新浙教版八下数学下册4.6《反证法》.ppt

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第十一讲反证法王戎王戎7岁时岁时,与小与小伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩,看看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子.小伙伴们纷小伙伴们纷纷去摘取果子纷去摘取果子,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动王戎回答说王戎回答说:

“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?

他运用了怎样的推理他运用了怎样的推理方法方法?

假设假设假设假设李子不苦李子不苦李子不苦李子不苦,则则则则因因因因树树树树在在在在“道道道道”边边边边,李李李李子子子子早早早早就就就就被被被被别别别别人人人人采采采采摘摘摘摘,这这这这与与与与“多子多子多子多子”产生产生产生产生矛盾矛盾矛盾矛盾.所以假设所以假设所以假设所以假设不成立不成立不成立不成立,李为苦李李为苦李李为苦李李为苦李.妈妈妈妈:

小华小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华小华:

不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢呢!

上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么?

假设假设小芳全家外出旅游小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳,与上午在学校碰到小芳和她妈妈与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾矛盾,所以假设所以假设不成立不成立,所以小芳全家没有外出旅游所以小芳全家没有外出旅游.在证明一个命题时在证明一个命题时,有时有时先假设命题不成立先假设命题不成立,从从这这样的样的假设出发假设出发,经过推理经过推理得出得出和已知条件矛盾和已知条件矛盾,或者与或者与定义定义,基本事实基本事实,定理等定理等矛盾矛盾,从而得出从而得出假设命题不成立假设命题不成立是错误的是错误的,即所求证的命题正确。

这种证明方法叫做即所求证的命题正确。

这种证明方法叫做反反证法证法。

1、写出下列各结论的反面：

、写出下列各结论的反面：

（1）a/b

（2）a0（3）b是正数是正数（4）ab（5）至多有一个至多有一个（6）至少有一个）至少有一个a0b是是0或负数或负数a不垂直于不垂直于bab一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个用反证法证明（填空）用反证法证明（填空）:

在三角形的内角在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于中，至少有一个角大于或等于6060.这与这与_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求证的结论成立不成立，所求证的结论成立.已知已知:

A，B，C是是ABC的内角的内角.求证求证:

A，B，C中至少有一个角大中至少有一个角大于于或等于或等于60.证明证明:

假设所求证的结论不成立，即假设所求证的结论不成立，即A_60，B_60，C_60则则A+B+C180.三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180假设假设例例求证：

四边形中至少有一个角是钝角或直角求证：

四边形中至少有一个角是钝角或直角.已知：

四边形已知：

四边形ABCD（如右图如右图）.求证：

四边形求证：

四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角中至少有一个角是钝角或直角.证明：

证明：

假设四边形假设四边形ABCD中没有一个角中没有一个角是钝角或直角，即是钝角或直角，即A90，B90,C90,D90于是于是A+B+C+D360.这与这与“四边形的内角和为四边形的内角和为360”矛盾矛盾.所以四边形所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角中至少有一个角是钝角或直角.试一试试一试已知：

如图，直线已知：

如图，直线a,b被直线被直线c所截，所截，12求证：

求证：

ab1=2（两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等）这与已知的这与已知的12矛盾矛盾假设不成立假设不成立证明：

假设结论不成立，则证明：

假设结论不成立，则abab求证求证:

在同一平面内在同一平面内,如果一条直线和两条平行如果一条直线和两条平行直线中的一条相交直线中的一条相交,那么和另一条也相交那么和另一条也相交.已知已知:

直线直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2,l3与与l1相交于相交于点点P.求证求证:

l3与与l2相交相交.证明证明:

假设假设_,那么那么_._,这与这与“__”矛盾矛盾.所以所以假设不成立假设不成立,即求证的命题正确即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与与l2不相交不相交.l3l2l1l2经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直有且只有一条直线和已知直线平行线和已知直线平行过直线过直线l2外一点外一点P,有有两条直线两条直线和和l2平行平行,求证求证:

在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那那么这两条直线也互相平行么这两条直线也互相平行.

（1）

（1）你首先会选择哪一种证明方法你首先会选择哪一种证明方法?

（2）

（2）如果你选择反证法如果你选择反证法,先怎样假设先怎样假设?

