圆内接四边形的性质及判定定理.docx

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圆内接四边形的性质及判定定理

二圆内接四边形的性质及判定定理

[对应学生用书P21]

1．圆内接四边形的性质

（1）圆的内接四边形对角互补．

如图：

四边形ABCD内接于⊙O，则有：

∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.

（2）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

如图：

∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：

∠CBE＝∠D.

2．圆内接四边形的判定

（1）判定定理：

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

（2）推论：

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

[对应学生用书P21]

圆内接四边形的性质

[例1]　如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证：

∠DEA＝∠DFA.

[思路点拨]　本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．

[证明]　连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．

所以∠DEA＝∠DFA.

圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．

1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．

解：

设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，

则由∠A＋∠C＝180°，

可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°.

∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，

∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.

2．已知：

如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.

（1）求证：

AB＝AC；

（2）若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．

解：

（1）证明：

∵∠ABC＝∠2，

∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，

∴∠ABC＝∠4.

∴AB＝AC.

（2）∵∠3＝∠4＝∠ABC，

∠DAB＝∠BAE，

∴△ABD∽△AEB.

∴

＝

.

∵AB＝AC＝3，AD＝2，

∴AE＝

＝

.

∴DE＝

－2＝

（cm）.

圆内接四边形的判定

[例2]　如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.

求证：

E，D，P，F四点共圆．

[思路点拨]　可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．

[证明]　如图，连接PF，

∵AP⊥BC，F为AC的中点，

∴PF＝

AC.

∵FC＝

AC，

∴PF＝FC.

∴∠FPC＝∠C.

∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．

∴EF∥CD，ED∥FC.

∴四边形EDCF为平行四边形，

∴∠FED＝∠C.

∴∠FPC＝∠FED.

∴E，D，P，F四点共圆．

证明四点共圆的方法常有：

①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．

3．判断下列各命题是否正确．

（1）任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；

（2）矩形有唯一的外接圆；

（3）菱形有外接圆；

（4）正多边形有外接圆．

解：

（1）错误，任意三角形有唯一的外接圆；

（2）正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；（3）错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；（4）正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．

4．已知：

在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：

（1）D、E、F、G四点共圆；

（2）G、B、C、F四点共圆．

证明：

（1）如图，

连接GF，

由DF⊥AB，EG⊥AC，

知∠GDF＝∠GEF＝90°，

∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．

（2）连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B.又由

（1）中D、E、F、G四点共圆，

∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.

∴G、B、C、F四点共圆.

圆内接四边形的综合应用

[例3]　如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.

求证：

PM⊥CD.

[思路点拨]　⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．

[证明]　如图，

分别连接AB，AE，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ABP＝∠D.

∵A、E、B、P四点共圆，

∴∠ABP＝∠AEP.

∴∠AEP＝∠D.

∴A、E、M、D四点共圆．

∴∠PMC＝∠DAE.

∵PE是⊙O1的直径，

∴EA⊥PA.

∴∠PMC＝∠DAE＝90°.

∴PM⊥CD.

此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．

5.如图，P点是等边△ABC外接圆的

上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.

求证：

（1）∠D＝∠CBP；

（2）AC2＝CP·CD.

证明：

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠A＝60°.

∴∠DBC＝120°.

又∵四边形ABPC是圆内接四边形，

∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.

∴∠BPC＝∠DBC.

又∵∠DCB＝∠BCP，

∴△BCP∽△DCB.

∴∠D＝∠CBP.

（2）由

（1）知△BCP∽△DCB，

∴

＝

.

∴CB2＝CP·CD.

又CB＝AC，∴AC2＝CP·CD.

6．如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝

BC，CE＝

CA，AD，BE相交于点P.

求证：

（1）四点P，D，C，E共圆；

（2）AP⊥CP.

解：

（1）证明：

在△ABC中，

由BD＝

BC，CE＝

CA知：

△ABD≌△BCE，

即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°，

所以四点P，D，C，E共圆．

（2）如图，连接DE.

