量子力学试题含答案.doc

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一、填空题：

（每题4分，共40分）

得分

评卷人

1.微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率n、波长l之间的关系，其表达式为：

E=,p=。

3．根据波函数的统计解释，的物理意义为：

粒子在x—dx范围内的几率。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为：

。

6．量子力学关于测量的假设认为：

当体系处于波函数y（x）所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符的本征值。

7．定态波函数的形式为：

。

8．一个力学量为守恒量的条件是：

不显含时间，且与哈密顿算符对易。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。

10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：

。

二、证明题：

（每题10分，共20分）

得分

评卷人

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：

证明：

2、（10分）由Schrödinger方程

证明几率守恒：

其中几率密度

几率流密度

证明：

考虑Schrödinger方程及其共轭式：

在空间闭区域τ中将上式积分，则有：

三、计算题：

（共40分）

得分

评卷人

1、（10分）设氢原子处于状态

求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。

解：

在此状态中，氢原子能量有确定值

，几率为1

角动量平方有确定值为

，几率为1

角动量Z分量的可能值为

其相应的几率分别为

，

2、（10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。

解：

波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：

求归一化系数

最后，得Lz的本征函数

3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：

设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似。

解：

c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：

H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。

所以能量的0级近似为：

E1（0）=1

E2（0）=3

E3（0）=-2

由非简并微扰公式

得能量一级修正：

能量二级修正为：

二级近似下能量本征值为：

本套试卷共两大类题，11题，满分100分。

最后一页有可能用到的数学公式。

一、证明题（共30分）

1．（本题5分）

证明方向动量算符为厄密算符。

证明：

（3分）

（2分）

命题得证。

2．（本题5分）

证明对易关系：

。

证明：

做运算：

，（3分）

故有：

即

记为：

（2分）

3．（本题5分）

证明对易关系：

。

证明：

（3分）

（2分）

4．（本题5分）

已知：

，，证明：

证明：

（5分）

5．（本题5分）

若为泡利矩阵，证明。

证明：

由对易关系及

反对易关系，得

上式两边乘，得∵

∴（5分）

6．（本题5分）

是否为厄密算符？

给出证明。

不是厄密算符（2分）

（3分）

二、计算题（共70分）

7．（本题10分）

设粒子处于和的共同本征态态，试求和。

注意到

即

（5分）

利用

（5分）

8．（本题15分）

设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级和，，现在受到微扰的作用，体系的哈密顿算符为

其中为常数，用微扰公式求能量至二级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较（提示：

做级数展开，保留到前三项）。

解：

对题给矩阵进行分解，有

从矩阵知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量）

（7分）

严格求解法：

这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。

我们设算符H具有本征矢，本征值是，列矩阵方程式：

展开后成两式

又假设本征矢是归一化的：

久期方程：

（6分）

后一式可展开

取级数展开的前三项可得：

（2分）

和前面用微扰方法所得的结果可以进行比较。

9．（本题15分）

已知在表象中的矩阵形势为

求：

（1）其本征值和在表象中的正交归一化本征函数。

（2）使对角化的幺正变换矩阵。

解：

（1）的久期方程为

∴的本征值为。

（5分）

设对应于本征值的本征函数为

由本征方程，得

由归一化条件，得

即∴

对应于本征值的本征函数为

设对应于本征值的本征函数为

由本征方程

由归一化条件，得

即∴

对应于本征值的本征函数为（5分）

（2）使对角化的幺正变换矩阵为（5分）

可以验证：

这步不计入总分

10．（本题15分）

已知氢原子在时处于状态

求能量及自旋分量的各种可能取值及其概率与平均值，写出时的波函数。

解已知氢原子的本征值为，

将时的波函数写成矩阵形式

利用归一化条件可得

于是，归一化后的波函数为

（5分）

能量的可能取值为，相应的取值几率为

能量平均值为

（4分）

自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为

自旋分量的平均值为

（4分）

时的波函数

（2分）

11．（本题15分）

设氢原子处在的态，为玻尔半径，求

（1）r的平均值；

（2）势能的平均值；（3）动能的平均值；（4）最概然半径。

（波函数已归一化，不必检验。

任选其中两问即可，多答不多得分）

本题答对第一问10分，第二问5分

（1）

（2）

这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。

（3）

其中

（4）电子出现在r+dr球壳内出现的概率为

令

当为几率最小位置

∴是最概然（可几）半径。

量子力学期末考试试题和答案

一、（共25分）

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？

（4分）

2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？

（6分）

3、全同玻色子的波函数有什么特点？

并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）

4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。

（6分）

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的测不准关系。

（5分）

二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求

1、在A表象中算符、的矩阵表示；

2、在A表象中算符的本征值和本征函数；

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）线性谐振子在时处于状态

，其中，求

1、在时体系能量的取值几率和平均值。

2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵

的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。

五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个?

它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

答案：

一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。

两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：

4、宇称算符和坐标的对易关系是：

，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，

则有，这个关系式称为测不准关系。

时间和能量之间的测不准关系为：

二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：

设在A表象中算符的矩阵是，利用得：

；由于，所以，；由于是厄密算符，，

令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：

2、在A表象中算符的本征方程为：

即和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即

对有：

，对有：

所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和

3、从A表