结果和什么产生矛盾结果和什么产生矛盾?

定理定理已知已知:

如图，如图，l1l2,l3l2求证：

求证：

lllllll,l3l2,则过点则过点p就有两条直线就有两条直线l、l都与都与l平行，这与平行，这与“经过直线外一点，有且经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线只有一条直线平行于已知直线”矛盾矛盾证明：

假设证明：

假设l不平行不平行l，则，则l与与l相交，设交点为相交，设交点为p.p所以所以假设假设不成立，所求证的结论成立，不成立，所求证的结论成立，即即ll求证求证:

在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那那么这两条直线也互相平行么这两条直线也互相平行.定理定理（3）（3）能不用反证法证明吗能不用反证法证明吗?

你是怎样证明的你是怎样证明的?

已知已知:

如图，如图，l1l2,l3l2求证求证:

l1l3l1l2l3lpl1l2,l3l2直线直线l必定与直线必定与直线l2，l3相交（相交（在同一平面内，在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交交，那么和另一条直线也相交）证明证明:

作直线作直线l交直线交直线l2于点于点pp，2=1=3（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）l1l3（同位角相等，两直线平行）同位角相等，两直线平行）213定理定理:

在同一平面内在同一平面内,如果两条直如果两条直线都和第三条直线平行线都和第三条直线平行,那么这两条那么这两条直线也互相平行直线也互相平行.几何语言几何语言表示表示:

ab,bc,acabc已知已知:

如图如图,直线直线ll与与ll11,l,l22,l,l33都相都相交交,且且ll11ll33,l,l22ll33,求证求证:

1=2:

1=2l1l2l3l1122证明证明:

l1l3,l2l3（已知已知）l1l2（在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第如果两条直线都和第三条直线平行三条直线平行,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行）1=2（两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等）变式训练变式训练1、“ab”的反面应是（的反面应是（）（A）ab（B）ab（C）a=b（D）a=b或或ab2、用反证法证明命题、用反证法证明命题“三角形中最多有三角形中最多有一个是直角一个是直角”时，应如何假设？

时，应如何假设？

_D假设三角形中有两个或三个角是直角假设三角形中有两个或三个角是直角常用的互为否定的表述方式：

常用的互为否定的表述方式：

是是不是；不是；存在存在不存在不存在平行平行不平行；不平行；垂直垂直不垂直不垂直等于等于不等于；不等于；都是都是不都是不都是大于大于不大于；不大于；小于小于不小于不小于至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有至少有三个至少有三个至多有两个至多有两个至少有至少有n个个至多有至多有（n-1）个个至少有两个至少有两个至多有一个至多有一个如图，在如图，在ABC中中,若若C是直角，那么是直角，那么B一一定是锐角定是锐角.你能用反证法证明以下命题吗？

你能用反证法证明以下命题吗？

延伸拓展延伸拓展证明：

假设结论不成立证明：

假设结论不成立,则则B是是_或或_.这与这与_矛盾；矛盾；当当B是是_时，则时，则_这与这与_矛盾；矛盾；综上所述综上所述,假设不成立假设不成立.B一定是锐角一定是锐角.直角直角钝角钝角直角直角B+C=180三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180钝角钝角B+C180三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180当当B是是_时，则时，则_归纳归纳:

宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型

（1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题；

（2）某些定理的逆命题；）某些定理的逆命题；（3）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式等形式陈述的陈述的命题；命题；（4）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题；结论的命题；（5）解决整除性问题；）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种）涉及各种“无限无限”结论的命题等等。

结论的命题等等。

用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项:

（1）周密考察原命题结论的否定事项，）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；防止否定不当或有所遗漏；

（2）推理过程必须完整，否则不能说）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。

定推出的结果是错误的。

小结小结:

反证法的一般步骤反证法的一般步骤:

先假设命先假设命题不成立题不成立从假设出发从假设出发矛盾矛盾得出假设命题不得出假设命题不成立是错误的成立是错误的即所求证的即所求证的命题正确命题正确布置作业布置作业:

1.1.课内练习课内练习11、222.2.作业题作业题AA组，组，BB组选做组选做你有什么收获？

你有什么收获？