陈林华24.2.2切线判定和性质定理.ppt

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24.2.2直线和圆的位置关系切线的判定直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离图图形形公共点个数公共点个数公共点名称公共点名称直线名称直线名称圆心到直线距圆心到直线距离离dd与半径与半径rr的的关系关系22个个交点交点割线割线11个个切点切点切线切线dr没有没有图中直线图中直线l满足什么条件时是满足什么条件时是OO的切的切线？

线？

Ol方法方法11：

直线与圆有直线与圆有唯一公共点唯一公共点方法方法22：

直线到圆心的距离直线到圆心的距离等于半径等于半径注意：

注意：

实际证明过程中，通常不采用第一实际证明过程中，通常不采用第一种方法种方法;方法方法22从从“量化量化”的角度说明的角度说明圆的切线圆的切线的判定方法的判定方法。

（11）圆圆心心O到到直直线线l的的距距离离和和圆的半径有什么数量关系圆的半径有什么数量关系?

（22）二二者者位位置置有有什什么么关关系系？

为什么？

为什么？

（33）由此你发现了什么？

由此你发现了什么？

O请在请在O上任意取一点上任意取一点AA，连接，连接OAOA，过，过点点AA作直线作直线lOAOA。

思考：

。

思考：

lA

（1）

（1）直线直线l经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点AA；

（2）

（2）直线直线l垂直于半径垂直于半径0A0A则则:

直线直线l与与O相切相切这样我们就得到了从这样我们就得到了从“位置位置”的角度的角度圆圆的切线的判定方法的切线的判定方法切线的判定定理切线的判定定理AOl切线的判定定理：

切线的判定定理：

经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半这条半径的直线是圆的切线。

径的直线是圆的切线。

对定理的理解：

对定理的理解：

切线切线必须同时满足必须同时满足两条：

两条：

经过半径经过半径外端；外端；垂直于这条半径垂直于这条半径AOlOrlAOAOA是半径，是半径，lOAOA于于AAl是是OO的切线的切线定理的数学语言表达：

定理的数学语言表达：

11、判断：

、判断：

（1）

（1）过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（）

（2）

（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（切线（）OOrrllAAOOrrllAAOOrrllAAP98例例1.如图如图,ABC为等腰三角形为等腰三角形,O是底边是底边BC的的中点中点,O与腰与腰AB相切于点相切于点D.ABOCD求证求证:

AC与与O相切相切.E证明：

连结证明：

连结OD，OA，过点，过点O作作OEAC于点于点E，AB切切O于于D，ODAB，ODB=OEC=90，又又O是是BC的中点，的中点，OB=OC，AB=AC，B=C，OBDOCE，OE=OD，即，即OE是是O的半径，的半径，AC与与O相切。

相切。

p98练习练习1如图，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，BB4545，ATATABAB。

ATAT是是OO的切线吗？

为什么？

的切线吗？

为什么？

解：

解：

ATAT是是OO的切线的切线。

理由如下：

。

理由如下：

又又BATBATBBTT180180ATATABAB，BB4545（已知已知）直线直线ATABATAB又又直线直线ATAT经过经过OO上的上的AA点点直线直线ATAT是是OO的切线的切线TTBB4545（等边对等角等边对等角）BATBAT180180BBCC9090OABTp98练习练习22.2.解：

解：

ll/l/l.证明如下：

证明如下：

直线直线ll,l,l是是OO的切线，切点分别为的切线，切点分别为A,BA,B，ABAB为直径，为直径，ABlABl，ABlABl，ll/l/l.切线的判定方法有三种：

切线的判定方法有三种：

直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即切线的判定定理即经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的直这条半径的直线是圆的切线线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？

判定直线与圆相切有哪些方法？

44如图，已知：

直线如图，已知：

直线ABAB经过经过OO上的点上的点CC，并且并且OA=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。

求证：

直线求证：

直线ABAB是是OO的切线。

的切线。

OBAC分析：

分析：

由于由于ABAB过过OO上的点上的点CC，所以连接，所以连接OCOC，只要证明只要证明ABOCABOC即可。

即可。

P1013

（1）解解:

VU是是T的切线的切线,U为切点为切点,UTUV，VUT=90.在在RtUVT中，中，UV=28cm，TU=25cm，VT=UV+TU即即VT=28+25VT=282+252=1409（cm）.VWUTP1013

（2）解解:

VU与与VW均是均是T的切线，的切线，UVT=TVW，TWV=90.又又UVW=60，TVW=1/260=30在在RtTVW中，中，TWV=90，TVW=30，TW=25cm，TV=2WT=225=50（cm）.VWUTOOBBAACC分析：

分析：

由于由于ABAB过过OO上的点上的点CC，所以连接，所以连接OCOC，只要证明，只要证明ABOCABOC即可。

即可。

证明：

证明：

连结连结OC（OC（如图如图）。

OAOAOB,CAOB,CACB,CB,OABOAB是等腰三角形，是等腰三角形，OCOC是底是底边边ABAB上的中线。

上的中线。

ABOCABOC。

OCOC是是OO的半径的半径ABAB是是OO的切线。

的切线。

已知：

直线已知：

直线AB经过经过O上的点上的点C，并且并且OA=OB，CA=CB。

求证：

直线求证：

直线AB是是O的切线。

的切线。

例例22如图，已知：

如图，已知：

OO为为BACBAC平分线上一平分线上一点，点，ODABODAB于于D,D,以以OO为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作OO。

求证：

求证：

OO与与ACAC相切。

相切。

OABCEDOBACOABCED例例11与例与例22的证法有何不同的证法有何不同?

