一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置.docx
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一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置
一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置(总8页)
题目一:
考虑如图所示的倒立摆系统。
图中,倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
倒立摆系统的参数包括:
摆杆的质量(摆杆的质量在摆杆中心)、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。
图倒立摆系统
设计一个控制系统,使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时,最大超调量%≤10%,调节时间ts≤4s,使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。
要求:
1、建立倒立摆系统的数学模型
2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性
3、设计状态反馈阵,使闭环极点能够达到期望的极点,这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点,两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定
4、用MATLAB进行程序设计,得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应,绘出相应状态变量的时间响应图。
解:
1建立一级倒立摆系统的数学模型
1.1系统的物理模型
如图1所示,在惯性参考系下,设小车的质量为M,摆杆的质量为m,摆杆长度为l,在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ
,作用在小车上的水平控制力为u。
这样,整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图1一级倒立摆物理模型
1.2建立系统状态空间表达式
为简单起见,本文首先假设:
(1)摆杆为刚体;
(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦;(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。
在如图一所示的坐标下,小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ,摆球的水平位置为y+lsinθ。
这样,作为整个倒立摆系统来说,在说平方方向上,根据牛顿第二定律,得到
(1)
对于摆球来说,在垂直于摆杆方向,由牛顿第二运动定律,得到
(2)
方程
(1),
(2)是非线性方程,由于控制的目的是保持倒立摆直立,在施加合适的外力条件下,假定θ很小,接近于零是合理的。
则sinθ≈θ,cosθ≈1。
在以上假设条件下,对方程线性化处理后,得倒
(3)
(4)
对于(3)(4)两个式子联立求解,得到
(5)
(6)
如果选择位移y、速度
、角度θ和角速度
为系统的状态变量,位移y为系统的输出,控制力u为输入量,并令x1=y,
则得到
系统的状态表达式为:
(7-a)
(7-b)
2分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性
设系统的参数为M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s2,于是
故
(8-a)
(8-b)
故而有:
A=[0100;00-10;0001;00110];
B=[0;1;0;-1];
C=[1000];
2.1能控性
在MATLAB中,输入
A=[0100;00-10;0001;00110];
B=[0;1;0;-1];
C=[1000];
Qc=[BA*BA*A*BA*A*A*B]
得到
Qc=
0101
1010
0-10-11
-10-110
再输入rank(Qc),得到
ans=
4
于是系统是能控的。
2.2能观测性
在MATLAB中,输入
A=[0100;00-10;0001;00110];
B=[0;1;0;-1];
C=[1000];
Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A];
得到
Q0=
1000
0100
00-10
000-1
再输入rank(Q0)
ans=
4
于是系统是能观测的。
2.3稳定性
计算det[λI-A]=0;
求得的结果是λ1=0;λ2=0;λ3=
;λ4=-
。
因为结果不全是负实部,故而该系统不稳定。
3状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵
3.1状态反馈阵极点配置
因为我们知道,该系统的能控性矩阵满秩,所以该系统是能控的。
可以通过状态反馈来任意配置极点。
希望的极点为s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。
3.2求状态反馈阵
在MATLAB中输入命定
A=[0100;00-10;0001;00110];
B=[0;1;0;-1];
P=[-6-6.5-7-7.5];
K=place(A,B,P)
得到计算结果为:
K=
-204.7500-122.1750-488.5000-149.1750
4MATLAB程序设计
利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型,如图所示
运行仿真程序,得到的仿真曲线如下图所示
从上图可以看出,可以将倒立摆的杆子控制在与竖直方向偏角θ=0°的位置。
题目二:
根据自身的课题情况,任意选择一个被控对象,按照上题所示步骤进行分析和设计,并给出仿真程序及其执行结果。
解:
塑料球漂浮分析
仿真目标:
小球在空中受重力mg,在竖直向上的风中保持漂浮在空中的稳定状态。
1建模分析
小球在风向(如图所示)下保持稳定的状态。
小球质量为m,风速为
,简化风对球的阻力正比于相对速度,比例系数为f,球下落正向坐标为y,输入u为与风速相关的控制力。
数学模型:
由数学模型可知可设:
,
2控制分析
2.1能控性分析:
rank(
)=2,系统能控
2.2能观性分析:
rank(
)=2,系统能观
2.3稳定性分析:
不全为复实数,故系统不稳定
3求状态反馈阵K
在matlab中输入K=place(A,B,P),可求得反馈阵
。
4MATLAB仿真
4.1Matlab中simulink建立
4.2Matlab中simulink仿真结果
由仿真结果可知,小球会逐渐趋于稳定,模型得到验证。