四边形面积二等分问题.ppt

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，如图。

，如图。

，如图。

MMNN我们可以任作一条直线我们可以任作一条直线我们可以任作一条直线我们可以任作一条直线MNMN交四边形的两边于交四边形的两边于交四边形的两边于交四边形的两边于MM、NN两点，则直线两点，则直线两点，则直线两点，则直线MNMN把四边形把四边形把四边形把四边形ABCDABCD分成两部分。

分成两部分。

分成两部分。

分成两部分。

现在把直线现在把直线现在把直线现在把直线MNMN向右平移向右平移向右平移向右平移细心的你一定会发现：

细心的你一定会发现：

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开始时是左边开始时是左边开始时是左边开始时是左边的面积较小，的面积较小，的面积较小，的面积较小，后来是右边的面积较小，后来是右边的面积较小，后来是右边的面积较小，后来是右边的面积较小，在此过程中，必存在一个位在此过程中，必存在一个位在此过程中，必存在一个位在此过程中，必存在一个位置，直线置，直线置，直线置，直线MNMN移动到此位置时，移动到此位置时，移动到此位置时，移动到此位置时，把四边形把四边形把四边形把四边形ABCDABCD分成面积相分成面积相分成面积相分成面积相等的左、右两部分。

等的左、右两部分。

等的左、右两部分。

等的左、右两部分。

如何找到这个位置如何找到这个位置如何找到这个位置如何找到这个位置?

请往下看。

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如图，已知任意四边形如图，已知任意四边形如图，已知任意四边形如图，已知任意四边形ABCDABCD，求，求，求，求作一条直线把四边形分成面积相作一条直线把四边形分成面积相作一条直线把四边形分成面积相作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

等的两部分。

等的两部分。

等的两部分。

（11）连结）连结）连结）连结AC;AC;解：

解：

解：

解：

（33）取）取）取）取ACAC的中点的中点的中点的中点E,E,（22）连结）连结）连结）连结BD,BD,（55）连结）连结）连结）连结DF.DF.则直线则直线则直线则直线DFDF把四边形把四边形把四边形把四边形ABCDABCD分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

BBAADDCCEEFF（44）作）作）作）作EFEFBDBD交交交交BCBC于点于点于点于点FF；连结连结连结连结BEBE、DE,DE,交点为交点为交点为交点为G;G;证明：

证明：

证明：

证明：

SSABEABE=SSACEACEEE为为为为ACAC的中点的中点的中点的中点,SSADEADE=SSDCEDCESSABEABE+SSADEADE=SSACEACE+SSDCEDCEEFEFBDBDSSBDFBDF=SSBDEBDESSBGFBGF=SSDGEDGESS四边形四边形四边形四边形BADGBADG+SS四边形四边形四边形四边形BADGBADG+SSBGFBGF=SSDGEDGESS五边形五边形五边形五边形BADEFBADEF=S=S四边形四边形四边形四边形DCFEDCFE=SS四边形四边形四边形四边形ABCDABCD=S=S五边形五边形五边形五边形BADEFBADEF=SS四边形四边形四边形四边形BADFBADFSS四边形四边形四边形四边形ABCDABCD直线直线直线直线DFDF把四边形把四边形把四边形把四边形ABCDABCD分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

已知任意四边形已知任意四边形已知任意四边形已知任意四边形ABCDABCD，求作一条直线把四边形，求作一条直线把四边形，求作一条直线把四边形，求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨可以先考虑特殊四边形，分三种情况可以先考虑特殊四边形，分三种情况可以先考虑特殊四边形，分三种情况可以先考虑特殊四边形，分三种情况:

（11）对角线互相平分的四边形，如图（）对角线互相平分的四边形，如图（）对角线互相平分的四边形，如图（）对角线互相平分的四边形，如图（11）：

）：

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此时，由于四边形此时，由于四边形此时，由于四边形此时，由于四边形是中心对称图形，所以，是中心对称图形，所以，是中心对称图形，所以，是中心对称图形，所以，过对角线交点的任意一过对角线交点的任意一过对角线交点的任意一过对角线交点的任意一条直线都可以把四边形条直线都可以把四边形条直线都可以把四边形条直线都可以把四边形分成面积相等的两部分分成面积相等的两部分分成面积相等的两部分分成面积相等的两部分（22）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，四边形四边形四边形四边形ABCDABCD中，中，中，中，PP为为为为ACAC的中点，的中点，的中点，的中点，QQ为为为为BDBD的中点，的中点，的中点，的中点，PP、QQ不重合。

此时不重合。

此时不重合。

此时不重合。

此时BDBD平分四边形平分四边形平分四边形平分四边形ABCDABCD。

如图（如图（如图（如图（22）：

）：

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注意注意注意注意:

左图左图左图左图BDAC,BDAC,右图右图右图右图BDACBDAC。

在这两个图中，除了在这两个图中，除了在这两个图中，除了在这两个图中，除了BD,CEBD,CE、AFAF也都能平也都能平也都能平也都能平分四边形分四边形分四边形分四边形ABCD.ABCD.现在的问题是：

能不能过四边形现在的问题是：

能不能过四边形现在的问题是：

能不能过四边形现在的问题是：

能不能过四边形ABCDABCD的边的边的边的边上的任意一点作直线，把四边形上的任意一点作直线，把四边形上的任意一点作直线，把四边形上的任意一点作直线，把四边形ABCDABCD分成面分成面分成面分成面积相等的两部分？

积相等的两部分？

积相等的两部分？

积相等的两部分？

答案是肯定的。

过答案是肯定的。

过答案是肯定的。

过答案是肯定的。

过AA、BB、CC、DD、EE、FF肯定能做肯定能做肯定能做肯定能做自不必说了。

自不必说了。

自不必说了。

自不必说了。

AA、BB、CC、DD、EE、FF之外呢？

之外呢？

之外呢？

之外呢？

过四边形过四边形过四边形过四边形ABCDABCD的边上的任意一点的边上的任意一点的边上的任意一点的边上的任意一点RR求作直线求作直线求作直线求作直线RSRS，把四边形，把四边形，把四边形，把四边形ABCDABCD分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

分成面积相等的两部分。

（11）（22）连结连结连结连结RCRC，作，作，作，作ESESRCRC交交交交CDCD于于于于SS，连结，连结，连结，连结RSRS，如图（，如图（，如图（，如图（11）。

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则则则则RSRS即为所求。

即为所求。

即为所求。

即为所求。

连结连结连结连结RDRD，作，作，作，作BSBSRDRD交交交交CDCD于于于于SS，连结，连结，连结，连结RSRS，如图（，如图（，如图（，如图（22）。

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则则则则RSRS即为所求。

即为所求。

即为所求。

即为所求。

此为此为此为此为RR在在在在EE、BB之间时，之间时，之间时，之间时，SS必在必在必在必在CC、DD之间。

之间。

之间。

之间。

（11）（22）此为此为此为此为RR在在在在FF、BB之间时，之间时，之间时，之间时，SS必在必在必在必在AA、DD之间。

之间。

之间。

之间。

连结连结连结连结RDRD，作，作，作，作BSBSRDRD交交交交ADAD于于于于SS，连结，连结，连结，连结RSRS，如图（，如图（，如图（，如图（11）。

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则则则则RSRS即为所求。

即为所求。

即为所求。

即为所求。

连结连结连结连结RDRD，作，作，作，作BSBSRDRD交交交交ADAD于于于于SS，连结，连结，连结，连结RSRS，如图（如图（如图（如图（22）。

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则则则则RSRS即为所求。

即为所求。

即为所求。

即为所求。

（11）（22）当当当当RR在在在在FF、CC之间时，之间时，之间时，之间时，SS必必必必在在在在AA、EE之间。

之间。

之间。

之间。

连结连结连结连结RARA，作，作，作，作FSFSRARA交交交交ABAB于于于于SS，连结，连结，连结，连结RSRS，如图（，如图（，如图（，如图（11）。

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则则则则RSRS即为所求。

即为所求。

即为所求。

即为所求。

连结连结连结连结RERE，作，作，作，作CSCSRERE交交交交ABAB于于于于SS，连结，连结，连结，连结RSRS，如图（如图（如图（如图（22）。

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则则则则RSRS即为所求。

即为所求。

即为所求。

即为所求。

综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

这每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

这每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

这每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

这样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。

过样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。

过样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。

过样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。

过这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

所以，过这样的四边形的边上的任意一点面积相等的两部分。

所以，过这样的四边形的边上的任意一点面积相等的两部分。

所以，过这样的四边形的边上的任意一点面积相等的两部分。

所以，过这样的四边形的边上的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。

（33）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形如图（如图（如图（如图（33）：

四边形）：

四边形）：

四边形）：

四边形ABCDABCD中，中，中，中，PP为为为为BDBD的中点，的中点，的中点，的中点，QQ为为为为ACAC的中点。

的中点。

的中点。

的中点。

由例题可知：

过四边形的每个顶点都有一条直由例题可知：

过四边形的每个顶点都有一条直由例题可知：

过四边形的每个顶点都有一条直由例题可知：

过四边形的每个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有四条。

这四条直线把四边形的边分成八条线段，且四条。

这四条直线把四边形的边分成八条线段，且四条。

这四条直线把四边形的边分成八条线