（1）

（1）如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆则连结这点和圆心心,得到辅助半径得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直再证所作半径与这直线垂直.简记为：

简记为：

有交点，连半径有交点，连半径,证垂直证垂直.

（2）

（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半再证垂线段长等于半径长径长.简记为：

简记为：

无交点无交点,作垂直作垂直,证半径证半径.22、如图如图,ABC,ABC中中,AB=AC,AOBC,AB=AC,AOBC于于O，OEACOEAC于于E,E,以以O为圆心为圆心,OE,OE为半径作为半径作O.求证：

求证：

ABAB是是O的切线的切线.FECOBA33、如图如图,AB,AB是是OO的直径的直径,点点DD在在ABAB的延长线的延长线上上,BD=OB,BD=OB,点点CC在在OO上上,CAB=30,CAB=30.求证求证:

DC:

DC是是OO的切线的切线.ABCDOCABDOAOOC，OCAA30,BOC60.BOC是等边三角形是等边三角形.BDOBBC，DBCD30.DCO90.DCOC.DC是是O的切线的切线.已知：

如图，已知：

如图，AB是是O的直径，的直径，D在在AB的延长线上，的延长线上，BDOB，C在圆上，在圆上，CAB30,求证：

求证：

DC是是O的切线的切线.证明：

连证明：

连OC、BC，4,如图如图A是是O外的一点，外的一点，AO的延长线交的延长线交O于于C，直线直线AB经过经过O上一点上一点B，且，且ABBC，C30.求证：

直线求证：

直线AB是是O的切线的切线.证明：

连结证明：

连结OB,OB,OB=OC,AB=BC,C=30OBC=C=A=30AOB=C+OBC=60ABO=180（AOB+A）=180（60+30）=90ABAB是是OO的切线的切线.题目中题目中“半径半径”已有，已有，只需证只需证“垂直垂直”,即即可可得直线与圆相切得直线与圆相切.证明：

连结证明：

连结OPOP。

AB=AC,B=CAB=AC,B=C。

OB=OPOB=OP，B=OPBB=OPB，OBP=COBP=C。

OPACOPAC。

PEACPEAC，PEOPPEOP。

PEPE为为00的切线。

的切线。

如图如图如图如图,ABC,ABC,ABC,ABC中，中，中，中，AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，以，以，以，以ABABABAB为直径的为直径的为直径的为直径的OOOO交边交边交边交边BCBCBCBC于于于于PPPP，PEACPEACPEACPEAC于于于于EEEE。

求证求证求证求证:

PE:

PE:

PE:

PE是是是是OOOO的切线。

的切线。

的切线。

的切线。

OOAABBCCEEPP24.2.2直线和圆的位置关系切线的性质如图，如果直线如图，如果直线l是是OO的切线，切点为的切线，切点为AA，那么半径，那么半径OAOA与直线与直线l是不是一定垂直呢？

是不是一定垂直呢？

OAll是是OO的切线，切点为的切线，切点为AAlOAOA证明切线的性质定理证明切线的性质定理:

OM反反证证法法这与这与“直线与圆相切，圆心直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径到直线距离等于半径”相矛相矛盾，所以盾，所以lOAOA假设不垂直假设不垂直,作作OM因因“垂线段最短垂线段最短”,故故OAOM,即圆心到直线距离小于半径即圆心到直线距离小于半径.A已知：

已知：

l是是OO的切线，的切线，切点为切点为AA求证：

求证：

lOAOA切线的性质定理：

切线的性质定理：

圆的圆的切线垂直于过切点的半径。

切线垂直于过切点的半径。

OAl过半径外端过半径外端;垂直于这条半径垂直于这条半径.切线切线圆的切线圆的切线;过切点的半径过切点的半径.切线垂直于半径切线垂直于半径切线判定定理：

切线判定定理：

切线性质定理：

切线性质定理：

OAl11、如图、如图,OO切切PBPB于点于点B,PB=4,PA=2,B,PB=4,PA=2,则则OO的半径多少？

的半径多少？

2.2.解：

解：

l/l.证明如下：

证明如下：

直线直线l,l是是OO的切线，的切线，切点分别为切点分别为A,BA,B，ABAB为直径，为直径，ABABl，ABABl，l/l.P1013

（1）解解:

VU是是T的切线的切线,U为切点为切点,UTUV，VUT=90.在在RtUVT中，中，UV=28cm，TU=25cm，VT=UV+TU即即VT=28+25VT=282+252=1409（cm）.VWUTP1013

（2）解解:

VU与与VW均是均是T的切线，的切线，UVT=TVW，TWV=90.又又UVW=60，TVW=1/260=30在在RtTVW中，中，TWV=90，TVW=30，TW=25cm，TV=2WT=225=50（cm）.VWUT5.5.证明：

连接证明：

连接OPOP，因为因为ABAB是小圆是小圆OO的切线，的切线，PP为切点，为切点，所以所以OPABOPAB，又又ABAB是大圆是大圆OO的弦，的弦，所以由垂径定理可知所以由垂径定理可知AP=PB.AP=PB.6.6.解：

因为解：

因为PAPA，PBPB是是OO的切线，的切线，所以所以PA=PBPA=PB，PAB=PBA.PAB=PBA.又由题意知又由题意知OAPAOAPA，OAB=25OAB=25,所以所以PAB=90PAB=90-25-25=65=65所以所以P=180P=180-2PAB-2PAB=180=180-65-6522=50=507.7.解：

半径为解：

半径为4cm4cm的圆可以做两个，的圆可以做两个，半径