江苏省南京市玄武区届中考二模数学试题含答案.docx
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江苏省南京市玄武区届中考二模数学试题含答案
南京市玄武区2019年中考二模数学试卷
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算（－xy2）3的结果是
A．－x3y6B．x3y6C．－x3y5D．x3y5
2．29的算术平方根介于
A．6与7之间B．5与6之间C．4与5之间D．3与4之间
3．对于实数a，b，若b＜a＜0，则下列四个数中，一定是负数的是
A．a－bB．abC．
D．a＋b
4．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是
A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，5
5．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有
一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是
A．B．
C．D．
6．二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图像如图所示，
若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图像与性质描述正确的是：
A．函数y2的图像开口向上
B．函数y2的图像与x轴没有公共点
C．当x＞2时，y2随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y2的值小于0
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
7．南京属于北亚热带湿润气候，年平均降水量约为1100毫米，将数据1100用科学记数法
表示为▲．
8．若代数式1＋
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为▲．
9．分解因式（a－b）（a－9b）＋4ab的结果是▲．
10．计算
－
的结果是▲．
11．已知一元二次方程x2＋mx－3＝0的一个根为1，则m＝▲．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，连接
DE，若AB＝6，则DE＝▲．
13．在平面直角坐标系中有一点A，作点A关于y轴的对称点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A′′（1，1），则点A的坐标是（▲，▲）.
14.如图，点A在反比例函数y1＝
（x＞0）的图像上，点B在反比例函数y2＝
（x＜0）的
图像上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为▲．
15.如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，
若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A＝▲°．
16．如图，正方形ABCD与正方形CEFG，E是AD的中点，
若AB＝2，则点B与点F之间的距离为▲．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（7分）计算（x＋
＋2）÷（x－
）．
18.（7分）如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.
（1）求x的取值范围；
（2）当AB＝2BC时，x的值为▲.
19.（7分）某校1200名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．
5
4
10
15
20
25
12
8
16
人数/位
捐款金额/元
0
4
16
12
8
部分学生捐款金额条形统计图
②
部分学生捐款金额扇形统计图
①
5元
8%
10元
15元
24%
20元
25元
16%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为▲；
（2）图①中“20元”对应扇形的圆心角的度数为▲°；
（3）估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数．
20.（8分）如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．
（1）求证：
∠AOC＝2∠ABC；
（2）求证：
CD2＝OD·BD．
21.（8分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）求两辆车全部继续直行的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是（▲）
A．一辆车向左转，一辆车向右转B．两辆车都向左转
C．两辆车行驶方向相同D．两辆车行驶方向不同
22.（9分）如图是某景区每日利润y1（元）与当天游客人数x（人）的函数图像．为了吸引游客，该景区决定改革，改革后每张票价减少20元，运营成本减少800元．设改革后该景区每日利润为y2（元）．（注：
每日利润＝票价收入－运营成本）
（1）解释点A的实际意义：
▲；
（2）分别求出y1、y2关于x的函数表达式；
（3）当游客人数为多少人时，改革前的日
利润与改革后的日利润相等？
23.（8分）如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5km到达E处，此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？
（参考数据：
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
北
东
（第23题）
A
C
D
E
45°
70°
45°
B
B
24.（9分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：
四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成
（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：
当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
25.（8分）已知二次函数y＝x2－2（m＋1）x＋2m＋1（m为常数），函数图像的顶点为C．
（1）若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C的坐标；
（2）该函数的图像与x轴分别交于点A、B，若以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，求m的值．
26．（8分）在□ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．
（1）求证：
AB＝AC；
（2）若AB＝4，⊙O的半径为
，求PD的长．
27．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．
（1）当AD＝4时，求EF的长度；
（2）求△DEF的面积的最大值；
（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为▲．
（第27题）
F
E
D
C
B
A
参考答案
说明：
本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
D
C
D
C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．1.1×1038．x≠19．（a－3b）210．
11．2
12．313．（－1，5）14．－315．10216．3
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题7分）
解：
原式＝
·
3分
＝
·
4分
＝
．7分
18．（本题7分）
解：
（1）由题意得：
2分
解不等式①得：
x＜2；3分
解不等式②得：
x＞
．4分
∴不等式组的解集为：
＜x＜2．5分
（2）1．7分
19．（本题7分）
（1）50；2分
（2）72°；4分
（3）解：
50－4－16－12－8＝10，
×1200＝720．6分
答：
估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）
的学生人数为720人．7分
20．（本题8分）
证明：
连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．
∵O是BD上一点，∴OA＝OC．2分
∵OC＝OD，∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．
∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ODC．3分
同理：
∠AOB＝2∠ADO，∴∠AOC＝2（∠ADO＋∠ODC）＝2∠ADC．
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC．4分
（提示：
还可以构造圆来证明：
以点O为圆心OD为半径作⊙O，易证点A、C、D在⊙O上，
∴∠AOC＝2∠ADC又∵∠ADC＝∠ABC∴∠AOC＝2∠ABC．）
（2）证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD．
∴∠BDC＝∠CBD．
由
（1）得∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠DBC．6分
在△CDO和△BDC中
∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD
∴△CDO∽△BDC．7分
∴
＝
，
即CD2＝OD·BD．8分
21．（本题8分）
解：
（1）所有可能出现的结果有：
（直行，直行），（直行，左转），（直行，右转），（左转，直行），（左转，左转），（左转，右转），（右转，直行），（右转，左转），（右转，右转），共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两辆车全部继续直行”（记为事件A）的结果有1种，所以P（A）＝
．6分
（2）D8分
22．（本题9分）
解：
（1）改革前某景区每日运营成本为2800元；2分
（2）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b（k、b为常数，k≠0），
根据题意，当x＝0时，y1＝－2800；当x＝50时，y1＝3200．
所以
，解得
5分
所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝120x－2800．6分
根据题意，y2与x之间的函数表达式为y2＝100x－2000．7分
（3）根据题意，当y1＝y2时，得120x－2800＝100x－2000．
解得x＝40．
答：
当游客人数为40人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等.9分
23．（本题8分）
解：
如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，过点C作CN⊥AD，垂足为N．
设CN＝xkm．在Rt△ACN中，∠A＝45°，
∵tan45°＝
，∴AN＝
＝
＝x．1分
在Rt△ECN中，∠CEN＝70°，
∵tan70°＝
，∴EN＝
＝
．2分
∵CN⊥AD，BM⊥AD，∴∠ANC＝∠AMB＝90°．
∴CN∥BM．∴
＝
＝
．
又∵C为AB中点，
∴AB＝2AC，AC＝BC．
∴BM＝2CN＝2x，AN＝MN．3分
由题可知，∠MDB＝45°．
在Rt△BMD中，∠MDB＝45°，
∵tan45°＝
，∴DM＝
＝
＝2x．4分
∴18.5－2x－
＝x6分
∴x＝
≈5.5．7分
∴AE＝AN－EN＝5.5－
＝3.5．
因此，E处距离港口A大约3.5km．8分
24．（本题9分）
（1）证明：
在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE＝
AD，CF＝
BC
又∵AD＝BC，∴AE＝CF．1分
∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE．
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM＝
∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝
∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝
∠AEF，∠CFN＝
∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN．3分
在△AME和△CNF中
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，∴EM∥FN．4分
∵△AME≌△CNF，∴EM＝FN．
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形．5分
（2）∠EFM＝∠BMF，7分
AM＝BM（或：
M是AB中点）．9分
25．（本题8分）
（1）解：
∵y＝x2－2（m＋1）x＋2m＋1的图像经过点（0，0）
∴2m＋1＝0∴m＝－
1分
当m＝－
时，y＝x2－x＝（x－
）2－
∴顶点C的坐标（
，－
）3分
（2）解：
当y＝0时x2－2（m＋1）x＋2m＋1＝0
∴x1＝2m＋1，x2＝1
∴AB＝
4分
∵y＝x2－2（m＋1）x＋2m＋1＝（x－m－1）2－m2
∴顶点C的坐标（m＋1，－m2）5分
∵以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形
∴2m2＝
6分
当2m2＝2m时，m1＝0，m2＝1
当2m2＝－2m时，m1＝0，m2＝－1
当m＝0时，AB＝0（舍）
答：
m的值为1或－18分
26．（本题8分）
（1）证明：
连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．
∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，
∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°．1分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC．2分
∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
∴BE＝CE．3分
∵AF⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC．4分
（法二：
连接OP，则OP⊥AC，易证∠ABC＝
∠AOC＝∠AOP，∠AOP＝∠CAP．）
（法三：
易证∠AFC＋∠FAC＝∠FAC＋∠CAP＝90°，∠AFC＝∠CAP＝∠BCA．又∠ABC＝∠AFC，∴∠ABC＝∠BCA．）
（2）解：
连接FC，OC．
设OE＝x，则EF＝
－x．
∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．
∵AC＝AB＝4，AF＝2
，∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，
∴CF＝
＝2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2－OE2．
∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2－EF2．
∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即
2－x2＝22－（
－x）2．
解得x＝
．
∴EC＝
＝
．6分
∴BC＝2EC＝
．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝
．
∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．
∴△PAC∽△ABC，∴
＝
．∴AP＝
·AB＝2
．
∴PD＝AP－AD＝
．8分
（法二：
易证△ABE∽△AOP．）
27．（本题9分）
（1）解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝
＝
＝10．
∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°．
∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC，∴
＝
．
∴AE＝
·AB＝5．∴CE＝AC－AE＝8－5＝3．
∵DE⊥AB，∴∠DEF＝90°．∵∠EDA＝∠DEF＝90°，∴EF∥AB．
∴△CEF∽△ACB，∴
＝
．
∴EF＝
·AB＝
．3分
（2）解：
设AD＝x.
∵△AED∽△ABC，∴
＝
＝
．
∴DE＝
·BC＝
x，AE＝
·AB＝
x．
∴CE＝AC－AE＝8－
x．4分
∵△CEF∽△ACB，∴
＝
．
∴EF＝
·AB＝10－
x．5分
∴S△DEF＝
DE·EF＝－
x2＋
x＝－
（x－
）2＋6．
∴当x＝
时，S△DEF取最大值为6．
因此，△DEF的面积的最大值为6．7分
（3）
9分
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