新人教版初中数学9年级下册27章精品新题型解析.docx
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新人教版初中数学9年级下册27章精品新题型解析
九年数学下第27章《相似》新题型解析
一、网格证明题
例1.如图1,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
(1)填空:
∠ABC=_________°,BC=_________;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论。
图1
解:
(1)∠ABC=135°,
(2)能判断△ABC与△DEF相似(或△ABC∽△DEF),这是因为∠ABC=∠DEF=135°,
∴△ABC∽△DEF
评析:
本题寓填空、识图、说理于一体,利用网格解决相似问题,使学生基础知识得以应用,思维能力得以提高。
二、情景应用题
例2.如图2所示,某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂,这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们之间有公路相通,且AB=CD=900米,AD=BC=1700米。
自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处,EC=500米。
若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担,每米造价800元。
图2
(1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计?
并在图形中画出;
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元?
解:
(1)过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG,交AN于H、F、G,BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。
如图3所示。
图3
(2)(米)
(米)
∵△ABE∽△CFE
得
(米)
∵△BHE∽△CFE,得
(米)
∵△ABE∽△DGA,
(米)
所以,B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是(元),(元),(元)。
评析:
将相似与应用有机结合,是本题的一个特色,本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊,但涉及的知识面宽,知识点多,它不仅综合考查学生能力,而且通过本题使学生明白,社会实践离不开数学。
三、分类讨论题
例3.在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且,则∠BCA的度数为_____。
解:
(1)当高AD在△ABC内时,如图4。
图4
又∠ADB=∠CDA,∴△ADB∽△CDA
∴∠BAD=∠ACD
∵∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD+∠BAD=90°
∵∠B=25°,∴∠BCA=65°
(2)当高AD在△ABC外时,如图5。
图5
同理可证△ADB∽△CDA
∴∠ABD=∠CAD=25°
∴∠ACD=65°
∴∠BCA=180°-∠ACD=115°
评析:
本题一方面考查相似三角形的判定和性质,另一方面考查分类讨论的思想方法。
四、新定义图形题
例4.
定义:
若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形。
探究:
(1)如图6,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗?
若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由。
图6
(2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连结三角形各边中点,就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。
我们把△DEF(图7)第一次顺次连结各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图7-1);把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割,称为2阶分割(如图7-2)……依此规则操作下去。
n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时小三角形的面积为。
①若△DEF的面积为10000,当n为何值时,?
(请用计算器进行探索,要求至少写出三次的尝试估算过程)
②当n>1时,请写出一个反映之间关系的等式(不必证明)。
解:
(1)如图8,过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD即是满足要求的分割线。
图8
理由:
∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB
(2)①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为
当时,
当n=6时,
当n=7时,
∴当n=6时,
②
评析:
这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式,如观察、实验、推理、猜想,而不仅仅是记忆,模仿,从而明白:
研究问题要由表及里,由此及彼,学以致用。
五、运动变化题
例5.
如图9,在一个长40m、宽30m的长方形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地。
当他出发4s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上,此时,A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。
(1)求他们的影子重叠时,两人相距多少米(DE的长)?
(2)求张华追赶王刚的速度是多少(精确到0.1m/s)?
图9
解:
(1)由阳光与影子的性质可知DE∥AC
∴∠BDE=∠BAC,∠BED=∠BCA
∴△BDE∽△BAC
(2),王刚到E点的时间为,张华追赶王刚的速度是。
评析:
解决运动变化的问题,应认真地分析运动的全过程,把握运动变化过程中的各种情况,特别是关键的点,特殊的位置。
六、作图说理题
例8.
小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏,两同学越玩越开心,小胖对小瘦说:
“真可惜!
我只能将你最高翘到1米高,如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度,那么我就能翘到1米25,甚至更高!
”
(1)你认为小胖的话对吗?
请你作图分析说明:
(2)你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法?
试说明。
解:
(1)小胖的话不对。
小胖说“真可惜!
我现在只能将你最高翘到1米高”,情形如图10-1所示,OP是标准跷跷板支架的高度,AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米,BC是地面。
图10-1
∵OP⊥BC,AC⊥BC,∠OBP=∠ABC
∴△OBP∽△ABC
又∵此跷跷板是标准跷跷板,BO=OA
,而AC=1米,得OP=0.5米
若将两端同时都再伸长相同的长度,假设为a米(a>0)
如图10-2所示,BD=a米,AE=a米
图10-2
即DO=OE
同理可得△DOP∽△DEF
,由OP=0.5米,得EF=1米
综上所述,跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度,跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍,所以不可能翘得更高。
(2)方案一保持BO长度不变,将OA延长一半至E,即只将小瘦一边伸长一半。
使,则。
由△BOP∽△BEF,得
∴EF=1.25米
方案二如图10-3所示,只将支架升高0.125米
图10-3
又米
米
评析:
本题为探究结论型开放题。
第
(1)题中,只要看构成的三角形的相似比是否变化。
第
(2)题中,只要改变构成的三角形的相似比。
它虽未在难度上着墨,却令人颇感新意,体现出对灵活思维的要求,值得重视。