21.1一元二次方程(两课时).ppt

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什么是方程？

什么是方程的解（或根）？

什么是方程？

什么是方程的解（或根）？

答：

含有未知数的等式叫做方程。

使方程答：

含有未知数的等式叫做方程。

使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解。

两边成立的未知数的值叫做方程的解。

曾学过哪些方程？

曾学过哪些方程？

分式方程，一元一次方程，二元一次方程。

分式方程，一元一次方程，二元一次方程。

什么叫做一元一次方程？

什么叫做一元一次方程？

?

问问题题

（1）

（1）有有一一块块矩矩形形铁铁皮皮,长长100100,宽宽5050,在在它它的的四四角角各各切切去去一一个个正正方方形形,然然后后将将四四周周突突出出部部分分折折起起,就就能能制制作作一一个个无无盖盖方方盒盒,如如果果要要制制作作的的方方盒盒的的底底面面积积为为36003600平平方方厘厘米米,那那么么铁铁皮皮各各角角应应切切去多大的正方形去多大的正方形?

1001005050xx36003600分析分析:

设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为则盒底的长为,宽宽为为.（100-2x）cm（50-2x）cm根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2,得得即即?

问题问题

（2）

（2）要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之参赛的每两队之间都要比赛一场间都要比赛一场,根据场地和时间等条件根据场地和时间等条件,赛程计划赛程计划安排安排77天天,每天安排每天安排44场比赛场比赛,比赛组织者应邀请多少比赛组织者应邀请多少个队参加比赛个队参加比赛?

分析分析:

全部比赛共全部比赛共47=28场场设应邀请设应邀请x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要与其他个队个队各赛各赛1场场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛是同一场比赛,所以全部比赛共所以全部比赛共场场.（x-1）即即一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为为m，宽为，宽为m如果地毯中央长方形图案的面积如果地毯中央长方形图案的面积为为m2，则花边多宽，则花边多宽?

你怎么解决这个问题？

解：

如果设花边的宽为解：

如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案那么地毯中央长方形图案的长为的长为m,宽为宽为m,根据题意根据题意,可得方程：

可得方程：

（82x）（52x）（82x）（52x）=18.5xxxx（82x）（52x）818m2数学化x8m110m7m6m解：

由勾股定理可知，滑动前梯解：

由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙子底端距墙m如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动Xm，那么滑，那么滑动后梯子底端距墙动后梯子底端距墙m根据题意，可得方程：

根据题意，可得方程：

72（X6）21026X6如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多，那么梯子的底端滑动多少米？

少米？

10m数学化由上面四个问题，我们可以得到四个方程：

由上面四个问题，我们可以得到四个方程：

（8-2x）（5-2x）=18;即2x213x11=0.（x）22102即x212x150.上述四个方程有什么共同特点？

与我们以前学过的一元一次方上述四个方程有什么共同特点？

与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？

程和分式方程有什么区别？

特点特点:

都是整式方程都是整式方程;只含一个未知数只含一个未知数;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.1、上面四个方程整理后含有_未知数,它们的最高次数是_,等号两边是_式。

2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？

请定义。

一个一个2整整一元二次方程的概念一元二次方程的概念像这样的等号两边都是整式像这样的等号两边都是整式,只含有只含有一个未知数一个未知数（一元一元），并且未知数的最，并且未知数的最高次数是高次数是2（2（二次二次）的方程叫做的方程叫做一元二次一元二次方程。

方程。

都是都是整式整式方程方程;只含只含一一个未知数个未知数;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.2.即：

一元二次方程即：

一元二次方程的共同特点的共同特点:

一般地一般地一般地一般地,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于xxxx的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化为为为为,的形式的形式的形式的形式,我们把我们把我们把我们把axaxaxax2222+bx+c=0+bx+c=0+bx+c=0+bx+c=0（a,b,c（a,b,c（a,b,c（a,b,c为常数，为常数，为常数，为常数，aaaa00）称为称为称为称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式.为什么要限制为什么要限制a0a0，b,cb,c可以为零吗？

可以为零吗？

可以为零吗？

可以为零吗？

想一想想一想其中其中axax2，bxbx,c,c分别称为二次项，分别称为二次项，一次项，常数项一次项，常数项.ax2+bx+c=0注意注意:

要确定一元二次方程的系数和常数项要确定一元二次方程的系数和常数项,必必须先将方程化为一般形式须先将方程化为一般形式二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项（a0）在写一元二次方程的一般形式时在写一元二次方程的一般形式时,通常按未通常按未知数的知数的次数从高到低排列次数从高到低排列,即即先写先写二次项二次项,再写再写一次项一次项,最后是最后是常数项。

常数项。

例例11：

判断下列方程是否为一元二次方程？

判断下列方程是否为一元二次方程？

（1）x2+x=36

（2）x3+x2=36（3）x+3y=36（5）x+1=0注意：

判断是否是一元二注意：

判断是否是一元二次方程，先整理成一般式，次方程，先整理成一般式，在判断。

在判断。

下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程?

