点与多点共线的圆幂、根轴、根心及蒙日定理，本文引入平行线交比的新概念，从交比出发到行轴、行心，直至金鸣定理，导出一种的既简明又行之有效的几何证明新方法平行交比法。一、圆幂与交比圆幂交比【定义】 过点P的直线L与圆O交于A、B，则点P到圆O的圆幂定义为m(P, O)= PA*PB。不混淆时也记为m(P)。当P在圆外，PA与PB同向，m(P)0；当P在圆上，m(P)=0；。当P在圆内，PA与PB反向，m(P)0。可知，m(P)与直线L方向无关，而且当点P在圆O的同心圆上时，其m(P)相等。【定义】设二条

2、相互平行的直线构成一组平行线pl。过点P的直线与平行线pl交于A与B，则点P到平行线pl的交比定义为j(P, pl)= PA/PB。（其中约定|PA|0；当P在平行线pl的某一直线上，j(P)=0;当P在平行线之内，PA与PB反向，j(P)0。可知，j(P)与直线L方向无关，而且，| j(P, pl) |=d(P, pl_a)/d(P, pl_b)=1。其中，d表示点到直线的距离，平行线pl由直线pl_a和pl_b组成。显然，当动点P在平行于平行线pl的某一直线上移动时，其j(P)相等。二、根轴与行轴根轴行轴【定义】 对于2个圆，动点P到圆O1与到圆O2的圆幂相等之点集合，即满足m(P, O1

3、)=m(P, O2)的点P的全体，称为圆O1与圆O2的根轴。记为G(O1, O2).圆O1及圆O2的根轴是一条直线。当圆O1及圆O2相交时，G(O1, O2)是一条包含其公共弦的直线； 当圆O1及圆O2圆O相切时，G(O1, Q)是它们的共切线；当圆O1及圆O2相离时，G(O1, O2)是一条垂直于它们的连心线的直线。设两圆O1,O2的方程分别为：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0 (1)(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0 (2)则圆O1与圆O2的根轴方程为：2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0, 其中,f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2f2=(

4、a2)2+(b2)2-(r2)2【定义】 对于2组平行线，动点P到平行线pl1与到平行线pl2的交比相等的点的集合, 即满足j(P, pl1)=j(P, pl2)的点P的全体，称为平行线pl1与平行线pl2的行轴。记为H(pl1, pl2)。一般而言，平行线pl1与平行线pl2的行轴是二条直线H1与H2。下面分二种情况讨论。（一），平行线pl1与平行线pl2相交不平行。此时它们形成一个公共平行四边形。其行轴是二条直线，即公共平行四边形的对角线H1及H2。设平行线pl1与平行线pl2的方程为：pl1: a1x+b1y+c11=0a1x+b1y+c12=0pl2: a2x+b2y+c21=0a2x

5、+b2y+c22=0则由点到直线的距离公式，并注意到j(P,pl1)与j(P,pl2)相等必须同号，可得行轴方程如下：(a1x+b1y+c11)/(a1x+b1y+c12)= (a2x+b2y+c21)/(a2x+b2y+c22)与 (a1x+b1y+c12)/(a1x+b1y+c11)=( a2x+b2y+c21)/(a2x+b2y+c22)即，H1：(c22-c21)a1+(c11-c12)a2)x+(c22-c21)b1+(c11-c12)b2)y+c11c22-c12c21=0H2: (c22-c21)a1+(c12-c11)a2)x+(c22-c21)b1+(c12-c11)b2)y

6、+c12c22-c11c21 =0（二），平行线pl1与平行线pl2相互平行不相交。此时，它们的行轴通常也是二条直线H1及H2，而且平行于原平行线pl1与平行线pl2。为简化讨论，无妨认定它们都平行于x轴，设平行线pl1与平行线pl2的方程为：pl1: y+c11=0；y+c12=0pl2: y+c21=0；y+c22=0可得其行轴方程如下：H1：(c11-c12-c21+c22)y+c11c22-c12c21=0H2：(c12-c11-c21+c22)y+c12c22-c11c21=0所以，当平行线pl1的间距（=|c11-c12|）与pl2的间距（=|c12-c22|）不等时，即方程H1与

7、H2中y的系数(c11-c12-c21+c22)及(c12-c11-c21+c22)均不等于0，此时，有2条行轴。但是当方程H1（或H2）中y的系数(c11-c12-c21+c22)或(c12-c11-c21+c22)为0，而常数项不等于0，该方程无解。此时，仅有1条行轴H2（或H1），（另一条在无穷远处）。两种情况的例图分别如下。(1) pl1与pl2平行时，2条行轴之图。(2) pl1与pl2平行时，1条行轴之图。此表明：当两组平行线平行时，如每组平行线的间距相等，则仅一条行轴（另一条在无穷远处）；如两组平行线中有一公共线时，则此直线为行轴。三、根心与行心根心行心【定义】对于3个圆，点P到

8、3个圆的圆幂都相等，称该点为3个圆的根心。下面的“根心定理”表明，3个圆的根心是它们两两个圆的根轴之交点。三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。此即所谓“根心定理”。【定义】对于3组平行线，点P到3组平行线的交比都相等，称该点为3组平行线的行心。下面将证明3组平行线的行心是它们两两平行线的行轴之交点。分三种情况讨论：（一），三组平行线两两相交时，常有4个行心；【证明】 设平行线pl1与pl2有行轴h1及h2; pl2与pl3有行轴h3及h4;Pl3与pl1有行轴h5及h6。那么

