简易逻辑.docx

1、简易逻辑简易逻辑简 易 逻 辑 1理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义 2学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题 2集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能

2、力，题型常以解答题的形式出现 第1课时 逻辑联结词和四种命题 一、逻辑联结词 1 可以 的语句叫做命题命题由 两部分构成； 命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题 2逻辑联结词有 ，不含 的命题是简单命题 由 的命题是复合命题复合命题的构成形式有三种： ，(其中p，q都是简单命题) 3判断复合命题的真假的方法真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ；当p与q都 时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形 二、四种命题 1四种命题：原命题：若p则q；逆命题： 、否命题： 逆否命题： . 2四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否

3、命题 、逆否命题 原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 3反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法 例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（ ） Ap:0 ；q:0 Bp：在 ABC中，若cos2Acos2B，则AB； ysinx在第一象限是增函数 C ； 不等式 的解集为 Dp：圆 的面积被直线 平分；q：椭圆 的一条准线方程是x4 解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中， 命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题

4、q都为真，排除；故选(C) 变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ） A命题p和命题q都是假命题 B命题p和命题q都是真命题 C命题p和命题“非q”真值不同 D命题q和命题p的真值不同 解： D 例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1) 若q1，则方程x22xq0有实根； (2) 若ab0，则a0或b0； (3) 若x2y20，则x、y全为零. 解：(1)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，为假命题否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，为假命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1，为真命题 (2)逆命题：若a0

5、或b0，则ab0，为真命题 否命题：若ab0，则a0且b0，为真命题 逆否命题：若a0且b0，则ab0，为真命题 (3)逆命题：若x、y全为零，则x2y20，为真命题 否命题：若x2y20，则x、y不全为零，为真命题 逆否命题：若x、y不全为零，则x2y20，为真命题 变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：? （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；? （2）矩形的对角线互相平分且相等；? （3）相似三角形一定是全等三角形.? 解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.? 原命题为真命题，否命题也

6、为真命题.? （2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”? 原命题是真命题，否命题是假命题.? （3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.? 原命题是假命题，否命题是真命题. 例3. 已知p： 有两个不等的负根，q： 无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围 分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论 解：p： 有两个不等的负根 q： 无实根 因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反 () 当p真且q假时，有 ； () 当p假

7、且q真时，有 综合，得 的取值范围是 或 变式训练3：已知a0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围. 解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知0a1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1,令y=x+|x-2a|, 则y= 不等式x+|x-2a|1的解集为R，只要ymin1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a1，即a 即q真 a 若p真q假,则0a 若p假q真，则a1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0a 或a1. 例4. 若a，b，c均为实数，且ax22y ，by22z ，

8、cz22x 求证：a、b、c中至少有一个大于0 证明：假设 都不大于0，即 ，则 而 ， 相矛盾因此 中至少有一个大于0 变式训练4：已知下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围. 解：设已知的三个方程都没有实根 则 解得 故所求a的取值范围是a1或a 1有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式 2当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法 3反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否

9、定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确 第2课时 充要条件 1充分条件：如果 则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件 2必要条件：如果 则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件 3充要条件：如果 且 则p叫做q的 条件 例1在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由 1 A： ，B：方程 有实根； 2 A： ，B： ； 3A： ；B： ； 4A：圆 与直线 相切，B： 分析：要判

10、断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可 解：(1) 当 ，取 ，则方程 无实根；若方程 有实根，则由 推出 或 6，由此可推出 所以A是B的必要非充分条件 (2)若 则 所以 成立 若 成立 取 ，知 不一定成立， 故A是B的充分不必要条件 (3) 由 ，由 解得 ，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件 (4) 直线 与圆 相切 圆(0，0)到直线的距离 ，即 .所以A是B的充要条件. 变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.? （1）在ABC中，

11、p：A=B，q：sinA=sinB；? （2）对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6;? （3）非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；? （4）已知x、yR，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.? 解： （1）在ABC中，A=B sinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180),所以只有A=B.故p是q的充要条件.? (2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p.但 p q,即 q 是 p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.? (3)显然xAB不

12、一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.? (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,? 所以p q但q p,故p是q的充分不必要条件.? 例2. 已知p：2m0，0n1；q：关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件. 解：若方程x2mxn0有两个小于1的正根，设为x1、x2 则0x11、0x21，x1x2m，x1x2n 0m2，0n1 2m0，0n1 p是q的必要条件 又若2m0，0n1，不妨设m1，n 则方程为x2x 0，(1)24 10 方程无实根 p是q的非充分条件 综上所述，p是q的必要非充分条件 变式训练2：证明一元二次方程

13、ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.? 证明：充分性：若ac0,则b2-4ac0,且 0,? 方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.? 必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则 =b2-4ac0,x1x2= 0,ac0. 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0. 例3. 已知p： |1 |2，q：:x22x+1m20(m0)，若 是 的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 解： 由题意知：命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条: |1 |

