2.5.2矩形的判定.ppt

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义务教育教科书义务教育教科书SHUXUE八年级下八年级下湖南教育出版社湖南教育出版社矩形矩形本课内容本课内容本节内容本节内容2.5矩形的判定矩形的判定本课内容本课内容本节内容本节内容2.5.21、探索并证明矩形的判定定理：

、探索并证明矩形的判定定理：

三个角是直角的四边形是矩形。

三个角是直角的四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

2、会运用矩形的判定定理判定一个四边形、会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形。

是矩形。

两组对边两组对边分别平行分别平行一个角是直角一个角是直角一般四边形一般四边形平行四边形平行四边形矩形矩形（二二）矩形矩形定义：

定义：

有一个角是有一个角是直角直角的的平行四边平行四边形形是是矩形。

矩形。

（三三）矩形性质矩形性质:

1矩形是四边形矩形是四边形,所以它具备所以它具备四边四边形形的一切性质。

的一切性质。

2矩形是矩形是平行四边形平行四边形的的特例，所以它特例，所以它具备平行四边形的一切性质。

具备平行四边形的一切性质。

3矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角。

直角。

4矩形的矩形的对角线相等。

对角线相等。

（一一）或者说或者说:

矩形的矩形的对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分.（四四）平行四边形平行四边形.矩形的矩形的对角线对角线各有什么特点各有什么特点?

动脑筋动脑筋矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？

三个角是直角呢？

两个角是的四边形是矩形吗？

三个角是直角呢？

两个角是直角呢？

直角呢？

如图如图2-46，四边形，四边形ABCD的四个角都是直角的四个角都是直角.由于由于“同旁内角互补，同旁内角互补，两直线平行两直线平行”，因此，因此ABDC，ADBC，从而四边形，从而四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.所以所以ABCD是矩形是矩形.由此得到四个角是直角的由此得到四个角是直角的四边形是四边形是矩形矩形.图图2-46何斯雨同学用这样四步画出了一个四边形，她说何斯雨同学用这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形你认为她的判断对吗？

说明你的理这就是一个矩形你认为她的判断对吗？

说明你的理由由探究探究w猜想猜想:

有三个角是直角有三个角是直角的的四边形四边形是矩形是矩形.已知已知:

如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,A=B=C=90=90.证明证明:

A=B=C=90=90,A+B=180=180,B+C=180=180.ADBC,ABCD.求证求证:

四边形四边形ABCD是矩形是矩形.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.DBCA四边形四边形ABCD是矩形是矩形.（.（矩形定义矩形定义）又又C=90C=90.动脑筋动脑筋结论结论三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：

是直角，由此得到：

几何语言：

几何语言：

A=B=C=90四边形四边形ABCD是矩形是矩形四边形中只有两个角四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图是直角，我想到了下边的图形：

形：

动脑筋动脑筋从从“矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分”这一性这一性质受到启发，你能画出对角线长度为质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个的一个矩形吗？

这样的矩形有多少个？

矩形吗？

这样的矩形有多少个？

过点过点O画两条线段画两条线段AC，BD，使得，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.连接连接AB，BC，CD，DA.则四边形则四边形ABCD是矩形，是矩形，且它的对角线长度为且它的对角线长度为4cm，如图，如图2-47.这样这样的矩形有无穷多个的矩形有无穷多个.2cm2cm图图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？

你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？

已知已知:

在在对角线相等对角线相等的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.猜想猜想:

ABCDABCD中中,AC=BD.,AC=BD.求证求证:

ABCD是矩形是矩形.探究探究或者说或者说:

对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分的的四边形四边形是矩形是矩形.证明：

证明：

在在ABCD中中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB（SSS）ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180=180,ABC9090.四边形四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）边形是矩形）猜想加证明猜想加证明定理定理:

对角线相等对角线相等的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.猜想猜想:

结论结论对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：

由此得到矩形的判定定理：

几何语言：

几何语言：

四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形AC=BD（或（或OA=OC=OB=OD）四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

）（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

）对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形吗？

吗？

议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议矩形的判定方法矩形的判定方法:

1.1.有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形是是矩形矩形.2.2.有三个角是直角有三个角是直角的的四边形四边形是矩形是矩形.3.3.对角线相等对角线相等的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.或者或者:

对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分的的四四边形边形是矩形是矩形.你能你能归纳矩形的几种判定方法吗？

归纳矩形的几种判定方法吗？

下列各句判定矩形的说法是否正确？

下列各句判定矩形的说法是否正确？

（1）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形；

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXXXXXX2022/11/7如何检查一个四边形的画框是否为矩形？

如何检查一个四边形的画框是否为矩形？

（1）

（1）测量三个角是否都是直角测量三个角是否都是直角

（1）

（1）对角线是否相等且互相平分对角线是否相等且互相平分因此因此OAB是等腰三角形是等腰三角形.

