证明教学中的八个问题.docx
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证明教学中的八个问题
一、数学解题思维
在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注．暴露概念的形成过程，暴露命题的发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动．但是，这种暴露大多停留在可见事实的陈述上，内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来．本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去，先给出题目：
两直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行．
1．浮现数学表象．
通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形（几何型表象），与这个图形相伴随的是一个问题（代数型表象）：
由数量关系去确定位置关系．
在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3个展开的起点．
（1）由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如两直线被第三条直线所截，有：
1）同位角相等
两直线平行；
2）内错角相等
两直线平行．
……
这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来．
（2）由条件∠1＝∠2（数量关系）所唤起的问题有：
1）由角的相等关系能得出什么？
进而问：
2）图1中有与∠1相等的角吗？
3）图1中有与∠2相等的角吗？
……
一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来．
（3）由结论AB∥CD（位置关系）所唤起的问题有：
得出直线平行需要什么条件？
题目提供了这样的条件没有？
如果不是直接提供，那么间接提供有没有？
……
由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存（扩散）：
1）同位角（内错角）相等，则两直线平行；进而问
2）什么是同位角（内错角）？
图1中有同位角（内错角）吗？
有相等的同位角（内错角）吗？
3）已知条件的相等角能导出“同位角（内错角）相等”吗？
……
这是表象的一个有序深化过程．
2．产生数学直感．
上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3条直线，8个角，8条射线，1条线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？
（这相当于一道条件过剩、结论发散的开放题）当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系，因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角．所以，我们的思考逐渐集中到：
从图形中找同位角（或内错角），找相等的角，找相等的同位角（或内错角）．
这时，伴随着问题的需要，图1被分解出一系列的部分图形（图2中实线图），并凸现在我们的眼前：
（1）有与∠1成同位角的角吗？
图2-
（1）出现，进而问，∠1与∠3会相等吗？
（2）有与∠2成同位角的角吗？
图2-
（2）出现，进而问，∠2与∠4会相等吗？
（3）与∠1（或∠2）成内错角关系的角，图1找不到．
（4）与∠1相等的角除∠2外，还有它的对顶角∠4（图2-（3））；与∠2相等的角除∠1外，还有它的对顶角∠3（图2-（4））．
……
于是，对图1的感知，出现了图3的右方图形．
我们认为，从图1的8个角中找出∠2的对顶角∠3（或∠1的对项角∠4），是解题的重大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用．
3．展开数学想象．
对具体形象的感知和判别，使我们看到∠3与∠2成对项角（图2-（4））是相等的，而∠3又与∠1成同位角（图2-
（1）），这促使我们思考∠1与∠3会不会相等，也促使我们将已有的表象：
∠1＝∠2与∠2＝∠3（或∠1＝∠4），产生新的联结（有逻辑思维的推动），得∠1＝∠3（或∠2＝∠4或∠3＝∠4），
从而产生新的表象：
AB∥CD．
于是，在数量关系∠1＝∠2与位置关系AB∥CD之间，在空旷而缺少联系的画面上（见图1），添上了两个数量关系∠2＝∠3，∠1＝∠3：
再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明．
4．给出逻辑证明．
证明1：
证明2：
证明3：
这些证明是抽象思维的过程，表达得干净、简洁而严密．而获得这些结果的过程却是历经“表象——直感——想象”的形象思维过程，在得出AB∥CD之前，四个角∠1、∠2、∠3、∠4之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题．为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程（证明1）图示如下：
5．反思解题过程．
上述解题的过程，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目标．我们推崇“解题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活动（包括问题和解）作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题（基本任务），具体研究的方法是分析解题过程．
