简易逻辑.docx
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简易逻辑
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简易逻辑
1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．
2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．
第1课时逻辑联结词和四种命题
一、逻辑联结词
1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；
命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．
2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．
由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：
，（其中p，q都是简单命题）．
3．判断复合命题的真假的方法—真值表：
“非p”形式的复合命题真假与p的当p与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．
二、四种命题
1．四种命题：
原命题：
若p则q；逆命题：
、否命题：
逆否命题：
.
2．四种命题的关系：
原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．
3．反证法：
欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．
例1.下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（）
A．p:
0＝；q:
0∈
B．p：
在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；y＝sinx在第一象限是增函数
C．；不等式的解集为
D．p：
圆的面积被直线平分；q：
椭圆的一条准线方程是x＝4
解：
由已知条件，知命题p假且命题q真.选项（A）中命题p、q均假，排除；选项（B）中，
命题p真而命题q假，排除；选项（D）中，命题p和命题q都为真，排除；故选（C）．
变式训练1：
如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（）
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
解：
D
例2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
（1）若q1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
（2）若ab＝0，则a＝0或b＝0；
（3）若x2＋y2＝0，则x、y全为零.
解：
（1）逆命题：
若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：
若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：
若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
（2）逆命题：
若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：
若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：
若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
（3）逆命题：
若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
否命题：
若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：
若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．
变式训练2：
写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
?
（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；?
（2）矩形的对角线互相平分且相等；?
（3）相似三角形一定是全等三角形.?
解：
（1）否命题是：
“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.?
原命题为真命题，否命题也为真命题.?
（2）否命题是：
“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”?
原命题是真命题，否命题是假命题.?
（3）否命题是：
“不相似的三角形一定不是全等三角形”.?
原命题是假命题，否命题是真命题.
例3.已知p：
有两个不等的负根，q：
无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
分析：
由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
解：
p：
有两个不等的负根．
q：
无实根．
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
（ⅰ）当p真且q假时，有；
（ⅱ）当p假且q真时，有．
综合，得的取值范围是{或}．
变式训练3：
已知a0,设命题p:
函数y=ax在R上单调递减，q：
不等式x+|x-2a|1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.
解：
由函数y=ax在R上单调递减知0a1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1,令y=x+|x-2a|,
则y=不等式x+|x-2a|1的解集为R，只要ymin1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a1，即a即q真a若p真q假,则0a≤若p假q真，则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0a≤或a≥1.
例4.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋．求证：
a、b、c中至少有一个大于0．
证明：
假设都不大于0，即，则
而
＝
，．
相矛盾．因此中至少有一个大于0．
变式训练4：
已知下列三个方程：
①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋（a－1）x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
解：
设已知的三个方程都没有实根．
则
解得．
故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－．
1．有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式．
2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．
3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：
（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．
第2课时充要条件
1．充分条件：
如果则p叫做q的条件，q叫做p的条件．
2．必要条件：
如果则p叫做q的条件，q叫做p的条件．
3．充要条件：
如果且则p叫做q的条件．
例1．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．
1．A：
，B：
方程有实根；
2．A：
，B：
；
3．A：
；B：
；
4．A：
圆与直线相切，B：
分析：
要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．
解：
（1）当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件．
（2）若则
所以成立
若成立取，知不一定成立，
故A是B的充分不必要条件．
（3）由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．
（4）直线与圆相切圆（0，0）到直线的距离，即＝＝.所以A是B的充要条件.
变式训练1：
指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.?
（1）在△ABC中，p：
∠A=∠B，q：
sinA=sinB；?
（2）对于实数x、y，p：
x+y≠8,q:
x≠2或y≠6;?
（3）非空集合A、B中，p：
x∈A∪B，q：
x∈B；?
?
（4）已知x、y∈R，p：
（x-1）2+（y-2）2=0，q：
（x-1）（y-2）=0.?
解：
（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°）,所以只有A=B.故p是q的充要条件.?
（2）易知:
p:
x+y=8,q:
x=2且y=6,显然qp.但pq,即q是p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.?
（3）显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.?
（4）条件p:
x=1且y=2,条件q:
x=1或y=2,?
所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.?
例2.已知p：
－2＜m＜0，0＜n＜1；q：
关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.
解：
若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2．
则0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n
∴0＜－m＜2，0＜n＜1∴－2＜m＜0，0＜n＜1
∴p是q的必要条件．
又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．
则方程为x2－x＋＝0，∵△＝（－1）2－4×＝－1＜0．∴方程无实根∴p是q的非充分条件．
综上所述，p是q的必要非充分条件．
变式训练2：
证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.?
证明：
充分性：
若ac0,则b2-4ac0,且0,?
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.?
必要性：
若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac0,x1x2=0,∴ac0.
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.
例3.已知p：
|1－|≤2，q：
:
x2－2x+1－m2≤0（m0），若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解：
由题意知：
命题：
若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：
p是q的充分不必要条:
|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
q:
x2－2x+1－m2≤0［x－（1－m）］［x－（1+m）］≤0*
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0（m0）解集的子集.
又∵m0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1＋m
∴，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞
变式训练3：
已知集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.