（2）设）设OAB是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OAOB，则，则AC2OA2OBBDABCDO解解

（1）如果如果ABCD是是矩形，则矩形，则AC=BD，从而，从而例例1如图，四边形如图，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交是平行四边形，它的两条对角线相交于点于点O

（1）如果）如果ABCD是矩形，试问：

是矩形，试问：

OAB是什么样的特殊三角形是什么样的特殊三角形？

（？

（2）如果）如果OAB是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OAOB，试问，试问:

ABCD是矩形吗？

是矩形吗？

因此因此ABCD是矩形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）（对角线相等的平行四边形是矩形）举举例例如图如图2-48，在，在ABCD中，它的两条对角线相交于点中，它的两条对角线相交于点O.

（1）如果）如果ABCD是矩形，试问：

是矩形，试问：

OBC是什么样是什么样的三角形？

的三角形？

（2）如果）如果OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB=OC，那么，那么ABCD是矩形吗？

是矩形吗？

例例2图图2-48举举例例

（2）OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB=OC，解解

（1）ABCD是矩形，是矩形，AC与与DB相等且互相平分相等且互相平分.OBC是等腰三角形是等腰三角形.AC=2OC=2OB=BD.ABCD是矩形是矩形.图图2-48例例3：

如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形么这个四边形是矩形已知：

如图，已知：

如图，ABCD的四个内角的平的四个内角的平分线分别相交于分线分别相交于E、F、G、H，求证：

四边形求证：

四边形EFGH为矩形为矩形BGC=90同理可证同理可证AFB=AED=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形）证明：

证明：

ABCDABCBCD=180BG平分平分ABC，CG平分平分BCD2022/11/71、能够判断一个四边形是矩形的条件是（、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A对角线相等对角线相等B对角线垂直对角线垂直C对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等D对角线垂直且相等对角线垂直且相等2、矩形的一组邻边长分别是、矩形的一组邻边长分别是3cm和和4cm，则它的对角线，则它的对角线长是长是（）cm3、如图如图,直线直线EFMN,PQ交交EF、MN于于A、C两点两点,AB、CB、CD、AD分别是分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线的角平分线,则四边形则四边形ABCD是（是（）A菱形菱形B平行四边形平行四边形C矩形矩形D不能确定不能确定C5C牛刀牛刀小试小试4、如图，矩形如图，矩形ABCD的对角的对角线线AC、BD相交于相交于O，BOC=2AOB，若，若AC=6cm,试求试求AB.解解:

BOC+AOB=180,BOC=2AOB,3AOB=180.即即AOB=60.BOC=180AOB=120.又又OB=OC,ACB=（180BOC）/2=30.在在RtABC中中,AC=6cm,AB=1/2AC=3cm牛刀牛刀小试小试1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，A=B=C=D，求证：

四边形求证：

四边形ABCD是矩形是矩形.练习练习证明证明：

因为四边形：

因为四边形中，中，A=B=C=D，四边形的内角和为四边形的内角和为360，所以所以A=B=C=D=90，所以四边形所以四边形ABCD是矩形是矩形.（三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形.）.）2.如图，在如图，在ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，AOB=60，AB=2，AC=4，求，求ABCD的面积的面积.解解：

OA=2，AB=2，OAB是等腰三角形是等腰三角形.OAB是等边三角形是等边三角形.又又AOB=60，OA=OB=2，AC=BD=4.ABCD是矩形是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.）.）作作OEAD于点于点E.E在在RtOAE中，中，AO=2，OE=1，（一一）矩形的判定方法矩形的判定方法:

1.1.有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.2.2.有三个角是直角有三个角是直角的的四边形四边形是矩形是矩形.3.3.对角线相等对角线相等的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.或者或者:

对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分的的四边形四边形是矩形是矩形.（三三）探索探索发现发现猜想猜想推理推理归纳归纳应用应用的学习方法的学习方法.小结小结（四四）一题多证一题多证,训练思维训练思维.（二二）类比类比的数学思想的数学思想.中考中考试题试题例例在四边形在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD互相平互相平分，交点为分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是件，这个条件可以是.AC=BD或或ABC，CDA，BAD，BCD之中