事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种暴露比前一阶段的暴露有更高的层次、需要更强的自觉性，是培养思维深刻性与批判性的极好途径．我们一再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还，而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一题多解、作出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费，让我们对证明1的书写作出具体结构的分析．
（1）首先，我们将证明1分解为三个步骤：
第1步：
从图形中看出∠3与∠2成对顶角，并得出∠3＝∠2，这是由位置关系推出数量关系的过程．
第2步：
把另一已知条件用上，将两个等式∠1＝∠2、∠2＝∠3结合起来，得出∠1＝∠3，这是由数量关系推出新数量关系的过程．
第3步：
从图形中看出∠1＝∠3为同位角，其相等可得出AB∥CD，这是由数量关系推出位置关系的过程．
示意为：
（2）其次，根据上面的整体分解，可将证明1的书写加以充实：
（3）由于这个图形已经显示出，解题中用到了哪些知识（或方法），先用哪些后用哪些，哪个与哪个作了配合．所以，只须将其再作充实（图7），便可更自觉、也更直观地看到，解题过程是这样一个“三位一体”的工作：
有用捕捉、有关提取、有效组合：
1）从理解题意中捕捉有用的信息．
包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意，从图7可见，这共有3条信息．
（a）从题目的文字叙述中获取“符号信息”．
∠1＝∠2 ①
（b）从题目的图形中获取“形象信息”．
∠1与∠3为同位角， ②
∠2与∠3为对顶角， ③
2）从记忆储存中提取有关的信息．
这是一批被解题需要激活的知识，并随着解题的进展而扩散，从图7可见，这有3条信息．
（a）对顶角相等． ④
（b）等于第三个量的两个量相等（传递性）． ⑤
（c）同位角相等，则两直线平行． ⑥
3）把这两方面的信息（共6条）进行有效的组合，使之成为一个和谐的逻辑结构（共有3步推理）．
这样，通过分析解题过程我们看清了，这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系，进一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答：
从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆储存中提取有关的信息，并将这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．
6．展开动态想象．
也许我们一开始就感到图形表象有一种对称结构（对称美的召唤），它朦朦胧胧只是因为对称中心没有显化．也许是在解题分析中，由于已证明了AB∥CD，所以居中平行线MN上每一点都是两平行线AB、CD的对称中心，而直线EF上每一点都是直线本身的对称中心，因而图1本身是中心对称图形．
于是，我们有这样的直感，图8中若AB与CD不平行，必然破坏对称性．这是一种不充分的推理，体现了形象思维的特征，同时也揭示了证明的一个新方向．
设EF上的截点为P、Q，而O为线段PQ的中心（图8）．想象会使我们看到，当图形绕点O旋转180°时，射线PE会与射线QF重合，又由∠1＝∠2知，射线PB会与射线QC重合，从而直线AB与直线CD换位，且射线OE与射线OF换位．这一想象实际上已经完成了旧表象到新表象的改造，数量关系∠1＝∠2（保证了旋转180°后图形重合）已经转化为位置关系AB∥CD．否则AB与CD在左（右）边有一个交点，则右（左）边也有一个对称的交点，造成AB和CD重合，与已知矛盾．
以上例示，经历了“表象——直感——想象——论证——反思……”的思维过程，前半部分主要是形象思维，后半部分主要是逻辑思维，在叙述中强调了把解题活动作为对象的再认识．不妥之处，盼批评指正．
二、“命题”学习
同学们，在日常生活中有许多的事和物需要我们通过说理的方式对它们是与非、对与错作出判断，而我们在说理时，常常要使用一些名称或术语．而要对名称和术语进行描述、做出规定，就是给出它们的定义．而要对事物作出判断，就需要命题．下面我就给同学们聊一聊数学中的“命题”，供同学们参考．
一、理解“命题”的含义
对事物进行判定的句子叫做命题，简单地说，也就是可以判断它是正确的或错误的句子叫做命题．
命题的定义中体现了以下两层含义：
（1）命题必须是完整的句子．
（2）这个句子必须对某一事物做出明确的肯定或否定的判断．命题中，不存在“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等含糊不清的词语．
例1 判断下列语句是否是命题？
①对应角相等的两个三角形一定全等；
②不许大声说话；
③作线段AB＝CD；
④你爱好什么运动？
⑤人是高等动物；
⑥同一平面内不相交的两直线叫做平行线．
解析：
判断一个句子是否是命题要抓住两条：
（1）必须是一个完整的句子，这个句子通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；
（2）必须对某一事件作出肯定或否定的判断．
所以①⑤⑥是命题；②③④不是命题．
二、分清命题的结构
1．结构形式：
每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．即
命题组成
题设
结论
组成剖析
已知事项
由已知事项推出的事项
表达形式
如果……
那么……
2．表达形式：
命题一般都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，但有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论．
注意：
1．命题的题设部分有时也可以用“若……”或“已知……”等形式，命题的结论部分有时也可写成“则……”或“求证……”等形式．
2．有的命题的题设和结论不止一个，我们在用“如果……，那么……”的形式改写命题时，要特别注意．
例2 说出“同角的补角相等”的条件和结论．
分析：