9、，由行轴h1,h2及h3,h4可得4个交点，即为行心，它们各自到pl1、pl2及pl3的交比都相等。因此，当考虑Pl3与pl1的行轴h5,h6与h1,h2,h3,h4相交时必落在上述的4个行心中。（见上面图示）。证毕特殊情况，当3条行轴平行时，其一行心在无穷远处。此时仅有3个行心。（二），三组平行线中有二组平行（与另一组不平行）时，常有4个行心。；（证明与第一种情况基本相同，证略）当两组平行线平行而且每组平行线的间距相等，则2个行心（另2个在无穷远处），见下图。（三），三组平行线完全平行，则其行轴也相互平行，或无行心（在无穷远处），或行轴变成行心。上述内容构成了关于平行线的行心定理。三、蒙日定

10、理与金鸣定理蒙日定理金鸣定理蒙日定理是法国数学家加斯帕尔蒙日（Gaspard Monge，17461818）提出的：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。由本文作者金鸣引入的平行线组的交比，进而导出平行线的行轴与行心，从而获得“平行线组的行心定理”，简称为“金鸣定理”： 在三组平行线中，当它们两两相交时，则常有6条行轴，4个行心，（如有行轴平行，则仅有3个行心）；当它们有二组平行线平行（与另一组相交不平行）时，也常有6条行轴，4个行心，（如两组平行线平行而且每组平行线的间距相等，则仅有2个行心）；当三组平行线完全平

11、行时，行轴平行，或无行心，或行轴变行心。四、蒙日定理与金鸣定理的应用比较蒙日定理的应用例证金鸣定理的应用例证以国际数学奥林匹克竞赛（2016）的一道几何题为例。在直角三角形BCF中，B为直角，点A在直线CF上且FA=FB，并且F在A,C之间，点D使得DA=DC并且AC是BAD的角平分线，点E使得EA=ED且AD是EAC的角平分线， M是FC中点，X使得AMXE是平行四边形，证明：ME,FX,BD三线共点。【证明】先证明多点共圆（BMDEA、 BCXDF及FMXE），然后用蒙日定理得三线共点。详见2。为简明起见，对国际数学奥林匹克竞赛（2016）的一道几何题加以变换：在直角三角形BCF中，B为直

12、角，延长直线CF至点A，使得FA=FB。（见下图）。又延长BF至点E，使得EF=EA。过点E作CA的平行线EX。M是FC中点，过点分别作FE 与AE的平行线MX与MD，并与EX分别交于X与D。证明：ME,FX,BD三线共点。下面先给出用梯形交比法的证明，然后介绍用金鸣定理的证明，最后作出金鸣定理与蒙日定理之比较。1，用梯形交比法证明： 所谓梯形交比是平行线交比的一种特例1。(1), 显然， FMXE（图中的蓝线）及MDEB（图中的绿线）均为等腰梯形。(2)，所谓梯形交比定义为其对角线交点P到上下底平行线pl的交比。在等腰梯形FMXE中，其对角线ME与FX的交于点P，交比j(P)为MP/PE=F

13、P/PX=MF/XE=MF/MA。(3)，在等腰梯形MDEB中，其对角线ME与DB的交于点Q，交比j(Q)为MQ/QE=DQ/QB=MD/BE=MD/MA。（因为等腰三角形MFD全等于EAF，得MF=FE）。(4), 注意到MD=FE=MF=FE, 所以 MP/PE= MQ/QE此表明:点P与点Q为同一点，即ME,FX,BD三线共点。证毕不仅如此，而且它们三线共点相交所分割线段的比值相等，且等于= 斜边CF的一半：CF的一半与直角边BF之和：MP/PE=FP/PX=DP/PB=MF/MA 2，用金鸣定理的证明：(1), 先确定3组平行线pl1(CA/XE), pl2(BX/FD), pl3(B

14、E/MD)。如下图，其中S为BX与CA的交点，R为BX与MD的交点。（其中，BX/FD的证明留给读者。）(2), 进而可得pl1与 pl2的行轴为FX与SD（绿色），pl1与 pl3的行轴为FD与ME（红色），pl2与 pl3的行轴为BD与FR（蓝色）。(3), 最后，由三组平行线的行心定理（金鸣定理），得其4个行心为：P，Q，F及D。其中，点P即为ME,FX,BD三线相交之共点。（点Q为ME，SD，RF三线相交的共点。）证毕比较：由二者的证明过程可见，（1），用蒙日定理要先寻找4点（或5点）共圆，而用金鸣定理则先确定4点构成二条平行线。显然，从几何图形中寻找多点共圆比找二条平行线困难的多了，不管是目测，还是证明。（2）用蒙日定理只能得到1点根心；而用金鸣定理则可得到4点行心，能获得更多的信息，丰富题目的结论（如本题中有2个三线共点）。（3）如采用平行交比法，有时可直接用“梯形交比法”更为简单。更多的平行交比法的引用实例见3，4。参考文献：【1】 一道奥数几何题的多种证法与梯形交比法 XX文库 2017.2【2】 【3】 平行交比法及其应用实例 XX文库 2017.3【4】 用金鸣定理证明四线共点 XX文库 2017.3