八年级下册数学第六章 平行四边形周周测6全章.docx

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八年级下册数学第六章平行四边形周周测6全章

第六章平行四边形周周测6

一．选择题（共12小题）

1．下列说法错误的是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

2．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（　　）

A．5B．7C．8D．10

第2题图第3题图第4题图

3．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）

A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③

4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）

A．150°B．130°C．120°D．100°

5．若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（　　）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

6．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7B．10C．35D．70

7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．8cm

第7题图第8题图第9题图

8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　）

A．13B．17C．20D．26

9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6B．12C．20D．24

10．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）

A．EF=CFB．EF=DEC．CF＜BDD．EF＞DE

第10题图第11题图第12题图

11．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）

A．7B．8C．9D．10

12．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）

A．4B．8C．2

D．4

二．填空题（共6小题）

13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　　．

14．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于　　．

第14题图第15题图第17题图

15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　　．

16．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=　　．

17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．

（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=　　；

（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′　　S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．

18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　　．

三．解答题（共8小题）

19．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．

（1）求证：

△ABF≌△CDE；

（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．

20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：

DA=DE．

21．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：

BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

22．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

23．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：

∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：

四边形ADFE是平行四边形．

24．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2

，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：

BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

26．我们给出如下定义：

顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．

求证：

中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变

（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

参考答案与解析

一．选择题

1．【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．

解：

A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；

B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；

C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；

D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：

等腰梯形，故本选项说法错误；

故选：

D．

2．【分析】由中位线的性质可知DE=

，DF=

，DE∥BF，DF∥BE，可知四边形BEDF为平行四边形，从而可得周长．

解：

∵AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，

∴DE=

=2，DF=

=3，DE∥BF，DF∥BE，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∴四边形BEDF的周长为：

2×2+3×2=10，

故选D．

3．【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．

解：

∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，

∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．

故选D．

4．【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∵∠BED=150°，

∴∠ABE=∠AEB=30°，

∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．

故选C．

5．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

解：

设多边形的边数为n，根据题意得

（n﹣2）•180°=360°，

解得n=4．

故这个多边形是四边形．

故选B．

6．【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入

中即可得出结论．

解：

∵一个正n边形的每个内角为144°，

∴144n=180×（n﹣2），解得：

n=10．

这个正n边形的所有对角线的条数是：

=

=35．

故选C．

7．【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．

解：

∵▱ABCD的周长为26cm，

∴AB+AD=13cm，OB=OD，

∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，

∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，

∴AB=5cm，AD=8cm．

∴BC=AD=8cm．

∵AC⊥AB，E是BC中点，

∴AE=

BC=4cm；

故选：

B．

8．【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，

∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．

故选：

B．

9．【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．

解：

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

CE=

=

=5．

∵BE=DE=3，AE=CE=5，

∴四边形ABCD是平行四边形．

四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，

故选：

D．

10．【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．

解：

∵DE是△ABC的中位线，

∴E为AC中点，

∴AE=EC，

∵CF∥BD，

∴∠ADE=∠F，

在△ADE和△CFE中，

∵

，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE=FE．

故选B．

11．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=

AC，由此即可解决问题．

解：

在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC=

=

=10，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE=

BC=3，

∴∠EFC=∠FCM，

∵∠FCE=∠FCM，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EC=EF=

AC=5，

∴DF=DE+EF=3+5=8．

故选B．

12．【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．

解：

在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，

∴AB=2DF=8，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABF=30°，

∴AF=

AB=4，

∴BF=

=

=4

．

故选D．

二．填空题

13．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

解：

∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

720÷180+2=6，

∴这个多边形是六边形．

故答案为：

6．

14．【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，

∴∠AEB=∠DAE，

∵平行四边形ABCD的周长是16，

∴AB+BC=8，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE=3，

∴BC=5，

∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；

故答案为：

2．

15．【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：

∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B=52°，

由折叠的性质得：

∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，

∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，

∴∠FED′=108°﹣72°=36°；

故答案为：

36°．

16．【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．

解：

根据题意画图如下：

以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），

则x=4或﹣2；

故答案为：

4或﹣2．

17．【分析】

（1）若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，据此求出它的面积是多少即可．

（2）连接EC，延长CD、BE交于点P，证△ABE≌△DPE可得S△ABE=S△DPE、BE=PE，由三角形中线性质可知S△BCE=S△PCE，最后结合S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE可得答案．

解：

（1）∵AB=DC，AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，

故答案为：

15．

（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

又∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，

在△ABE和△DPE中，

∵

，

∴△ABE≌△DPE（AAS），

∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，

∴S△BCE=S△PCE，

则S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE

=S△PDE+S△CDE+S△BCE

=S△PCE+S△BCE

=2S△BCE

=2×

×BC×EF

=15，

∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，

故答案为：

=．

18．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据

=

计算即可

②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得

=

计算即可．

解：

如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，

∵DE是△ABC中位线，

∴DE∥BC，DE=

BC=10，

∵DN′∥EF，

∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，

∴四边形DEFN′是矩形，

∴EF=DN′，DE=FN′=10，

∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∴BN′=DN′=EF=FC=5，

∴

=

，

∴

=

，

∴DO′=

．

当∠MON=90°时，

∵△DOE∽△EFM，

∴

=

，

∵EM=

=13，

∴DO=

，

故答案为

或

．

三．解答题

19．【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；

（2）由

（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，

∴∠1=∠BCE，

∵AF∥CE，

∴∠BCE=∠AFB，

∴∠1=∠AFB，

在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（AAS）；

（2）解：

∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCE=∠1=65°，

∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．

20．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠E=∠BAE，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠E=∠DAE，

∴DA=DE．

21．【分析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；

（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=

AE•BF，即可得出结果．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=CD；

（2）解：

∵AB=BE，∠BEA=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴AF=EF=2，

∴BF=

=

=2

，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=

AE•BF=

×4×2

=4

．

22．【分析】由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．

证明：

∵AE⊥AD，CF⊥BC，

∴∠EAD=∠FCB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

在Rt△AED和Rt△CFB中，

∵

，

∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

23．【分析】

（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；

（2）根据

（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．

证明：

（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF

∴AF=BC，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

，

∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），

∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．

24．【分析】

（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

解：

（1）四边形EBGD是菱形．

理由：

∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四边形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2

，

∴EM=

BE=

，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN=

，MN=DE=2

，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC=

，

∴MC=3

，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=

．MC=3

，

∴EC=

=

=10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值为10．

25．【分析】

（1）根据三角形中位线定理得MN=

AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=

AC，由此即可证明．

（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．

（1）证明：

在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=

AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=

AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM．

（2）解：

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由

（1）可知，BM=

AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

由

（1）可知MN=BM=

AC=1，

∴BN=

26．【分析】

（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．

（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．

（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．

（1）证明：

如图1中，连接BD．

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，

∴EH∥BD，EH=

BD，

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，

∴FG∥BD，FG=

BD，

∴EH∥FG，EH=GF，

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

（2）四边形EFGH是菱形．

证明：

如图2中，连接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD

即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

，

∴△APC≌△BPD，

∴AC=BD

∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，

∴EF=

AC，FG=

BD，

∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形．

（3）四边形EFGH是正方形．

证明：

如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD，AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．