本命题的条件、结论不太分明，我们可将其写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论．
解：
命题“同角的补角相等”可写为“如果这两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”．所以本命题的条件是：
这两个角是同一个角的补角，结论是：
这两个角相等．
三、会辨命题的真假
1．对于一个命题来说，它可能是正确的，也可能是错误的．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
2．真命题假命题的比较．
真命题
如果题设成立，那么结论一定成立．
假命题
题设成立时，不能保证结论总是正确的．
3．要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据基本事实和已经证明的定理等进行推理证明．
例3 阅读下列语句，完成后面的题目．
（1）同类项的数字系数必须相同；
（2）数轴上的点与实数是一一对应的；（3）若
，则
；（4）响应党中央号召，开发大西南；（5）台湾是中华人民共和国不可分割的领土；（6）“法轮功”是邪教；（7）改革开放是社会发展的动力；（8）今晚你去看电影吗？
（9）鸦片战争是中国近代史的开端；（10）两点之间的线段叫做这两点之间的距离．
①其中属于命题的是，不属于命题的是；
②其中属于真命题的是；
③对于每个假命题，你是怎样判断的？
解析：
①属于命题的有：
（1）、
（2）、（3）、（5）、（6）、（7）、（9）、（10），不属于命题的有：
（4）、（8）；
②属于真命题的有：
（2）、（5）、（6）、（7）、（9）；
③要说明命题是假命题，可采用举反例的方法，如：
（1）中a和－a是同类项，但系数不同；（3）中
，但7≠－7；（10）中两点之间的距离是指两点之间的线段的“长度”．
三、真命题与公理、定理
初学几何的同学，对真命题、公理、定理之间的区别与联系容易混淆，现作如下辨析，供同学们参考．
真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．如：
①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果a＞b，b＞c那么a＞c．
③对顶角相等．
公理是人们在长期实践中总结出来的、正确的命题，它不需要用其他的方法来证明，初一几何我们学过的主要公理有：
①经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
②经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
③同位角相等，两直线平行．
④两直线平行，同位角相等．
公理的正确性是在实践中得以证实的，是被大家公认的，不再需要其他的证明，并且它可以作为证明其他真命题的依据．如应用公理③可以推导出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”．
定理是根据公理或已知的定理推导出来的真命题，这些真命题都是最基本的和常用的，所以被人们选作定理．还有许多经过证明的真命题没有被选作定理．所以，定理都是真命题，而真命题不都是定理．例如：
“若∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”，这就是一个真命题，但不能说是定理．
总之，公理和定理都是真命题，但有的真命题既不是公理，也不是定理．公理和定理的区别主要在于：
公理的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明．
四、证明的必要性
在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．
这是因为：
第一，直观有时会造成错觉，直观并不永远可信．
如在图1中，线段AB好像小于线段AC；图2中，竖线好像比横线长；图3中，左图中心的圆好像比右图中心的圆小；图4中上面一根横线好像比下面的一根长，但是，所有这些都是观察中的错觉．如果用圆规，直尺认真地量一量，就会发现它们实际上是相等的，这些例子说明直观并不可靠．
图1图2
图3图4
第二，通过对少数具体例子的观察，测量得出的结论，并不能保证“永远正确”，不能保证在一般情况下都成立．
第三，有时，图形的性质并不能通过测量得出．例如：
两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定．
第四，通过推理的方法来研究图形，不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于对几何图形的研究．
因此，在几何中，除了公理以外，任何一个命题的正确性，只有在进行了推理论证以后，才会得到认可，而这种推理论证，就是借助于演绎推理来进行的．
五、观察与推理
观察是就事物在自然条件下所发生的形态，通过感官认识对象的方法．
我们通过观察，可以得到许多知识．几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的．
不过，从观察得到的认识，是初步的，往往是不全面的，不深入的．例如，我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和，得到“三角形三个角的和等于180°”的结论．那么，是不是所有的三角形都是这样的呢？
为什么每个三角形三个角的和必然是180°呢？
只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，这就是推理．
在学习平行线的判定方法时，我们在观察和实验的基础上，得到了“同位角相等，两直线平行”．接着，根据同位角与内错角的关系，推出了“内错角相等，两直线平行”的结论．这说明，推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入，而且还可以进一步得到一些新知识．
学习几何离不开观察和实验，也需要掌握推理的方法.