为什么？

为什么？

（2）2x25xy6y0（5）x22x31x2

（1）7x26x0解解:

（1）、（4）（3）2x21013x（4）0y22练习巩固练习巩固例例11、把下列方程化成一元二次方程的一般形式、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项一次项系数和常数项.11）移项，整理得）移项，整理得9x9x22+4x-5=0+4x-5=0二次项系数是二次项系数是99，一次项系数是，一次项系数是44，常数项是，常数项是-5-5。

22）移项，整理得）移项，整理得3y3y222y+1=02y+1=0二次项系数是二次项系数是33，一次项系数是，一次项系数是-2-2，常数项是，常数项是11。

33）移项，整理得）移项，整理得4x4x22-5=0-5=0二次项系数是二次项系数是44，一次项系数是，一次项系数是00，常数项是，常数项是-5-5。

44）移项，整理得）移项，整理得-3x-3x22+2x+5=0+2x+5=0二次项系数是二次项系数是33，一次项系数是，一次项系数是22，常数项是，常数项是55。

注意：

注意：

1.1.要先化成要先化成axax+bx+c=0+bx+c=0的一般形式。

的一般形式。

2.2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。

等式变形。

3.3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。

写系数时，要带上前面的符号。

数项。

写系数时，要带上前面的符号。

11、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

的二次项系数、一次项系数和常数项：

方程方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项3x3x22=5x-1=5x-1（x+2）（x-1）=6（x+2）（x-1）=64-7x4-7x22=0=0练一练练一练3x3x22-5x+1=0-5x+1=0xx22+x-8=0+x-8=0-7x-7x22+4=0+4=033-5-511-8-8441111-7-700方程方程方程方程一般形式一般形式一般形式一般形式二次项二次项二次项二次项系数系数系数系数一次项一次项一次项一次项系数系数系数系数常数常数常数常数项项项项练一练练一练1.关于关于x的方程的方程（k3）x22x10,当当k时，是一元二次方程时，是一元二次方程2.关于关于x的方程的方程（k21）x22（k1）x2k20,当当k时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k时，是一元一次方程时，是一元一次方程3113.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？

4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。

练习巩固练习巩固一元二次方程的解：

能使一元二次方程两边相等一元二次方程的解：

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的的未知数的值叫一元二次方程的解解或或根根。

判断判断:

当未知数的值当未知数的值x=-1x=-1或或x=0x=0时，方程时，方程xx-2=x-2=x的两的两边是否相等。

边是否相等。

当当x=0x=0时，左边时，左边=0=0-2=-2-2=-2右边右边=0=0因为：

左边因为：

左边右边右边解：

当解：

当x=-1x=-1时，左边时，左边=（-1-1）-2=1-2=-1-2=1-2=-1右边右边=-1=-1因为：

左边因为：

左边=右边右边所以所以x=-1x=-1是方程的解。

是方程的解。

所以所以x=0x=0不是方程的解。

不是方程的解。

4.

（1）下列哪些数是方程）下列哪些数是方程的根？

从中你能体会根的作用吗？

的根？

从中你能体会根的作用吗？

4，3，2，1，0，1，2，3，4活动活动1

（2）若）若x2是方程是方程的一个的一个根，你能求出根，你能求出a的值吗？

的值吗？

根根的作用：

的作用：

可以使等号成立可以使等号成立.?

例题讲解例题讲解A.1B.-1A.1B.-1C.1C.1或或-1D.0-1D.0BB解：

设竹竿的长解：

设竹竿的长为为x尺尺,则门的宽则门的宽度为度为尺尺,长长为为尺尺,依题依题意得方程：

意得方程：

例例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺，另一个醉汉教他沿着，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？

请根据这一问题列出方程你知道竹竿有多长吗？

请根据这一问题列出方程（x4）2（x2）2x2即x212x2004尺尺2尺尺xx4x2数学化（x4）（x2）1.根据题意，列出方程：

根据题意，列出方程：

（）有一面积为（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短的长方形，将它的一边剪短5m，另一边，另一边剪短剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

解：

设正方形的边长为解：

设正方形的边长为xm，则原长方形的长为，则原长方形的长为（x5）m,宽宽为为（x2）m，依题意得方程：

，依题意得方程：

（x5）（x2）54即即x27x44025xxX5X254m2练习巩固练习巩固2.三个连续整数两两相乘，再求和，结果为三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别，这三个数分别是多少？

是多少？

x（x1）x（x2）（x1）（x2）242.x22x800.即即解：

设第一个数为解：

设第一