利用全等思想解决动点问题的应用举例.pptx

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利用全等思想解决动点问题的应用举例博山中学宫庆军1、全等思想解决角内动点问题的应用举例2、全等思想解决三角形的动点问题的应用举例3、全等思想解决多边形的动点问题的应用举例4、全等思想解决圆的动点问题的应用举例5、全等思想解决一次函数的动点问题的应用举例6、全等思想解决二次函数的动点问题的应用举例例1、（博山初二期末+河北中考）如图，AOB=120，OP平分AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，这样的p点共有几个？

【考点提示】本题主要考查等边三角形的判定和性质，需结合全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质进行求解；【解题方法提示】在OA、OB上截取OE=OF=OP，作MPN=60，然后证明PEMPON，即可推出PM=PN；菁优网然后结合MPN=60，可得到PMN是等边三角形，至此问题即可迎刃而解.解析：

例2、（2014淄博）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：

AOCABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式

（1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60；然后由图示知CAP+PAO=OAB+PAO，即CAO=PAB所以根据SAS证得结论；

（2）利用

（1）中的结论PBAB根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B（332，32）再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，-3），所以根据点B、P的坐标易求直线BP的解析式解析：

例例3：

变式：

变式（2018淄博中考）淄博中考）

（1）操作发现：

如图，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN小明发现了：

线段GM与GN的数量关系是MG=NG；位置关系是MGNG

（2）类比思考：

如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？

请说明理由（3）深入研究：

如图，小明在

（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN的形状，并给与证明

（1）利用SAS判断出ACDAEB，得出CD=BE，ADC=ABE，进而判断出BDC+DBH=90，即：

BHD=90，最后用三角形中位线定理即可得出结论；

（2）同

（1）的方法即可得出结论；（3）同

（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论解析：

例4、（中考题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D

（1）当BQD=30时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由

（1）过P作PFQC，证明DBQDFP，根据全等三角形的性质计算即可；

（2）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答解析：

例5、如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A.C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t秒。

（1）求证：

当t=32时，四边形APQD是平行四边形；

（2）PQ是否可能平分对角线BD?

若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由。

（1）由题意可得当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=32，即可求得AP=DQ，又由APDQ，即可判定四边形APQD是平行四边形；

（2）首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，易证得DEQBEP，继而可得四边形DPBQ为平行四边形，则可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案解析：

例6、（2014湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PEPF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：

PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F，经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？

若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由1、分析题意，观察图形，想一想证明两条线段相等的方法有哪些？

2、对于

（1），连接PM，PN，根据已知条件，通过证明PMFPNE可得到结论；3、对于

（2），分两种情况：

当t1时，点E在y轴的负半轴上；当0t1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据

（1）求解；4、对于（3），分三种情况，当1t2时，当t2时，当0t1时；5、当1t2时，可分为OEQMPF或OEQMFP，根据题目信息表示出相关线段的长，再列式求解即可，现在自己试着求解其他情况下t的值解析：

例7、（2013绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A，B两点，其中A（-1，0），直线l：

x=m（m1）与x轴交于点D.

（1）求二次函数的解析式和点B的坐标.

（2）在直线l上找一点P（P在第一象限），使得以P，D，B为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）.（3）在

（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使得BPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，试说明理由.对于第

（1）问，根据抛物线的对称性即可得到点B的坐标，接下来设出函数解析式（两点式），然后将C点的坐标代入即可解答；对于第

（2）问，连接BP，BC，可分PDBBOC与PDBCOB两种情况，然后结合相似三角形的性质即可将点P的坐标表示出来；对于第（3）问，过点Q作QE直线l于点E，连接QP，BQ，由题意可知BPQ=90，PQ=BP，根据直角三角形两锐角互余得到DPB=EQP，从而得到PQEBPD；接下来根据全等三角形的性质结合第

（2）问的结论即可解答本题，不要忘记m1和Q点在第一象限.解析：