二次项定理典型例题.docx

1、二次项定理典型例题典型例题一例1在二项式i 1 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所I 2如丿有有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.得系数为：t1 = 1, t2 = C； = n,上3 = C：二一n(n -1),2 2 4 81 由已知：2t2 =匕 t3 n=1 n(n-1),8n = 8通项公式为彳 16 J3r人1二=0,1,28,Tr 1为有理项，故16-3r是4的倍数,2.r = 0,4,8.依次得到有理项为= x4,T5 = C；丄4 x =色x,Tg

2、= c8斗x， 一 x2.24 8 28 256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理项.类 似地，C，2 33)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r的取值，得到共有17项.典型例题二分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系 数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究. 由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况， 另外各项系数正负交替， 又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值.30-5r解：展开式的通项公式为： Tr ! =C；0(-1)r 2”系数的绝对值为 C；o

3、2 -，记为tr d .用前后两项系数的绝对值作商得：tr羊I C；F 2徇 10! j!(10_r)! 10_r口_ Cl。2_药 _(r+1)!(9_r)! 2 10! 一2(1)5+ 105 3t5 x8典型例题三7 2 7例 3 已知(1 -2x) =a - a2X 亠 a?x，求：(1) a1 a2 a - a7 ；(2) a1 a3 a5 a7 ；( 3) a0 a2 a4 a6.分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果字母经常取的值有 0、1、一 1等.解：(1)取x = 0可得a0 =1,取 X -1 得 a0 a a - (-1)

4、- 1.二 a1 a2 a3 a7 = -2.(2)取 x = -1 得 a0 _ a1 a2 _ a a6 _ a - 3 ,记 A 二 a0 a2 a4 a6, B = a1 a3 a5 a7 . A B =T, A-B =37 .1 1可得 A (37 -1) =1093, B (1 37) - -109422从而 a1 a3 a5 a7 = -1094 .(3)从(2)的计算已知 a0 a2 a4 a6 =1093 .说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决， 女口： (1 x)5 (1-2x)6的展开式中各项的系数和为多少

5、？可以看到(1 x)5(1 -2x)6的展开式仍是多项式，令x = 1，即得各项系数和为 25(-1)6 =32 . 再 比如：(1 x x2)n = a。 a/ a?x2 出卷a2nX2n , 则 a0 a2 a 亠a2n等于多少？本题可以由取 x=1得到各项系数和，取 x=-1得到奇数1项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得 a0 - a2川川-a2n =丄(3n 1).此外，为了赋2值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可如：(x 2log2x)n的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式 (1 2x)n代替原来的二项式，它们的系数并不改变

6、，令 x=1便得各项系数和为3n.典型例题四1例4 ( 1 )求(1 -x)3(1 - x)10展开式中x5的系数；(2)求(X 2)6展开式中的常x数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， (1)可以视为两个二项展开式相乘； (2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1 ) (1-X)3(1 - x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：3 10 c 55用(1 -X)3展开式中的常数项乘以 (1 X)展开式中的 x5项，可以得到 C10X ;用3 10 4 4 4 5(1-x)展开式中的一次项乘以(1 x)展开式中的X4项可得到(-3

7、x)(C1x ) = -3Cwx ；3 2 10用(1 -x)中的X乘以(1 X)展开式中的(C10_C：0 - 3C；0 _U0)X5 二 _63x5 . ( 1 丫由 Jx+ 展开式的通项公式 Jx丿的常数项为C；2二924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五例5 求(1 x-x2)Q展开式中X5的系数.分析：(1X-X2)6不是二项式，我们可以通过 1 X-X2 = (1 x) -x2或1 (x-x2) 把它看成二项式展开.解:方法一：(1 x -X2)6 = (1 x) -X2 6=(1 X6)

8、-6(1 x)5x2 15(1 x)4x4 一其中含 x5 的项为 c6x5 -6C；x5 15C4X5 =6x5.含x5项的系数为6.方法二：(1 xx2)6 二 1 (XX2)F=1 6(x - x2) 15(x -x2 )2 20(x - x2 )3 15(x - x2 )4 6(x - x2)5 (x - x2)6其中含 X5 的项为 20(-3)x5 15(-4)x5 6x5 =6x5 .二x5项的系数为6.方法3 :本题还可通过把(1 x - X2)6看成6个1 * x - X2相乘，每个因式各取一项相乘5 5 5可得到乘积的一项， x项可由下列几种可能得到. 5个因式中取X, 个