六、逻辑推理问题举例
数学中有一类问题，叫做逻辑推理问题，它往往从一些关联的条件出发，应用一定的知识，通过分析、推理，排除不可能情况，然后做出正确的判断，下面举例说明：
A、B、C、D四人对王老师的藏书数目做出以下估计：
A说：
“王老师有五百本书．”
B说：
“王老师至少有一千本书．”
C说：
“王老师的书不到两千本．”
D说：
“王老师最少有一本书．”
这四个估计中只有一个是对的，问王老师究竟有多少本书？
分析：
首先，A说得不对，否则C、D说的也对了，与已知“只有一句正确”相抵触，同理，B说的也不对，否则D也说对了．
请注意，B与C的估计至少有一个是正确的，因为只有一个对，故C说的对，再由已知，推出D说的不对，从而知：
王老师一本书也没有．
你能对下面这个问题作出解答吗？
练习：
有三个箱子分别涂以红、黄、蓝三色，一个苹果放入其中之一，且
（1）红箱上写着：
“苹果在这只箱子里”；
（2）黄箱上写着：
“苹果不在这只箱子里”；
（3）蓝箱上写着：
“苹果不在红箱子里”．
已知
（1）、
（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪只箱子里？
七、《周髀算经》简介
《周髀算经》是算经十书之一，约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，书中大部分的记载与天文学的计算有关．
我国自古谈论天体者分为三家，即盖天、宣夜、浑天．盖天起源甚早，由鲍澣之跋可知周髀算经乃盖天理论，盖天者顾名思义谓天如笠盖，日月星辰在此盖上运行，人居其内地上，整部周髀算经就是古代盖天天文学家用三角测量法度量天体距离并解释四极四季的书籍．其中涉及部分数学内容，这些数学内容包括：
整数与分数四则运算，等差数列与一次内插法，勾股定理一般形式的明确表述及勾股测量，并用到了开平方法．
《周髀算经》是我国古代数学发展史上的一部重要著作，唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》．此书准确著作年代难以查考，现存周髀算经为东汉末年赵君卿所注，甄鸾重述，李淳风注释．原作者不知为何人，也无法推知成书年代．按该书言及『昔者周公问于商高曰……』、『昔者荣方问于陈子』、『吕氏曰……』三段，可以视为最后部份应在秦相吕不韦时期之后所完成的．然而汉书艺文志并未言及此书，到隋书经籍志才有记载，赵君卿所撰序文中谈到『浑天有灵宪之文，盖天有周髀之法』灵宪是东汉张衡所作，以此推之，赵君卿不是东汉末年之人，就是魏晋之间人．
《周髀算经》，书凡二卷，意义一卷，书后所附清嘉定六年鲍澣所作之跋，谈及『周髀算经二卷，古盖天之为也，以句股之法度天地之高厚，推日月之运行，而得其度数．其书出于商周之间，自周公受之于商高，周人志之，谓之周髀，其所后来远矣．』则肯定该书成于商周之间．学者胡适认为该书前半部当为殷商周初之作，后半部是后汉作品，似乎可信．在赵君卿周髀注中，他撰成勾股圆方图说，附录于周髀首章的注文中，勾股图说短短五百多字，附图六张，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就，不祇勾股定理和其他关于勾股胘的恒等式，即所谓的勾股定理获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见．
八、化圆为方问题
约公元前460年，古希腊智人学派提出几何作图三大问题：
化圆为方、三等分角和倍立方．希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题．正因为三大问题很难用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中……这些问题困扰人类二千多年都不得其解．
对于化圆为方问题，19世纪，在人们揭示了数的本质后，才认识到问题的症结所在，原来的圆的面积为πR2（R为圆的半径），其中π是一个超越数，它是不能精确测得的，假设化圆为方的话，其边长为m，则问题就是要：
πR2＝m2．这个问题由于π的缘故而受到了挫折，成为一个千古难题．
数学的研究，有一个根本的东西就是条件，化圆为方问题不能解的条件，就是几何中只允许使用圆规和无刻度的直尺，希望能通过有限次的作图，把圆的面积化为等积的正方形，如果我们取消了这个限制，就是改换条件，这个问题不仅可以解决，而且解决的方法还不只一种．
15世纪著名画家达·芬奇曾有一个很巧妙的办法在不加圆规，直尺限制条件下实现了化圆为方．他的作法是：
如图取半径为R的直圆柱，其高取为
，将其沿侧棱剪开，得一个矩形，这个矩形的一条边长为
，另一边长为2πR，它的面积恰好为2πR×
＝πR2，这一步他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以
和2πR为基础，作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为πR2，这一步，他实现了把圆化为矩形的目的．
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