14、2 2 12 1 3 2x10 q: x22x+1m20 x(1m)x(1+m)0* p是q的充分不必要条件， 不等式|1 |2的解集是x22x1m20(m0)解集的子集. 又m0，不等式*的解集为1mx1m ，m9， 实数m的取值范围是9，+ 变式训练3：已知集合 和集合 ，求a的一个取值范围，使它成为 的一个必要不充分条件. 解： ， 由 所以 是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一. 例4. “函数y(a24a5)x24(a1)x3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？ 解：函数的图象全在 轴上方，若 是一次函数，则 若函数是二次函数，则： 反之若 ，由以上推导，

15、函数的图象在 轴上方，综上，充要条件是 变式训练4：已知Px | |x1| | 2，Sx | x2 ， 的充要条件是 ，求实数 的取值范围 分析： 的充要条件是 ，即任取 ，反过来，任取 据此可求得 的值 解： 的充要条件是 Px | x1|2 Sx | x2(a1)xa0)x | (xa)(x1)0 1处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念 2确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明 3等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价

16、命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系 4对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性 5对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个 简易逻辑章节测试题 一、选择题 1设集合 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的 （ ） ?A.充分不必要条件 B.必要不充分条件? ?C.充要条件?

17、D.既不充分也不必要条件? 3.（2009合肥模拟）已知条件p：（x+1）24，条件q:xa,且 的充分而不必要条件，则a的取值范围是 （ ） A.a1 B.a1? C.a-3? D.a-3? ? 4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件? B.必要而不充分条件? C.充分必要条件? D.既不充分也不必要条件? 5.设集合M=x|x2，P=x|x3,那么“xM或xP”是“xMP”的 （ ） ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件?充要条件 D.既不充分也不必要条件? 6.在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是

18、（ ） 7.(2008浙江理，3)已知a,b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条充分必要条件 D.既不充分也不必要条（2008北京海淀模拟）若集合A=1，m2，集合B=2，4，则“m=2”是“AB=4”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件? C.充分必要条件 ?D.既不充分也不必要条件? 9.若数列an满足 =p（p为正常数，nN*），则称an为“等方比数列”.? 甲：数列an是等方比数列；?乙：数列an是等比数列，则 ( ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件? B.甲是乙的必要条件但不是充分条件? C.甲是乙的充要条件? D

19、.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件? 10.命题p:若a、b R,则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件.命题q:函数y= 的定义域是 ，则 （ ） A“p或q”为假 B“p且q”为真 Cp真q假 Dp假q真 二、填空题 11已知数列 ，那么“对任意的nN*，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的 条件 12.设集合A=5,log2（a+3），集合B=a，b，若AB=2，则AB已知条件p：|x+1|2,条件q:5x-6x2，则非p是非q的 条件.?不等式|x|a的一个充分条件为0x1,则a的取值范围为 .?已知下列四个命题： a是正数；b是负数；a+b是负数；ab是非正数.

20、选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题 16设命题p：（4x-3）21;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若 p是 q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.?求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.? 18设p：实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0；q：实数x满足x2-x-60，或x2+2x-80，且 的必要不充分条件，求a的取值范围.?(1)是否存在实数p,使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围； （2）是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20

21、”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围. 20已知 ，设 函数 在R上单调递减， ：不等式 的解集为R，如果 和 有且仅有一个正确，求c的取值范围 简易逻辑章节测试题答案 1B 2.A?A? 5.B? 6.B?D 8.A? 9.B? 10. D 11充分而不必要条件 12.1，2，5?充分不必要?a1?若则（或若则或若则） 16解 设A=x|(4x-3)21,B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0,? 易知A=x| x1,B=x|axa+1.? 由 p是 q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A B， 故所求实数a的取值范围是0， 解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0

22、,x=1满足条件，若a0，则方程至少有一个正根等价于? ? 或 或 -1a0或a0.? 综上：方程至少有一正根的充要条件是a-1.? 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0,? x=1满足条件；? 若a0，=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)? =(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)20，方程一定有两个实根.? 故而当方程没有正根时，应有 解得a-1, 至少有一正根时应满足a-1且a0,综上：方程有一正根的充要条件是a-解 设A=x|p=x|x2-4ax+3a20,a0=x|3axa,a0,? B=x|q=x|x2-x-60

23、或x2+2x-80=x|x2-x-60x|x2+2x-80? =x|-2x3x|x-4或x2= 方法一 的必要不充分条件,则 而 RB= =RA 则 综上可得- 方法二 由 p是 q的必要不充分条件， p是q的充分不必要条件， A B，a-4或3a-2,又a0, a-4或- a0解（1）当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0,得x- 故- -1时， “x- ” “x-1” “x2-x-20”. p4时，“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件. （2）不存在实数p满足题设要求. 20解：函数 在R上单调递减 不等式 的解集为 函数 ，在R上恒大于1 函数 在 上的最小值为 不等式 的解集为R ，如果p正确，且q不正确 则 ，如果p不正确，且q正确，则 ，所以c的取值范围为