9、取1得到C6X .2 3 13 23个因式中取x, 个取-X2，两个取1得到C6 C3XX).1个因式中取X,两个取-X2，三个取1得到C6 C5X (-x ).合并同类项为(C； -clc； dd)x6x5, x5项的系数为6 .典型例题六例 6 求证：（1） C1n - 2C： ncn = n -2n ；（2）cn 丄cn （2ni -i）.2 3 n +1 n +1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值. 解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 cn c；

10、 -cn -cn =2n.左边=nC0+ nC；十+ncni=n(C0。爲 C = n 2nJk=：右边.(2)1 1 n! n!R n _ k!(n -k)! 一(k -1)!(n - k)!丄，亠=丄常n 1 (k 1)!(n -k)! n 11 1 （C；1 C：1 cn1） （2n1-1）=右边.n 1 n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求29C；0 - 28C9o 27C：o 2C2。 10的结果.仔细观察可

11、以发现该组合数的式与10(1 2)的展开式接近，但要注意：(1 - 2)10 =C；o - C1o 2 Co 22 Co 29 - C10 -210=1 2 10 22c2o 29c9o 210C10=1 2(10 2Co 28C：o 29C；0)1从而可以得到：10 2C2028C；o 29c10 二一(310-1).2典型例题七例7利用二项式定理证明： 322 一8n -9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明 322 8n - 9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形 32n 2 =9n (8 1)n 1，将其展开后各项含有 8k，与82的倍数联系起来.解：/ 32n

12、 2 -8n_9=9n 1 _8n _9 =(8 1)n 1 _8n _9=8n 1 C； 8n Cn? 82 Cn.i 8 1-8n _9=8n 1 - Cn , 8n Cn； 82 8(n 1) 1 -8n-9-(8n 1 C1 1 8n， Cn；) 64 是 64 的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.典型例题八展开2xj 52x2 丿-分析1：用二项式定理展开式.解法180 135 405 _ 243x x4 8x7 32x102：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.占农(4/)5 +C5(4x3)4(-

13、3) +C；(4x3)3(-3)2C；(4x3)2(3)3 CZx3)13)4 C；(3)5顽荣-沁八 576。432。62。2437)说明：记准、记熟二项式(a，b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.典型例题九例9 若将(x y z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( )A 11 B 33 C. 55 D 66分析：(x y z)10看作二项式(x y) z10展开.解:我们把x y亠z看成(x y) z，按二项式展开，共有 11 “项”，即10(x y z)10 二(x - y) - z10 C；(x y)10上 z

14、k kz0这时，由于“和”中各项 z的指数各不相同，因此再将各个二项式 (xy)10“展开,不同的乘积G0(x y)10zk ( k =0,1，10 )展开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个乘积 G0(x y)10zk ( k=0,1, ,10)其中每一个乘积展开后的项数由 (x y)10决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为 11 10 66,应选D 典型例题十 rn1 例10x 2 的展开式的常数项为 -20,求n x1 1 I /；当x 0时，同理x + -2 丨=(-1),丿 I x丿 I后写出通项，令含 x的幕指数为零，进而解出 n人 1

15、 =C；nCX）2n（-1 ）r 十1）（2；（沐）2心,c8Ac8 -2r * r =5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , , 8).系娄最大的项为： T6 =1792x5, T7 -1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负 变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十四例14设f (x(1 x)m (1 x)n(m, nN .),若其展开式中关于 x的一次项的系数2和为11,问m,n为何

16、值时，含x项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨 最小值问题.解：cm C； - n m =11.2 2cm c1/2 2 、 m n -11(m -m - n _n)=2 22 n =5或6 , m=6或5时，x项系数最小，最小值为 25 .11 99 11说明：二次函数y = (x )2 的对称轴方程为 x ，即x = 5.5，由于5、6距11 2 995.5等距离，且对n，N ., 5、6距5.5最近，所以(n ) 的最小值在n=5或n=62 4处取得.典型例题十五例 15 若(3x -1) a7x7 a6x a1x

17、 a0,求(1) a1 a2 a7 ； (2) a1 a3 as a7 ； (3) a a? a4 .解：令x =0，则a0 = -1,令 x =1，则 a7 a a1 a 27 =128 . ai a2 肿-川6 =129 .令 x - -1，则一a7 a -5 8483 a a1 a。= (4) 由 得：印 a3 a5 a?=丄128_( 一4)7=82562 2a a2 a4 a6(a7 a6 a5 a4 a3 a2 aa0)2(-a? a6 - a5 a4 - a3 a2 - a1 a。)1 128 (乂)7 = -8128 .说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是