在△CDE中，CD＝2CE，

∠ACD＝60°，

由余弦定理知∠CED＝90°.

由四点P，D，C，E共圆知，

∠DPC＝∠DEC，

所以AP⊥CP.

[对应学生用书P24]

一、选择题

1．设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：

①sinA＝sinC，②sinA＋sinC＝0，③cosB＋cosD＝0，④cosB＝cosD.

其中恒成立的关系式的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

因为圆内接四边形的对角互补，

故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不为0°或180°，

故①式恒成立，②式不成立．

同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．

④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．

答案：

B

2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（　　）

A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2

C．4∶1∶3∶2D．以上都不对

解析：

由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．

答案：

B

3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于（　　）

A．20°B．40°

C．80°D．100°

解析：

四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，

又由圆周角定理知：

∠AOC＝2∠D＝80°.

答案：

C

4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有（　　）

①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；

②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；

③∠A的外角与∠C的外角互补；

④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：

由“圆内接四边形的对角互补”可知：

①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等（亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例）；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等（这里1＋3≠2＋4）．因此得出①③正确，②④错误．

答案：

B

二、填空题

5．（2014·陕西高考）如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.

解析：

∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴

＝

，

即

＝

，∴EF＝3.

答案：

3

6．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，

BD＝________.

解析：

∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.

在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝

＝6.

又∵CD平分∠ACB.

即∠ACD＝∠BCD，

∴AD＝BD.

∴BD＝

＝5

.

答案：

6　5

7．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB＝________，∠ADB＝________.

解析：

∵∠C和∠AOB分别是

所对的圆周角与圆心角，

∴∠AOB＝2∠C＝68°.

∵周角是360°，劣弧AB的度数为68°，∴优弧AB的度数为292°.

∴∠ADB＝

×292°＝146°.

答案：

68°　146°

三、解答题

8.已知：

如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对角线AC与BD相交于O点，求证：

E，F，G，H共圆．

证明：

法一：

连接EF、FG、GH、HE.

∵E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF∥AC.同理EH∥BD.

∴∠HEF＝∠AOB.

∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°.

同理∠FGH＝90°.

∴∠HEF＋∠FGH＝180°.

∴E、F、G、H共圆．

法二：

连接OE、OF、OG、OH.

∵四边形ABCD为菱形．

∴AC⊥BD，

AB＝BC＝CD＝DA.

∵E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，

∴OE＝

AB，OF＝

BC，

OG＝

CD，OH＝

DA.

∴OE＝OF＝OG＝OH.

∴E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上．

故E，F，G，H四点共圆．

9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

（1）证明：

CD∥AB；

（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：

A，B，G，F四点共圆．

证明：

（1）因为EC＝ED，

所以∠EDC＝∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，

所以∠EDC＝∠EBA.

故ECD＝∠EBA.

所以CD∥AB.

（2）由

（1）知，AE＝BE.

因为EF＝EG，

故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.

连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，

故∠FAE＝∠GBE.

又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，

所以∠FAB＝∠GBA.

所以∠AFG＋∠GBA＝180°.

故A，B，G，F四点共圆．

10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2

，点C与点D分别是劣弧

与优弧

上的任一点（点C、D均不与A、B重合）．

（1）求∠ACB.

（2）求△ABD的最大面积．

解：

（1）连接OA、OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.

Rt△AOE中，OA＝2.

AE＝

AB＝

×2

＝

.

所以sin∠AOE＝

＝

，

∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.

又∠ADB＝

∠AOB，

∴∠ADB＝60°.

又四边形ACBD为圆内接四边形，

∴∠ACB＋∠ADB＝180°.

从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.

（2）作DF⊥AB，垂足为F，则

S△ABD＝

AB·DF＝

×2

×DF＝

DF.

显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，

从而S△ABD取得最大值．

此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3

，

即△ABD的最大面积是3

.