解：
，
由
所以是必要但不充分条件.说明：
此题答案不唯一.
例4.“函数y＝（a2＋4a－5）x2－4（a－1）x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？
解：
函数的图象全在轴上方，若是一次函数，则
若函数是二次函数，则：
反之若，由以上推导，函数的图象在轴上方，综上，充要条件是．
变式训练4：
已知P＝{x||x－1||2}，S＝{x|x2＋，的充要条件是，求实数的取值范围．
分析：
的充要条件是，即任取，反过来，任取
据此可求得的值．
解：
的充要条件是
∵P＝{x||x－1|＞2}}＝
S＝{x|x2＋（a＋1）x＋a＞0）}＝{x|（x＋a）（x＋1）＞0}
1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．
2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．
3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．
4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．
5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．
简易逻辑章节测试题
一、选择题
1．设集合的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的（）
?
A.充分不必要条件B.必要不充分条件?
?
C.充要条件?
D.既不充分也不必要条件?
3.（2009合肥模拟）已知条件p：
（x+1）24，条件q:
xa,且的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）
A.a≥1B.a≤1?
C.a≥-3?
D.a≤-3?
?
4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（）
A.充分而不必要条件?
B.必要而不充分条件?
C.充分必要条件?
D.既不充分也不必要条件?
5.设集合M={x|x2}，P={x|x3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）
?
A.充分不必要条件B.必要不充分条件?
充要条件D.既不充分也不必要条件?
6.在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是（）
7.（2008浙江理，3）已知a,b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条充分必要条件D.既不充分也不必要条（2008北京海淀模拟）若集合A={1，m2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件?
C.充分必要条件?
D.既不充分也不必要条件?
9.若数列{an}满足=p（p为正常数，n∈N*），则称{an}为“等方比数列”.?
甲：
数列{an}是等方比数列；?
乙：
数列{an}是等比数列，则（）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件?
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件?
C.甲是乙的充要条件?
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件?
10.命题p:
若a、bR,则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件.命题q:
函数y=的定义域是，则（）
A．“p或q”为假B．“p且q”为真
C．p真q假D．p假q真
二、填空题
11．已知数列，那么“对任意的n∈N*，点都在直线上”是“为等差数列”的条件．
12.设集合A={5,log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B已知条件p：
|x+1|2,条件q:
5x-6x2，则非p是非q的条件.?
不等式|x|a的一个充分条件为0x1,则a的取值范围为.?
已知下列四个命题：
①a是正数；②b是负数；③a+b是负数；④ab是非正数.
选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题.
三、解答题
16．设命题p：
（4x-3）2≤1;命题q:
x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.?
．求关于x的方程ax2-（a2+a+1）x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.?
18．设p：
实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0；q：
实数x满足x2-x-6≤0，或x2+2x-8＞0，且的必要不充分条件，求a的取值范围.?
．
（1）是否存在实数p,使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件？
如果存在，求出p的取值范围；
（2）是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的必要条件？
如果存在，求出p的取值范围.
20．已知，设函数在R上单调递减，：
不等式的解集为R，如果和有且仅有一个正确，求c的取值范围．
简易逻辑章节测试题答案
1．B
2.A?
?
A?
?
?
?
5.B?
?
6.B?
?
D
8.A?
?
9.B?
?
10.D
11．充分而不必要条件
12.{1，2，5}?
充分不必要?
a≥1?
若①③则②（或若①②则④或若①③则④）
16．解设A={x|（4x-3）2≤1},B={x|x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0},?
易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.?
由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴
故所求实数a的取值范围是［0，］．解方法一若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a≠0，则方程至少有一个正根等价于?
?
或
或-1a0或a0.?
综上：
方程至少有一正根的充要条件是a-1.?
方法二若a=0，则方程即为-x+1=0,?
∴x=1满足条件；?
若a≠0，∵Δ=（a2+a+1）2-4a（a+1）=（a2+a）2+2（a2+a）+1-4a（a+1）?
=（a2+a）2-2a（a+1）+1=（a2+a-1）2≥0，∴方程一定有两个实根.?
故而当方程没有正根时，应有解得a≤-1,
∴至少有一正根时应满足a-1且a≠0,综上：
方程有一正根的充要条件是a-．解设A={x|p}={x|x2-4ax+3a20,a0}={x|3axa,a0},?
B={x|q}={x|x2-x-6≤0或x2+2x-80}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-80}?
={x|-2≤x≤3}∪{x|x-4或x2}=
方法一∵的必要不充分条件,∴则而RB==RA∴
则综上可得-
方法二由p是q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴AB，∴a≤-4或3a≥-2,又∵a0,∴a≤-4或-≤a0．解
（1）当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0,得x-故-≤-1时，
“x-”“x-1”“x2-x-20”.∴p≥4时，“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件.
（2）不存在实数p满足题设要求.
20．解：
函数在R上单调递减
不等式的解集为函数
，在R上恒大于1
函数在上的最小值为
不等式的解集为R
，如果p正确，且q不正确
则，如果p不正确，且q正确，则，所以c的取值范围为．
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