18、一种重要的方法，它适 用于恒等式.(2)一般地，对于多项式 g(x) =(px - qT =a。- a/ - a?x2亠亠axn , g(x)的各项的系数和为g(1):1g(x)的奇数项的系数和为 -g(1) - g(-1).1g(x)的偶数项的系数和为 ?g(1) -g(-1).典型例题十六例16填空：(1) 230 3除以7的余数 ; (2) 5555 +15除以8的余数是分析(1):将230分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含 7的项就是余数.解: 230 -3 =(23)10-3=(8)10 -3=(7 - 1)1。一3Cio710 - Ci1q7 Cio7 - Cw -3=7

19、 Ci79 Ci。?* 一2又余数不能为负数，需转化为正数30- 2 -3除以7的余数为5应填：5分析(2):将5555写成(56 -1)55，然后利用二项式定理展开.解：5555 - 15 =(56 _1)55 15= C55655 _C555654 C56 心 1555 55容易看出该式只有 -C55 *15=14不能被8整除，因此55 15除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6 .应填：6 .典型例题十七rPn1 n(n -1)(n -2) (n -r 1)rr! r1 1 2 r -1苛(1 一利呼T)-1+丄：展开式的通项 n +1 丿11 2 r _1(1 )(1 ) (1

20、) r ! n 1 n 1 n 1由二项式展开式的通项明显看出 Tr , :：: Tr / ,f 1、 f 1 、所以1 +丄丨_ 1 +丄| .I n.丿 i n +1.丿说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采 用比较通项大小的方法完成本题证明.典型例题十八25例18在(x 3x 2)的展开式中x的系数为( ).A. 160 B. 240 C. 360 D. 800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解.解法 1：由(x2 3x 2)5 =(x2 3x) 25,得TkCx2 3x)5A 2k-C,k 2k (x2 - 3

21、x)5A .再一次使用通项公式得， T二C； 2k C；上3rx10k,这里 0_k_5, 0_r_5-k .令 10 2k r =1,即卩 2k r =9 .所以r =1 , k = 4，由此得到x的系数为C54 24 240 .解法2：由(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5，知(x T)5的展开式中x的系数为C；,常数项为1, (x 2)5的展开式中x的系数为C； 24，常数项为25 .因此原式中x的系数为C54 25 - C-4 2240 .解法3：将(x2 3x 2)5看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取 3x的系数3 ,从另外4个三项式中取常数项相乘

22、所得的积，即 C5 3 C：，24 =240 .应选B .典型例题十九例佃 已知 -I- 的展开式中X3的系数为9，常数a的值为 x 丿 4分析：利用二项式的通项公式.解：在a X 的展开式中，(x 2 I9 、r 3通项公式为.=n 中令 X - -3，即有(1 3)n =1+C：(3)1 +C：(3)2 + +cn(-3)n= 1-3 C 32 C： -(-1)n 3n等式得证.在展开式(2x 3)4 =兔 a1x a2x2 a3x3 a4x4 中，令 x =1，得 a0 印 a2 a3 a4 二(2x . 3)4 ；令 x - -1，得 a0 -a1 a2a3 a4 = (2 . 3)4

23、.原式 =(a0 a1 a2 a3 a4) (a0 _a1 a2 _a3 a4)=(2 ；3)4 (-2 、3)4 =1 .说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，如(a +bx)n =a +4x +a2x2 + +anxn 或(a +b)n = C：an +cnanJLb +C：a2b2+C：bn中，对任意的xA( a,b A)该式恒成立，那么对 A中的特殊值，该工也一定成立.特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强.一 般取x = 0,1, -1较多一般地，多项式 f (x)的各项系数和为 f(1)，奇数项系数和为1 1-f (1

24、) - f(-1),偶次项系数和为 f(1) f(-1) 二项式系数的性质C； +C： +C： +C： =2n 及 C： +C； +C：+C； +C； + =2n* 的证明就是 赋值法应用的范例.典型例题二一例21若N ，求证明：32n3-24n 37能被64整除.分析：考虑先将32n 3拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.解：32n 3 -24n 37=3 32n 2 -24n 37=3 9n 1 -24n 37=3 (8 1)n 24n 37=3 扩卅 8耐 +C：+ 8n +略 8n+ +C；+ 8 +C： -24n +37-3 8n 1 Cn 1 8n W(n 1) 8 1

25、-24n 37=3 8n 1 Cn 1 8n Cn2, 8n 一 C；82 (8n - 9) -24n - 37=3 828n+Cn十 8n，+C：十 8n，+ +C：；+3(8n+9)24n +37=3 648n+ch 8n+C；十 8心+64 ,- 8n_1, 4十8心，8心，均为自然数，上式各项均为64的整数倍.原式能被64整除.说明：用二项式定理证明整除问题， 大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.典型例题二十二2例22已知(x3 3x2)n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992(1)求展开式中二项式系数最大的项；